第2章　序列的極限

2.1　復習筆記

一、序列極限的定義

1．序列

序列（也稱為數列）,即按照一定順序排列的一列數：

一個序列實質上就是一個從正整數集N到實數集R的函數：N→R，通常記為，其中稱為通項.

2．序列極限

（1）ε-N定義

①設{x_n}是一個序列，若存在常數則稱該序列是收斂序列，并稱a為該序列的極限（或者說序列收斂于a），記做或，若不存在

使得收斂于a，則稱之為發散序列.

②設是一個序列，若對，總存在使得，則稱為發散序列．

（2）無窮小量

①定義

設是一個序列，若則稱序列為無窮小量，記為：，需特別指出的是，無窮小量并不是一個很小的量，而是極限為零的一個變量．

②基本性質

定理　設是一個序列，分為三種情形討論：

a．是無窮小量的充分必要條件是是無窮小量.

b．若是無窮小量，M是一個常數，則是無窮小量.

c．的充分必要條件是是無窮小量.

（3）無窮大量

①正無窮大量

設,使得對于任意的，有的極限為＋∞,記為）；

②負無窮大量

若，當時有，則稱為負無窮大量（有時也稱的極限為－∞，記為

；

③無窮大量

若是正無窮大量，則稱為無窮大量（有時也稱的極限為∞，記為．

（4）無窮大量和無窮小量的關系

定理　

二、序列極限的性質

1．有界序列

設是一個序列，若對有成立，則稱是有界的．

2．序列極限的基本性質

（1）極限的不變性

改變一個序列的有限多項，不改變其斂散性；當收斂時，則不改變其極限值.

（2）極限的唯一性

定理　收斂序列的極限是唯一的.

（3）有界性

①定理

收斂序列是有界的.

②推論

有界序列不一定收斂.

（4）保序性

①定理

給定兩個序列則有：

a．若b＞0，則對任意給定的使得當時，有

b．若,當時有,則a≤b.

②推論

設,則對任給使得當時，有若則對任給

使得當時，有

（5）四則運算

設則

①

②

③其中

（6）夾逼收斂定理

定理　設序列和滿足若

三、單調收斂原理

1．單調收斂理論

（1）單調序列

①若序列滿足則稱是單調遞增（上升）的序列；

②若序列則稱是單調遞減（下降）的序列；

③單調上升的序列和單調下降的序列統稱為單調序列.

（2）單調收斂定理

①定理

單調有界序列必收斂.

②推論

單調序列總是廣義收斂的，并且有

a．若單調上升，則

b．若單調下降，則.

2．單調收斂原理的應用

（1）無理數e

序列

單調上升有上界，單調下降有下界，故二者都收斂且有相同的極限，約定用字母e來表示其極限值，即

e是數學中最重要的常數之一，其近似值為：

（2）歐拉（Euler）常數c

序列

單調下降有下界，由單調收斂定理可知收斂.記

稱c為歐拉（Euler）常數，可計算出.

四、實數系連續性的基本定理

1．閉區間套定理

定理　設是一列閉區間，并滿足：

（1）

（2）

則存在唯一的一點使得即

注：閉區間這個條件是重要的，若區間是開的，則定理的結論不一定成立.

2．有限覆蓋定理

（1）覆蓋的概念

設A是R中的一個子集，是R中的一族子集組成的集合，其中A是一個指標集.

①若，則稱是A的一個覆蓋；

②若的一個覆蓋，而且對每個均是一個開區間，則稱為A的一個開覆蓋；

③若是A的一個覆蓋，而且n的元素只有有限多個，則稱是A的一個有限覆蓋.

（2）有限覆蓋定理

定理　設[a，b]是一個閉區間，是[a，b]的任意一個開覆蓋，則必存在一個子集構成[a，b]的一個有限覆蓋，即在中必有有限個開區間使得

3．聚點原理

（1）聚點的定義

設E是R中的一個子集，若（x₀不一定屬于E）滿足：對有則稱x₀是E的一個聚點.若，但它不是E的聚點，則稱x₀是E的一個孤立點.

（2）聚點原理

定理　R中的任何一個有界無窮子集至少有一個聚點.

（3）子序列

①定義

設是一個序列，則由該序列的一部分元素按原來的順序構成的序列稱為是的一個子序列，其中下標滿足如下三點

a．中的每一項都是正整數，并且它是一個嚴格遞增序列：

b．表示在子序列中它是第k項，在原序列中它是第項；

c．必有從而

②定理

設,則對的任意子序列都有.

③推論

若在一個序列中可以找到兩個收斂的子序列和使得

則該序列必然發散.

④波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

定理　任何有界序列必有收斂的子序列.

4．柯西收斂原理

（1）柯西收斂原理

①柯西序列

設是一個序列，若,當時，有,則稱是一個柯西序列.

②柯西收斂原理

序列收斂的充分必要條件是是一個柯西序列.

③實數的完備性

將一些數構成的集合K稱為是一個空間.如果一個空間K中的任何柯西序列都在K中存在極限，即存在

,使得,則稱K是完備的.實數域R是完備的，有理數域Q是不完備的，任何開區間（a，b）也是不完備的.

（2）壓縮映照原理

設在上有定義,且滿

其中，則存在唯一的使得，＝c.

五、序列的上、下極限

1．上、下極限的定義

（1）設是有界序列，令

則有

即和是單調有界序列.令

則l與h分別稱為的下極限和上極限，記為

（2）若為無界序列，則規定：

①若無上界，則注意此時必有：

②若無下界，則注意此時必有：

③若有下界但無上界，則有定義，故可定義，但須注意的是，此時可能為＋∞.

④若有上界但無下界，則有定義，故可定義，但須注意的是，此時可能為－∞.

這樣，對任意的序列，和都有明確的定義，而且恒有

2．上極限的等價定理

設是一有界序列，h是一實數，則下列三個命題等價：

（1）h是的上極限；

（2）,當n＞N時有而且對，,使得

（3）存在子列使得,而且對任何其他收斂子列有.

3．上、下極限的相關定理

（1）若有界序列由互不相同的數組成，則上極限是的最大聚點，而下極限是的最小聚點.

（2）是的任一子列，則

（3）的充分必要條件是,其中a可以是有限數、－∞或＋∞.

4．上、下極限的重要性質

（1）設和是任意給定的兩個有界序列，若有，則必有

（2）設和是任意給定的兩個有界序列，則有

（3）設和是任意給定的兩個有界序列，則有

（4）設則有