第4章　導數(shù)與微分

4.1　復習筆記

一、導數(shù)

1．導數(shù)的概念

（1）導數(shù)的定義

設函數(shù)在內(nèi)有定義.若極限

存在，則稱或者．

（2）基本初等函數(shù)的導數(shù)

①

②；

③；；

④；；

；；

⑤；；

⑥；

2．單側導數(shù)

（1）單側導數(shù)的定義

設函數(shù)在內(nèi)有定義，若極限

存在，則稱處右可導，并且稱此極限值為在處的右導數(shù)，記為

同理可定義函數(shù)在處的左可導和左導數(shù)，即

（2）導數(shù)與單側導數(shù)的關系

定理　在處存在的充分必要條件是:與都存在且相等.

3．可導與連續(xù)

（1）定理　若函數(shù)在處可導，則它在處連續(xù).

（2）定理　若函數(shù)在處連續(xù)，則它在處不一定可導.

（3）在處左可導，則在處左連續(xù)；右可導則右連續(xù).在左、右可導（不要求左導數(shù)與右導數(shù)相等）,則必有在連續(xù).

二、求導法則

1．函數(shù)四則運算的導數(shù)

（1）定理　設函數(shù)處成立：

①；

②；

③

（2）推論　設都在點x處可導，則下列各式在點x處成立：

①其中是常數(shù)；

②

2．反函數(shù)的求導定理

設函數(shù)在內(nèi)嚴格單調(diào)，并且令如果

在內(nèi)可導且導數(shù)則它的反函數(shù)在內(nèi)可導，而且有

3．復合函數(shù)的求導法則

定理（鏈式法則）　設函數(shù)在內(nèi)有定義，函數(shù)在內(nèi)有定義，且若與都存在，則復合函數(shù)在點可導，且

4．隱函數(shù)的求導法則

求隱函數(shù)導數(shù)的方法，只要將y看成x的函數(shù)，在方程的兩邊對x求導數(shù)，就可得到滿足的恒等式，然后再從中將解出即可.

5．參數(shù)式函數(shù)的求導法則

參數(shù)方程

，

其中函數(shù)和都在內(nèi)可導，且，由該參數(shù)方程所確定的函數(shù)

的導函數(shù)為

6．極坐標式函數(shù)的求導法則

由極坐標方程，即可得曲線的參數(shù)方程為

作為的函數(shù)，其導數(shù)存在，且在所考慮的極角附近有

則可得：

三、微分

1．微分的概念

（1）定義

設函數(shù)在內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，使得

則稱處可微，并稱為在處的微分，記做或者

（2）性質

①它是自變量的增量的線性函數(shù).

②它與函數(shù)的增量之差是較高階的無窮小量

2．微分與導數(shù)的關系

定理　函數(shù)在點處可微的充分必要條件是在處可導.

3．可微函數(shù)

若函數(shù)內(nèi)每一點x處可微（即），則稱函數(shù)是上的（一階）可微函數(shù).

4．一階微分的形式不變性

（1）一階微分的形式不變性的理解

設函數(shù)根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，可得復合函數(shù)的微分公式為

由于代入上式就得到了它的等價表示形式，這里是x的函數(shù)，同時也可以發(fā)現(xiàn)，它與u為自變量的函數(shù)f（u）的微分形式

完全一樣，即對f（u）進行微分時，不管u是因變量還是自變量，所得結果具有相同的形式，這就稱為一階微分的形式不變性.

（2）基本初等函數(shù)的微分公式

①

②

③

④

⑤；；

⑥；

（3）微分運算的四則運算

設u，v為x的可微函數(shù)，則有微分運算的法則：

①；

②；

③.

四、高階導數(shù)與高階微分

1．高階導數(shù)

（1）定義

若一個函數(shù)的一階導數(shù)仍是可導函數(shù)，則可求記其為或并稱為的二階導數(shù).類似地，可定義三階導數(shù)為.一般地，當時，的階導數(shù)定義為的階導數(shù)的導數(shù)，并記為或

（2）常見函數(shù)的高階導數(shù)

①，

②，

③，

④，

⑤，

⑥，

2．萊布尼茨公式

定理（萊布尼茨公式）　若函數(shù)u和v有任意階導數(shù)，則

其中

3．高階微分

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可微，定義n階微分為

最常見的是二階微分：

需要注意的是，高階微分是不具有形式不變性的。