8.2　課后習題詳解

一、習題

1．獲得有效分散化組合，指數模型相對于馬科維茨模型的優缺點？

答：相比馬科維茨模型，指數模型的優點是大量地減少了所需的估計數。此外，馬科維茨模型所需要的大量的估計數，可能會導致在實施過程時出現大量的估計錯誤。指數模型的缺點來自模型的收益殘差不相關的假設。如果使用的指數忽略了一個重要的風險因素，那么這種假設便是不正確的。

2．管理組合時從單純跟蹤指數到積極管理轉變的優缺點是什么？

答：從單純跟蹤指數到積極管理組合的轉變是基于減少額外管理費用的確定性和有優異表現的可能性的權衡。

3．公司特定風險達到什么樣的程度會影響積極型投資者持有指數組合的意愿？

答：由w⁰和w^*的計算公式可得出：在其他條件不變的情況下，包含在資產組合中候選資產的剩余方差越大，w⁰越小。此外，忽略β，當w⁰減小時，w^*也減小。因此，其他條件不變，資產的剩余方差越大，它在最優風險資產組合中的頭寸就越小。換句話說，企業特定風險的增加降低了一個積極的投資者愿意放棄持有指數組合的程度。

4．我們為什么稱α為非市場收益溢價？為何對于積極投資經理高α值的股票更有吸引力？其他參數不變，組合成分股的α值上升，組合的夏普比率如何變化？

答：總風險溢價等于：α＋（β×市場風險溢價）。α被稱為“非市場”收益溢價，因為它是收益溢價中獨立于市場表現的一部分。

夏普比率表明，具有較高α的證券更吸引人。α是夏普比率的分子，是一個固定的數，不會受到夏普比率的分母即收益的標準差影響。因此在α增加時，夏普比率同比增長。由于投資組合的α是證券α的組合加權平均，則在其他所有參數不變的前提下，一種證券的α值增加將會導致資產組合的夏普比率同比增加。

5．一個投資組合管理組織分析了60只股票并用這60只股票構造了均值-方差有效組合：

a．要構造最優組合，需要估計多少期望收益率、方差、協方差？

b．如果可以合理假設股票市場的收益結構與單指數模型非常相似，則估計量為多少？

答：a．要構造最優投資組合，需要：

n＝60個均值估計值；

n＝60個方差估計值；

（n²-n）/2＝1770個協方差估計值。

因此，總計有（n²+3n）/2＝1890個估計值。

b．在單指數模型中：r_i－r_f＝α_i＋β_i（r_M－r_f）＋e_i，或等價地，利用超額收益：R_i＝α_i＋β_iR_M＋e_i。

每種股票收益率的方差可以分解成以下幾個部分：

（1）由于共同的市場因素導致的方差：

（2）由于特定企業未預計到的事件造成的方差：σ²（e_i）。

在這個模型中，Cov（r_i,r_i）=β_iβ_jσ，需要的參數估計值的數目為：

n＝60個均值E（r_i）的估計值；

n＝60個敏感性系數β_i的估計值；

n＝60個企業特定方差σ²（e_i）的估計值；

1個市場均值E（r_M）的估計值；

1個市場方差的估計值。

因此，共計182個估計值。

單指數模型將需要的參數估計值的數目從1890減少到了182個，更一般地說，是從（n²＋3n）/2減少到3n＋2個。

6．表8-2是兩只股票的估計：

表8-2

市場指數標準差為22%，無風險利率為8%。

a．股票A和B的標準差是多少？

b．假設我們建立一個組合，股票A占30%，股票B占45%，短期國債占25%，計算組合的期望收益、標準差、β和非系統性標準差。

答：a．每種股票的標準差由下式給出：

b．資產組合的期望收益率是單個證券的期望收益率的加權平均：

E（r_P）＝w_A×E（r_A）＋w_B×E（r_B）＋w_f×r_f

E（r_P）＝（0.30×13%）＋（0.45×18%）＋（0.25×8%）＝14%

資產組合的β值等同于各證券的β值的加權平均：

β_P＝w_A×β_A＋w_B×β_B＋w_f ×β_f

β_P＝（0.30×0.8）＋（0.45×1.2）＋（0.25×0.0）＝0.78

資產組合的方差為：

其中，是系統組成成分，σ²（e_P）是非系統的成分。由于殘差是不相關的，非系統的方差為：

其中σ²（e_A）和σ²（e_B）是股票A和股票B所具有的企業特有的（非系統的）方差，而σ²（e_f）是國庫券的非系統的方差，等于0。因此資產組合的剩余標準差為：

