第8章　指數模型

8.1　復習筆記

1．單因素證券市場

（1）馬科維茨模型的缺陷

馬科維茨模型在實際操作中存在兩個問題，一是需要估計大量的數據；二是該模型應用中相關系數確定或者估計中的誤差會導致結果無效。

單因素模型大大降低了馬科維茨資產組合選擇程序的數據數量，它把精力放在了對證券的專門分析中。

（2）單因素模型

假設引起所有公司的證券收益變化的因素是一些影響所有公司的宏觀經濟變量m，那么可以將不確定性分解為經濟整體的不確定性（用m表示）和特定公司的不確定性（用e_i表示）。因為不同企業對宏觀經濟事件有不同的敏感度，所以用β_i來表示證券i對宏觀經濟事件的敏感度，則單因素模型為：

r_i=E（r_i）+β_im+e_i

2．單指數模型

（1）單指數模型的回歸方程

使單因素模型具備可操作性的一個方法是將標準普爾500這類股票指數的收益率視為共同宏觀經濟因素的有效代理指標。這一方法推導出和單因素模型相似的等式，稱為單指數模型。

回歸方程是：

R_i（t）=α_i+β_iR_M（t）+e_i（t）　 （8-1）

回歸直線的截距是α_i，它代表了平均的公司特有收益。在任一時期里，回歸直線的特定觀測偏差記為e_i，稱為殘值。每一個殘值都是實際股票收益與由描述股票同市場之間的一般關系的回歸方程所預測出的股票收益之間的差異。這些量可以用標準回歸技術來估計。

（2）期望收益與β的關系

對式（8-1）取期望值，由于E（e_i）=0，于是：

E（R_i）=α_i+β_iE（R_M）  （8-2）

式（8-2）中的第二項說明證券的風險溢價來自于指數風險溢價，市場風險溢價成了證券的敏感系數。風險溢價的剩余部分是α，為非市場溢價。

（3）單指數模型的風險和協方差

馬科維茨模型的一個問題是需要估計龐大數量的參數，但是單指數模型大大減少了需要估計的參數。

總風險=系統性風險+公司特定風險

（4）單因素模型的估計值

單因素模型的結果如表8-1所示。

表8-1

指數模型的優勢體現在：①只需要馬科維茨模型估計值的一小部分；②指數模型的簡化對證券分析專業化非常重要。

指數模型的缺陷體現在：①指數模型的成本來自于其對資產不確定性結構上的限制。將風險簡單地二分為宏觀和微觀兩部分，過于簡化了真實世界的不確定性并忽略了股票收益依賴性的重要來源；②當殘差項相關的股票有較大的α值，而且占整個投資組合較大的比例時，單指數模型推導出的最優組合可能會明顯次優于馬科維茨模型。如果很多股票殘差項都有相關性，那么額外包含了捕捉證券間風險因素的多指數模型可能更適用于組合的分析和構造。

（5）指數模型與分散化

資產組合的方差為：

資產組合方差的系統性風險部分為，取決于單個證券的敏感系數。這部分風險依賴于資產組合的β和，不管資產組合分散化程度如何都不會改變。

相對地，資產組合方差的非系統成分是σ²（e_P），它來源于公司特有成分e_i。因為這些e_i是獨立的，都具有零期望值，所以可以得出這樣的結論：隨著越來越多的股票加入到資產組合中，公司特有風險傾向于被消除掉，非市場風險越來越小。

當各資產為等權重，且e_i不相關時，有

式中，為公司特有方差的均值。當n變大時，σ²（e_P）就變得小得可以忽略了。

總之，隨著分散化程度增加，投資組合的總方差就會接近系統風險，定義為市場因素的方差乘以投資組合敏感性系數的平方，圖8-1說明了這一現象。

圖8-1顯示當組合中包含越來越多的證券時，組合方差因為公司風險的分散化而下降。然而，分散化的效果是有限的，即使n很大，由于共同或市場因素引起的風險仍然存在，無法被分散化。

圖8-1  單因素經濟中β系數為β_P等權重組合方差

3．組合構造與單指數模型

（1）單指數模型框架

期望收益的估計取決于對宏觀和公司的預測。單指數模型的分析框架分離這兩種收益波動的來源，減少不同分析師分析的差異。單指數模型框架輸入數據的準備步驟是：

①宏觀經濟分析，用于估計市場指數的風險和溢價。

②統計分析，用于估計β系數和殘差的方差σ²（e_i）。

③投資經理用市場指數風險溢價和證券β系數的估計值來建立證券的期望收益，這不需要相關的證券分析。市場驅動的期望收益以證券都受影響的信息為條件，而不基于證券分析獲取單個公司的信息。市場驅動的期望收益可以作為一個基準。

