5.2　課后習題詳解

一、習題

1．費雪方程式說明實際利率約等于名義利率與通貨膨脹率的差。假設通貨膨脹率從3%漲到5%，是否意味著實際利率的下降呢？

答：費雪方程式是指名義利率等于均衡時的實際利率加上預期通貨膨脹率。因此，如果通貨膨脹率從3%漲到5%，實際利率不變，名義利率將上升2%。另外，與預期通貨膨脹率的上升相伴的可能還有實際利率的上升。如果名義利率不變而通貨膨脹率上升，則意味著實際利率下降。

2．假設有一組數據集使你可以計算美國股票的歷史收益率，并可追溯到1880年。那么這些數據對于預測未來一年的股票收益率有哪些優缺點？

答：如果假設股票歷史收益率的分布保持穩定，則樣本周期越長（即樣本越大），預期收益率越精確。這是因為當樣本容量增大時標準差下降了。然而，如果假設收益率分布的均值隨時間而變化且無法人為地控制，那么預期收益率必須基于更近的歷史周期來估計。在一系列數據中，需要決定回溯到多久以前來選取樣本。本題如果選用從1880年到現在的所有數據可能不太精確。

3．你有兩個2年期投資可以選擇：①投資于有正風險溢價的風險資產，這兩年的收益分布不變且不相關，②投資該風險資產一年，第二年投資無風臉資產。以下陳述哪些是正確的？

a．第一種投資2年的風險溢價和第二種投資相同

b．兩種投資兩年收益的標準差相同

c．第一種投資年化標準差更低

d．第一種投資的夏普比率更高

e．對風險厭惡的投資者來說第一種投資更有吸引力

答：c項和e項正確。解釋如下：

c項：令σ＝風險投資的標準差（年），σ₁＝第一種投資2年中的標準差（年），可得σ₁=2×σ。

因此，第一種投資的年化標準差為：

e項：第一種投資更吸引風險厭惡程度低的投資者。第一種投資（將會導致一系列的兩個同分布但不相關的風險投資）比第二種投資（風險投資后跟著一個無風險投資）風險更大。因此，第一種投資對風險厭惡程度低的投資者更有吸引力。然而要注意，如果錯誤的認為“時間分散化”可以減少整個風險投資的風險，那么可能會得出第一種投資風險更小因此更吸引高風險厭惡者的結論。這顯然是錯誤的。第一種投資的標準差大于第二種投資。

4．你有5000美元投資于下一年，有三種選擇

a．貨幣市場基金，平均期限30天，年收益率6%

b．1年的儲蓄存單，利率7.5%

c．20年國庫券，到期收益率為9%

未來利率的預期在你的決策中起什么作用？

答：在貨幣市場上，第二年的持有期收益率取決于每月證券到期展期時的30天利率。一年期儲蓄存款將提供7.5%的持有期收益率。如果預計貨幣市場工具的利率上漲，會遠高于現在的6%，則貨幣市場基金可能會有較高的年度持有期收益。20年期的國債提供每年9%的到期收益率，比一年期銀行儲蓄存款利率高出150個基點，然而如果長期利率在這一年間上漲，則持有債券一年的持有期收益率將小于7.5%。如果國債收益率在該期間內上漲至9%以上，則債券的價格就會下跌，如果在這一年內債券收益率保持不變，資本損失將消除掉9%的部分甚至全部收益。

5．用圖5-1來分析以下情況對實際利率的影響

a．商業不景氣，對未來產品需要越來越悲觀，決定減少資本支出

b．家庭傾向于更多儲蓄，因為未來社會保障不確定性增大

c．美聯儲在公開市場上購買國庫券來增加貨幣供給

答：a．如果企業降低資本支出，它們就很可能會減少對資金的需求。這將使得圖5-1中的需求曲線向左上方移動，從而降低均衡實際利率。

b．居民儲蓄的增加將使得資金的供給曲線向右下方移動，導致實際利率下降。

c．在公開市場上購買由美聯儲發行的財政證券，等價于增加資金的供給（供給曲線向右移動），從而均衡的實際利率將下降。

6．現在考慮，你愿意將50000美元投資于利率為5%的傳統一年期銀行存單，還是投資于一年期與通貨膨脹率掛鉤的大額存單，年收益率為1.5%加上通貨膨脹率。

a．哪種投資更安全？

b．哪一種投資期望收益率更高？

c．如果投資者預期來年通貨膨脹率為3%，哪一種投資更好？

d．如果觀察到無風險名義利率為5%，實際利率為1.5%，能推出市場預期通貨膨脹率是3.5%嗎？

答：a．與通貨膨脹率掛鉤的大額存單更安全，因為它保證了投資的購買力。運用實際利率等于名義利率減去通貨膨脹率的近似概念，不論通脹率如何，大額存單提供了1.5%的實際收益率。