σ（e_P）＝（0.0405）^1/2＝20.12%

資產組合的總體方差為：

則資產組合的標準差為26.41%。

7．考慮圖8-2中股票A和B的回歸線。

圖8-2

a．哪只股票的公司特定風險更高？

b．哪只股票的系統性風險更高？

c．哪只股票R²更高？

d．哪只股票α值更高？

e．哪只股票和市場相關性更高？

答：a．圖中兩條曲線描述了兩只股票的證券特征線（SCL）。股票A的公司特有風險更高，因為A的觀測值偏離SCL的程度要大于B。偏離程度由觀測值偏離SCL的垂直距離來度量。

b．β是證券特征線的斜率，也是系統風險的測度指標。股票B的證券特征線更陡峭，因此它的系統風險更高。

c．證券特征線的R²（或者說相關系數的平方）是股票收益率的可解釋方差與整體方差的比率，而總體方差又等于可解釋方差和不可解釋方差（股票的剩余方差）的和：

由于股票B的可解釋方差大于股票A（因為股票B的貝塔值更大，所以可解釋方差更大），并且它的殘差σ²（e_B）更小，所以其相關系數的平方大于股票A。

d．阿爾法值是證券特征線SCL在期望收益軸上的截距。股票A具有正的阿爾法值而股票B的阿爾法值為負，所以股票A的阿爾法值大。

e．因為相關系數是R²的平方根，所以與股票A相比，股票B的市場相關性更高。

8．考慮A和B的（超額收益）指數模型回歸結果：

R_A=1%+1.2R_M

R₂=0.576

殘差標準差＝10.3%

R_B=-2%+0.8R_M

R²=0.436

殘差標準差＝9.1%

a．哪只股票的公司特定風險更高？

b．哪只股票的市場風險更高？

c．哪只股票的收益波動性更好地由市場變動來解釋？

d．如果無風險利率為6%，而回歸使用的是總收益而非超額收益，那么股票A的回歸截距是多少？

答：a．企業特有風險通過殘差標準差來測度，因此，股票A的企業特有風險更高：10.3%＞9.1%。

b．市場風險以β來衡量，即回歸曲線的斜率。A的β系數更高：1.2＞0.8。

c．R²測度的是收益整體方差中可由市場收益率來解釋的部分。A的R²大于B：0.576＞0.436。

d．用總收益（r）來代替超額收益（R），重寫證券特征線的公式：

現在的截距為：

因為r_f＝6%，截距應該等于：1%＋6%（1－1.2）＝1%－1.2%＝-0.2%。

用以下數據解9～14題，假設指數回歸模型回歸使用的是超額收益。

9．每只股票的標準差是多少？

答：每只股票的標準差可由下式推出：

10．將每只股票的方差分解為系統性和公司特定的兩個部分。

答：A的系統風險為：

A的公司特有風險（殘差方差），即為A的總體風險和它的系統風險的差額為：0.0980－0.0196＝0.0784。

B的系統風險為：

B的企業特有風險（殘差方差）為：0.4800-0.0576＝0.4224。

11．兩只股票之間的協方差和相關系數是多少？

12．每只股票與市場指數的協方差是多少？

答：相關系數是R²的平方根：

13．組合P投資60%于A，投資40%于B，重新回答問題9、10和12。

答：組合資產P可計算如下：

運用單個股票和市場的協方差，也可以得到相同的結果：