④準確的證券特有收益的預測從各種證券估值模型得到，因此，α值反映了證券分析中發現的私人信息帶來的增量風險溢價。

（2）指數組合作為投資資產

應對分散化不足的簡單方法是直接把標準普爾500指數作為一個投資資產。如果我們把標準普爾500指數看作市場指數，那么它的β值為1，沒有公司特有風險，α值為零，即其期望收益中不包括非市場風險溢價部分。如果投資經理愿意進行證券研究，那么他可能會構造包含該指數的積極組合，得到更好的收益風險權衡。

（3）單指數模型的輸入數據

如果投資經理打算構造一個組合，包括n家積極研究的公司和一個消極的指數組合，則輸入數據為：

①標準普爾500的風險溢價。

②標準普爾500的標準差估計值。

③n套如下估計值：β系數估計值；個股殘差的方差；證券的α值（個股的α值估計值，連同標準普爾500的風險溢價，以及個股的β決定了個股的期望收益）。

（4）最優風險組合

①最優風險組合由兩個組合構成：

a．積極組合，稱之為A，由幾個分析過的證券組成（之所以稱為積極組合，是因為通過積極的證券分析后構建的組合）；

b．市場指數組合，這是第n+1種資產，目的是為了分散化，稱之為消極組合并標記為組合M。

②最優風險組合的構造過程

a．計算積極組合中每個證券的原始頭寸：

b．調整這些原始權重，使組合權重和為1，即

c．計算積極組合的α值：

d．計算積極組合的殘差：

e．計算積極組合的原始頭寸：

f．計算積極組合的β值：

g．調整積極組合的原始頭寸：

h．最優化組合的夏普比率會超過指數組合。它們之間的精確關系為：

上式表明積極組合（當持有最優權重時）對整個風險投資組合夏普比率的貢獻取決于它的α值和殘差標準差的比率。這個比率稱為信息比率（information ratio）。該比率度量當積極組合權重過高或過低時，通過證券分析可以獲得的額外收益與公司特有風險的比值。

i．此時最優風險組合的權重：

j．計算最優風險組合的風險溢價。根據指數組合的風險溢價和積極組合的α值，得出最優風險組合的風險溢價：

注意：由于指數投資組合的β值為1，則風險組合的β值為：

k．運用指數組合的方差和積極組合的殘差計算最優風險組合的方差：

4．指數模型在組合管理中的實際應用

（1）指數模型與全協方差模型的比較

預測因變量的值依賴兩個因素，系數估計的精確性和自變量預測的精度。當我們增加變量時，這兩個精確性都會受損。

增加一個指數需要預測該指數組合的風險溢價和各證券對新指數的β值。運用全協方差矩陣需要估計數以千計的風險值，即使在原理上馬科維茨模型更好，但是太多的估計誤差累計對投資組合的影響可能導致其實際上劣于單指數模型推導出來的投資組合。

相比全協方差模型潛在的優越性，單指數模型框架的實際好處非常明顯。它的另一個決定性優點是分解了宏觀分析和證券分析。

（2）行業指數模型

①決定系數R²

決定系數R²表示r_i與r_M之間相關性的平方。R²是總方差上的系統方差，表明一個行業小量波動的原因是市場的運動。公司特有方差σ²（e）是不能由市場指數來解釋的資產的方差。因此決定系數可表示為：

式中e是從回歸殘值的估計中得出的，所以稱之為標準方差N殘值。

②調整β值

調整β值的動機是：在整個期間，平均而言股票的β值似乎有向1變動的趨勢。我們知道所有證券的平均β值等于1，因此在估計一個證券的β值之前，最好的預測就是其β值等于1。然而，給定β值向1的變化趨勢，未來β系數的預測應當順勢調整。調整β估值的方法是取樣本β估計值和1進行加權：

調整β=2/3樣本β+1/3（1）

（3）預測β

β值的預測模型如下：

當前的β=a+b（歷史的β）

預測的β=a+b（當前的β）

以下變量有助于貝塔值的預測：收益的方差、現金流的方差、每股收益的增長、市場資本化、紅利收益率和資產負債比率。羅森伯格和蓋伊也發現通過控制一個公司的財務特征值、行業類型有助于預測β。

（4）指數模型與證券組合追蹤

追蹤基金是一種避險工具，用來規避不希望出現的風險。對沖基金管理人使用指數回歸方法，以及更為復雜的變量來創建追蹤組合，這是套頭策略的核心內容。對沖基金大都使用“長-短策略”，對沖基金管理人鎖定某一價格被低估了的證券，然后設法獲得一個“單一經營企業”，抵消所有外生風險，將投資下在察覺到的“阿爾法”上。