b．預期收益率取決于來年的預期通貨膨脹率。如果預期通貨膨脹率小于3.5%，則傳統的大額存單將提供較高的實際收益率；如果預期通貨膨脹率高于3.5%，則與通脹掛鉤的大額存單將提供較高的實際收益率。

c．如果預期明年的通貨膨脹率為3%，則傳統的大額存單將提供2%的預期實際收益率，比與通脹掛鉤的大額存單的實際收益率高出0.5%。但是除非有一定的把握確知通脹率將是3%，否則傳統的大額存單的風險顯然更大。至于哪一種投資更好，則要根據投資者對風險和收益的態度而定。投資者可能會選擇分散投資，每種資產都投資一部分資金。

d．不能。不能假定5%的名義無風險利率（傳統的大額存單）和1.5%的實際無風險利率（通脹保護型大額存單）之間的整個差額就是預期的通貨膨脹率。該差額的一部分可能是與傳統大額存單的不確定性風險有關的風險溢價。因此預期的通貨膨脹率可能要小于每年3.5%。

7．假設你對股價的預期如表5-1所示。

表5-1

使用教材式（5-11）和教材式（5-12）來計算持有期收益率的均值和標準差。

答：E（r）＝0.35×44.5%＋0.30×14.0%＋0.35×（-16.5%）＝14%；

σ²＝0.35×（44.5-14）²＋0.30×（14-14）²＋0.35×（-16.5-14）²＝651.175；

σ＝25.52%。

均值沒變，但是標準差隨著高收益和低收益的概率的增加而增加了。

8．推導票面利率8%的30年國庫券1年期持有期收益率的概率分布。現以面值出售，一年后到期收益率分布如表5-2所示。

表5-2

為了簡化，認為利息為年末支付。

答：30年期美國國庫券（在年末時還有29年到期）的價格和一年持有期收益率的概率分布如下表：

9．隨機變量q的標準差為多少，其概率分布如表5-3所示：

表5-3

答：E（q）＝（0×0.25）＋（1×0.25）＋（2×0.50）＝1.25；

σ＝[0.25×（0-1.25）²＋0.25×（1-1.25）²＋0.50×（2-1.25）²]^1/2＝0.8292。

10．一個股票的連續復利收益是正態分布的，均值20%，標準差30%。在95.44%的置信水平下，預期其實際收益的范圍是多少？參考教材圖5-4。

答：在95.44%的置信水平下，正態分布變量的值會落在均值的兩個標準差之間，即-40%到80%之間。

11．應用1926～2009年的歷史風險溢價，你對標準普爾500指數的預期年持有期收益率為多少？無風險利率為3%。

答：從教材表5-3和教材圖5-6可知，1926～2009年間的平均風險溢價是：（11.63%-3.71%）＝7.92%/年。

3%的無風險利率加上7.92%，可得對標準普爾500指數的預期年持有期收益率為：3.00%＋7.92%＝10.92%。

12．你可以從網站（www.mhhe.eom/bkm）找到各種分類資產的年持有期收益率；計算1980～2009近30年的大盤股和長期美國國庫券的年持有期收益率的均值、標準差、偏度和峰度。統計結果與1926～1941有何異同？你認為對未來投資計劃最有用的統計量是什么？

答：在各個時期的平均收益率和標準差有很大的不同：

用于預測未來的最相關的統計數據似乎是在1976至2005年期間的數據，因為這一期間實行了一個不同與以往的經濟體制。在1955年后，美國的經濟進入凱恩斯時代，當時聯邦政府積極嘗試穩定經濟以阻止經濟周期繁榮和衰退的急劇波動。在該階段可以注意到股票收益率的標準差大幅下降而債券收益的標準差卻上升了。