14．組合Q投資50%于P，投資30%于市場指數，投資20%于短期國庫券，重新回答問題13。

答：國庫券的方差為零，它與任何資產的協方差也為零。因此，對于資產組合Q：

15．一只股票β值估計為1.24。

a．“β指引”如何計算該股票的調整β值？

b．假設你估計如下回歸來描述β隨時間的變化趨勢：

β_t=0.3+0.7β_t-1

你對明年β的預測是多少？

答：a．“β指引”根據β的樣本估計值來調整β，利用權重2/3和1/3調整使它的均值為1.0，如下：

調整的β＝［（2/3）×1.24］＋［（1/3）×1.0］＝1.16

b．若用現在的β估計值β_t-1＝1.24，則β_t＝0.3＋（0.7×1.24）＝1.168。

16．根據當前的股息水平和預期增長率，股票A和B的期望收益分別為11%和14%，β值分別為0.8和1.5，短期國債的利率為6%，標準普爾500指數的期望收益率為12%，年標準差分別為10%和11%。如果你現在持有消極的指數組合，你會選擇哪只股票增加到自己的組合中？

答：對于股票A：

α_A=r_A-［r_f+β_A×（r_M-r_f）］＝0.11－［0.06＋0.8×（0.12－0.06）］＝0.2%

對于股票B：

α_B=r_B-［r_f+β_B×（r_M-r_f）］＝0.14－［0.06＋1.5×（0.12－0.06）］＝-1%

因此將股票A添加到自己的分散化資產組合中會更好。股票B的空頭頭寸也是合理的。

17．假設投資經理根據宏觀和微觀預測，得到以下輸入表（見表8-3和表8-4）：

表8-3  微觀預測

表8-4  宏觀預測

a．計算各股票的預期超額收益、α和殘差方差。

b．構建最優風險投資組合。

c．該最優風險投資組合的夏普比率是多少？積極投資組合對它的貢獻是多少？

d．假設投資者的風險厭惡系數A＝2.8，對短期國債和消極股票的投資比例是多少？

答：a．

股票A、C有正的α值，而股票B、D有負的α值。它們的殘差方差為：

σ²（e_A）＝0.582＝0.3364

σ²（e_B）＝0.712＝0.5041

σ²（e_C）＝0.602＝0.3600

σ²（e_D）＝0.552＝0.3025

b．要構建最優風險資產組合，首先需確定最優的積極投資組合。利用Treynor-Black方法，構建積極投資組合：

具有正阿爾法值的股票的權數不會為負，反之亦然。可以看出，在積極資產組合中的整個頭寸都是負的，并使一切都返回到正常的好狀態。

應用這些權重，對積極型資產組合的預測為：

α＝［-0.6142×1.6］＋［1.1265×（-4.4）］－［1.2181×3.4］＋［1.7058×（-4.0）］

＝-16.90%

β＝［-0.6142×1.3］＋［1.1265×1.8］－［1.2181×0.70］＋［1.7058×1］＝2.08

高β值（高于所有單個股票的β值）是來自于具有相對低β值的股票的空頭頭寸和具有相對高β值的股票的多頭頭寸。

σ²（e）＝［（-0.6142）²×0.3364］＋［1.1265²×0.5041］＋［（-1.2181）²×0.3600］＋［1.7058²×0.3025］＝2.18096

