第4章　導數與微分

4.1　復習筆記

一、導數

1．導數的概念

（1）導數的定義

設函數在內有定義.若極限

存在，則稱或者．

（2）基本初等函數的導數

①

②；

③；；

④；；

；；

⑤；；

⑥；

2．單側導數

（1）單側導數的定義

設函數在內有定義，若極限

存在，則稱處右可導，并且稱此極限值為在處的右導數，記為

同理可定義函數在處的左可導和左導數，即

（2）導數與單側導數的關系

定理　在處存在的充分必要條件是:與都存在且相等.

3．可導與連續

（1）定理　若函數在處可導，則它在處連續.

（2）定理　若函數在處連續，則它在處不一定可導.

（3）在處左可導，則在處左連續；右可導則右連續.在左、右可導（不要求左導數與右導數相等）,則必有在連續.

二、求導法則

1．函數四則運算的導數

（1）定理　設函數處成立：

①；

②；

③

（2）推論　設都在點x處可導，則下列各式在點x處成立：

①其中是常數；

②

2．反函數的求導定理

設函數在內嚴格單調，并且令如果

在內可導且導數則它的反函數在內可導，而且有

3．復合函數的求導法則

定理（鏈式法則）　設函數在內有定義，函數在內有定義，且若與都存在，則復合函數在點可導，且

4．隱函數的求導法則

求隱函數導數的方法，只要將y看成x的函數，在方程的兩邊對x求導數，就可得到滿足的恒等式，然后再從中將解出即可.

5．參數式函數的求導法則

參數方程

，

其中函數和都在內可導，且，由該參數方程所確定的函數

的導函數為

6．極坐標式函數的求導法則

由極坐標方程，即可得曲線的參數方程為

作為的函數，其導數存在，且在所考慮的極角附近有

則可得：

三、微分

1．微分的概念

（1）定義

設函數在內有定義，如果存在常數A，使得

則稱處可微，并稱為在處的微分，記做或者

（2）性質

①它是自變量的增量的線性函數.

②它與函數的增量之差是較高階的無窮小量

2．微分與導數的關系

定理　函數在點處可微的充分必要條件是在處可導.

3．可微函數

若函數內每一點x處可微（即），則稱函數是上的（一階）可微函數.

4．一階微分的形式不變性

（1）一階微分的形式不變性的理解

設函數根據復合函數的求導法則，可得復合函數的微分公式為

由于代入上式就得到了它的等價表示形式，這里是x的函數，同時也可以發現，它與u為自變量的函數f（u）的微分形式

完全一樣，即對f（u）進行微分時，不管u是因變量還是自變量，所得結果具有相同的形式，這就稱為一階微分的形式不變性.

（2）基本初等函數的微分公式

①

②

③

④

⑤；；

⑥；

（3）微分運算的四則運算

設u，v為x的可微函數，則有微分運算的法則：

①；

②；

③.

四、高階導數與高階微分

1．高階導數

（1）定義

若一個函數的一階導數仍是可導函數，則可求記其為或并稱為的二階導數.類似地，可定義三階導數為.一般地，當時，的階導數定義為的階導數的導數，并記為或

（2）常見函數的高階導數

①，

②，

③，

④，

⑤，

⑥，

2．萊布尼茨公式

定理（萊布尼茨公式）　若函數u和v有任意階導數，則

其中

3．高階微分

若函數在區間內可微，定義n階微分為

最常見的是二階微分：

需要注意的是，高階微分是不具有形式不變性的。