13．在惡性通貨膨脹期間，某債券的名義持有期收益率為每年80%，通貨膨脹率為70%。

a．該債券在一年里的實際持有期收益率是多少？

b．比較實際持有期收益率和實際利率。

答：a．

b．ｒ≈R-i＝80%-70%＝10%。

顯然，實際持有期收益率的近似值過高。

14．假定不遠的將來預期通貨膨脹率為3%，根據本章提供的歷史數據，你對下列各項的預期如何？

a．短期國庫券利率

b．大盤股的期望收益率

c．股票市場的風險溢價

答：從教材表5-2可知，國庫券的平均實際利率為0.70%。

a．國庫券：0.72%實際利率＋3%通脹率＝3.72%。

b．大盤股的期望收益率：3.70%國庫券利率＋8.40%歷史風險溢價＝12.10%。

c．股票的風險溢價保持不變。溢價，即兩種利率之間的差額，是一個實際值，不受通貨膨脹的影響。

15．經濟正在從嚴峻的衰退中快速復蘇，商業前景預計資本投資的需求量很大。為何這一發展影響實際利率？

答：實際利率預期會上升。投資活動將使得圖5-1中的資金需求曲線向右移動。因此，均衡時的實際利率將增加。

16．你面臨持有期收益率的概率分布如教材表5-4所示。假設一份指數基金的看跌期權價格為12美元，執行價格為110美元，期限1年。

a．看跌期權持有期收益率的概率分布

b．一份基金和一份看跌期權構成的組合，其持有期收益率的概率分布

c．購買看跌期權如何起到保險的作用

答：a．股票和看跌期權的持有期收益率的概率分布為：

指數基金的成本為每股100美元，看跌期權的成本為12美元。

b．一份指數基金加一份看跌期權的總成本為112美元。該組合的持有期收益率的概率分布為：

c．購買看跌期權保證了投資者最少有0.0%的持有期收益率，不管股票價格有怎樣的變動。因此，它提供了價格下跌的保險。

17．繼續前一問題，假設無風險利率為6%，你打算投資107.55美元于一年期銀行存單，同時購買股票市場基金的看漲期權，執行價格為110美元，期限一年。你全部投資一年后收益的概率分布是多少？

答：大額存單加上看漲期權的收益的概率分布為：

二、CFA考題

1．投資100000美元，從表5-4中計算投資權益的期望風險溢價

表5-4

答：權益投資的期望收益為18000美元，國庫券投資的期望收益是5000美元。因此，期望風險溢價為13000美元。

2．基于以下情景，組合的期望收益如何？

答：E（r）＝0.2×（-25%）＋0.3×10%＋0.5×24%＝10%。

基于以下股票X和Y的情境分析（見表5-5），回答3～6題

表5-5

3．股票X和Y的期望收益率？

答：E（r_X）＝0.2×（-20%）＋0.5×18%＋0.3×50%＝20%；

E（r_Y）＝0.2×（-15%）＋0.5×20%＋0.3×10%＝10%。

4．股票X和Y收益率的標準差？

答：＝[0.2×（-20-20）²]＋[0.5×（18-20）²]＋[0.3×（50-20）²]＝592

σ_X＝24.33%

＝[0.2×（-15-10）²]＋[0.5×（20-10）²]＋[0.3×（10-10）²]＝175

σ_Y＝13.23%

5．假設投資9000美元于股票X，1000美元于股票Y。組合的期望收益率是多少？

答：E（r）＝（0.9×20%）＋（0.1×10%）＝19%。即1900美元的回報。

6．三種經濟狀況的概率和特定股票收益的概率如表5-6所示

表5-6

經濟狀況正常但是股票表現差的概率為多少？

答：經濟狀況為正常的概率為0.50（或50%）。在一個正常經濟情況下，股票有30%的時間表現差。因此，經濟狀況正常但是股票表現差的概率為：0.30×0.50＝0.15＝15%。

7．分析師估計某股票有以下收益分布（見表5-7）

表5-7

股票的期望收益為多少？

答：E（r）＝（0.1×15%）＋（0.6×13%）＋（0.3×7%）＝11.4%。