σ（e）＝147.68%

股票B的杠桿頭寸（高σ²（e））克服了分散化的影響，并得到了一個高的剩余標準差。最優的風險資產組合在積極型資產組合中占比w^*，計算如下：

調整負的頭寸的原因前面已述。

調整的β為：

由于w*是負的，故投資組合為一個具有正α值的股票的正頭寸和一個具有負α值的股票的負頭寸。指數資產組合的頭寸為：1－（-0.0486）＝1.0486。

c．為了計算最優資產組合的夏普比率，先計算積極資產組合的信息比率及市場組合的夏普比率。積極資產組合的信息比率計算如下：

A＝α/σ（e）＝-16.90%/147.68%＝-0.1144

A²＝0.0131

因此，優化風險資產組合的夏普比率（S）的平方為：

S＝0.3662

與市場的夏普比率比較可得：S_M＝8%/23%＝0.3478→差距為0.0184。

業績的惟一一個中等程度的改進來自僅僅持有很小部分頭寸的積極資產組合A（由于其殘差很大）。

d．為了計算總資產組合的構成，先計算β值，平均超額收益以及最優風險組合的方差：

由于A＝2.8，組合的最優頭寸為：

y＝8.42%/（0.01×2.8×0.529）＝0.5685

采取消極策略時：

y＝8%/（0.01×2.8×0.232）＝0.5401

差額為0.0284。

最終頭寸為（M可能包含一些從A到D的股票）：

18．當不允許賣空時，重新計算題17：

a．根據夏普比率，這個約束的成本是多少？

b．假設投資者的風險厭惡系數A＝2.8，投資者的效用值損失多少？

答：a．如果一個管理者不允許賣空，他的資產組合中將不會有α值為負的股票，因此他將只考慮A和C：

積極組合的預測為：

α＝（0.3352×1.6）＋（0.6648×3.4）＝2.80%

β＝（0.3352×1.3）＋（0.6648×0.7）＝0.90

σ²（e）＝（0.3352²×0.3364）＋（0.6648²×0.3600）＝0.1969

σ（e）＝44.37%

在積極組合中的權重為：

調整的β為：

積極組合的信息比率為：

A＝α/σ（e）＝2.80%/44.37%＝0.0631

因此，夏普比率的平方為：

S²＝（8%/23%）²＋0.0631²＝0.1250

故S＝0.3535。

市場的夏普比率為S_M＝0.3478。

當允許賣空時（17題），管理者的夏普比率更高（0.3662）。減少的夏普比率是賣空約束的成本。

最優風險組合的特征值為：

由A＝2.8，資產組合的最優頭寸為：

y＝8.18%/（0.01×2.8%×0.535）＝0.5455

每種資產的最終頭寸為：

b．無限制、受賣空限制的以及對于消極策略的最優總資產組合的均值和方差分別為：

利用公式可算出效用水平如下：

無限制：8%＋4.79%-（0.005×2.8%×0.17095）＝10.40%；

存在限制：8%＋4.46%-（0.005×2.8%×0.15936）＝10.23%；

消極策略：8%＋4.32%-（0.005×2.8%×0.15431）＝10.16%。

19．假設基于分析師過去的表現，你估計預測收益和真實α之間的關系為：

實際超額收益＝0.3×α的估計值

用題17中的α，期望收益受到α估計不準確性的影響有多大？

答：所有的阿爾法值減少到0.3乘以它們的最初值，因此，在積極資產組合中每種證券的相對權數不會發生改變，但是積極資產組合的阿爾法值僅僅是它以前值的0.3倍：0.3×（－16.90%）=－5.07%。投資者在積極資產組合中將持有一個更小的頭寸。最佳風險組合在積極資產組合中有一個w^*比例：

調整負頭寸的原因前面已給出。調整后的β為：

由于w*是負的，結果為：正阿爾法值股票的頭寸為正，負阿爾法值股票的頭寸為負。指數型資產組合的頭寸為：1－（－0.0151）=1.0151。

為了計算最佳風險投資組合的夏普比率，需要計算積極資產組合的信息比率和市場組合的夏普比率。積極資產組合的信息比率為0.3乘以它以前的值：

因此，最佳風險投資組合的夏普比率的平方為：

將其與市場組合的夏普比率進行比較：S_M=8/23=0.3478，差額為：0.0017。

注意，阿爾法的預測值與0.3相乘后減小了信息比率的平方，并使得對夏普比率的平方的改進減少到原來的0.3²=0.09倍。

20．假設教材數據表8-4第44行的β預測變為原來的2倍，其他數據不變。重新計算最優風險組合。在你計算之前先用最優化過程估計信息率和夏普比率，然而再計算與估計值做個比較。

答：如果每個預測阿爾法值增加一倍，那么積極投資組合的阿爾法也將增加一倍。在其他條件相同的情況下，積極投資組合的信息比率（IR）也增加了一倍。最優投資組合的夏普比率的平方（S²）等于市場指數夏普比率的平方（SM²）加信息比率的平方。由于信息比率增加了一倍，其平方為原來的四倍。因此：S²＝SM²＋（4×IR）

相對于以前的S²，差距為：3IR。

二、CFA考題

1．將ABC與XYZ兩只股票在2006～2010年5年間的年化月收益率數據與市場指數做回歸，得到如下結果（見表8-5）：

表8-5

試說明這些回歸結果告訴了分析師5年間兩只股票風險收益關系的什么信息。假定兩只股票包含在一個分散化組合中，結合下列取自兩經紀商截至2010年12月兩年間的周數據，評價上述回歸結果對風險收益關系的意義（見表8-6）。

表8-6

答：基于5年間60個月的月收益率，回歸分析提供了大量的分析數據。

ABC股票的β為0.60，低于股票的平均β值1.0，表明當標準普爾500每上升或下降一個百分點，ABC股票的收益率平均地上升或下降僅0.6個百分點。這表明ABC股票的系統風險或市場風險相對典型股票的風險要低。ABC股票的α（回歸截距）為-3.2%，表明當市場收益率為0時，ABC股票的平均收益率為-3.2%。ABC股票的非系統風險，或者說剩余風險，用σ（e）來測度，等于13.02%。對ABC股票來說，它的R²為0.35，表明線性回歸的擬合程度高于股票典型值。

XYZ股票的β比0.97略高，表明XYZ股票的收益率情況類似于β為1.0的市場指數，因此該股票在被觀測期內具有平均的系統風險。XYZ股票的α為正且較大，表明平均而言，XYZ股票有一個接近于7.3%的收益率，是獨立于市場收益率的。剩余風險為21.45%，是股票ABC的1.5倍，表明對XYZ股票來說，在回歸線附近觀測值分布比較分散。相應的回歸模型的擬合也較差，這與R²僅為0.17也是一致的。

投資于這兩種股票中的一種對分散化投資組合的的影響可能是不同的。假定兩種資產的貝塔值在一定時期內不變，那么其系統風險水平有很大不同。取自兩家經紀公司的β數據可能有助于得出一些推論。股票ABC的3個貝塔值很相近，盡管基礎數據因樣本不同而有所不同，其估計區間為0.60到0.71，遠低于市場貝塔值均值1.0。XYZ股票的β隨著計算來源的不同有很大的變化，最大值達到最近兩年的每周價格變動觀測值的1.45。可以推知XYZ股票未來的β可能大于1.0，這意味著它含有的系統風險可能比根據5年間的季度數據回歸所顯示的系統風險要大。

這些股票表現出明顯不同的系統風險特征。如果這些股票加入到一個充分分散化的資產組合中，資產組合整體的波動性會明顯增加。

2．假設Baker基金和標準普爾500指數的相關系數為0.7，那么其總風險中有多少是非系統性的？

答：回歸得到的R²為：0.70²＝0.49。

因此51%的方差無法用市場風險解釋，這些風險屬于非系統風險。

3.Charlottesvi11e國際基金和EAFE市場指數的相關系數為1，EAFE的期望收益為11%，Charlottesvi11e基金的期望收益為9%，無風險收益率為3%。基于這一分析，Charlottesvi11e基金的β是多少？

答：0.09＝0.03＋β（0.11－0.03），解得β＝0.75。

4．β概念與下列哪個關系最緊密？______。

a．相關系數

b．均值-方差分析

c．非系統性風險

d．系統性風險

答：d。因為β在資本資產定價模型中代表系統性風險。

5．β和標準差是不同的風險度量，原因在于β度量______。

a．非系統性風險，標準差度量總風險

b．系統性風險，標準差度量總風險

c．系統性和非系統性風險，標準差度量非系統性風險

d．系統性和非系統性風險，標準差度量系統性風險

答：b。