第二部分　資產(chǎn)組合理論與實踐

第5章　風險與收益入門及歷史回顧

5.1　復習筆記

1．利率水平的決定因素

（1）預測利率的基本因素

利率水平及其未來價值的預測是投資決策中最為重要的部分。

預測利率首先基于以下一些基本因素：

①存款人特別是居民的資金供給。

②企業(yè)由于購置廠房設備及存貨而進行項目融資所引發(fā)的資金需求。

③政府通過聯(lián)邦儲備銀行運作產(chǎn)生的資金凈供給或凈需求。

（2）實際利率與名義利率

名義利率是貨幣增長率，實際利率是購買力增長率，設名義利率為R，實際利率為r，通脹率為i，則有下式近似成立r≈R-i，換句話說，實際利率等于名義利率減去通脹率。

嚴格上講，名義利率和實際利率之間有下式成立：

購買力增長值（1＋r）等于貨幣增長值（1＋R）除以新的價格水平（1+i），由上式推導得到：

顯然可以看出由r≈R-i得出的近似值高估了實際利率1＋i倍。

（3）實際利率與名義利率均衡

①實際利率均衡

實際利率均衡由四個基本因素決定：供給、需求、政府行為和通貨膨脹率。圖5-1描繪了一條向下傾斜的需求圖5-1實際利率均衡決定因素曲線和一條向上傾斜的供給曲線，橫軸代表資金的數(shù)量，縱軸代表實際利率。

圖5-1  實際利率均衡決定因素

供給曲線向上傾斜是因為實際利率越高，居民儲蓄的需求也就越大。這個假設基于這樣的原理：實際利率高，居民會推遲現(xiàn)時消費轉為未來消費并進行現(xiàn)時投資。需求曲線向下傾斜是因為實際利率偏低，廠商會加大其資本投資的力度。供給曲線與需求曲線的交點形成圖5-1中的均衡點E。政府和中央銀行（聯(lián)儲）可以通過財政政策或者貨幣政策向左或向右移動供給曲線和需求曲線。例如，假定政府預算赤字增加，政府需要增加借款，推動需求曲線向右平移，均衡點從E點移至E′點。

②名義利率均衡

資產(chǎn)的實際收益率等于名義利率減去通脹率，因此，當通脹率增加時，投資者會對其投資提出更高的名義利率要求，從而保證投資項目所提供的實際利率不變。

歐文·費雪認為名義利率應當伴隨著預期通脹率的增加而增加。假設目前的預期通脹率將持續(xù)到下一時期，記為E（i），那么費雪等式為：R=r＋E（i），這表明如果實際利率是穩(wěn)定的，名義利率的上漲意味著更高的通脹率。

實證研究很難證實費雪關于名義利率的上漲意味著有一更高的通脹率的假設，這是因為往往實際利率也在發(fā)生著無法預測的變化。名義利率可以被視為是名義上無風險資產(chǎn)的必要收益率加上通脹的預測值。

（4）稅收與實際利率

假設稅率為t，名義利率為R，則稅后名義利率為R（1-t）。稅后實際利率近似等于稅后名義利率減去通貨膨脹率，即：

R（1-t）-i=（r+i）（1-t）-i=r（1-t）-it

因此，稅后實際利率隨著通貨膨脹率的上升而下降，投資者承受了相當于稅率乘以通貨膨脹率的損失。

2．比較不同持有期的收益率

（1）年化收益率

在比較不同持有期的投資收益時，可以將每一個總收益換算成某一常用期限的收益率。我們通常把所有的投資收益表達為有效年利率（EAR），即一年期投資價值增長百分比。

對于一年期的投資來說，有效年利率等于總收益率r_f（1），總收入（1+EAR）是每一美元投資的最終價值。對于期限少于一年的投資，我們把每一階段的收益按復利計算到一年。對于投資期長于一年的投資來說，通常把有效年利率作為年收益率。

總的來說，我們可以把有效年利率與總收益率r_f（T）聯(lián)系在一起，運用下面的公式計算持有期為T時的回報。即：

1+EAR=[1+r_f（T）]^1/T

（2）年化百分比利率

短期投資（通常情況下，T＜1）的收益率是通過簡單利率而不是復利來計算的。這被稱為年化百分比利率（APR）。通常說來．如果把一年分成n個相等的期間，并且每一期間的利率是r_f（T），那么，APR=n×r_f（T）。反之，也通過年化百分比利率得到每個期間的實際利率r_f（T）=T×APR。

對一個期限為T的短期投資來說，每年有n=1/T個復利計算期。因此，復利計算期、有效年利率和年化百分比利率的關系可以用下面的公式來表示：

1+EAR=[1+r_f（T）]ⁿ=[1+r_f（T）]^1/T=[1+T×APR]^1/T

（3）連續(xù)復利

當T趨近于零，我們得到連續(xù)復利，并且可以用下面的指數(shù)函數(shù)得到有效年利率與年化百分比利率（在連續(xù)復利時，用k表示）的關系：

化簡得：

ln（1+EAR）=r_cc

3．國庫券與通貨膨脹

歷史經(jīng)驗告訴我們，即使再溫和的通貨膨脹都會使低風險投資的實際回報偏離其名義值。

4．風險和風險溢價

（1）持有期收益率

持有期收益率的定義假設股利在持有期期末支付。如果股利支付提前，那么持有期收益率便忽略了股利支付點到期末這段時間的再投資收益。來自股利的收益百分比被稱為股息收益率，所以股息收益率加上資本利得收益率等于持有期收益率。

（2）期望收益率和標準差

①期望收益率

期望收益率是在不同情境下收益率以發(fā)生概率為權重的加權平均值。假設p（s）是各種情境的概率，r（s）是各種情境的持有期收益率，情境由s來標記，期望收益率可以寫作：

②標準差

收益的標準差σ可以用來測度風險，通常它被定義為方差的平方根，而方差是期望收益偏差的期望值。結果的波動程度越強，這些方差的均值也就越大。因此，方差和標準差提供了測量結果不確定性的一種方法，也就是：

（3）超額收益和風險溢價

回報分為兩種：一種是投資于指數(shù)基金的期望總收益，一種是投資于譬如國庫券、貨幣市場工具或銀行存款上的無風險利率。兩者之差稱為普通股風險溢價。任何特定時期風險資產(chǎn)同無風險資產(chǎn)收益之差稱為超額收益。所以，風險溢價也是期望的超額收益。

投資者投資股票的意愿取決于其風險厭惡水平。金融分析師通常假設投資者是風險厭惡的，當風險溢價為零時，人們不愿意對股票市場做任何投資。理論上說，必須有正的風險溢價來促使風險厭惡的投資者繼續(xù)持有現(xiàn)有的股票而不是將他們的錢轉移到其他無風險的資產(chǎn)中去。

5．歷史收益率的時間序列分析

（1）時間序列與情境分析

設定一組相關的情境和相應的投資回報，并對每個情境設定其發(fā)生的概率，最后計算該投資的風險溢價和標準差。

（2）期望收益和算術平均值

使用歷史數(shù)據(jù)時，我們認為每一個觀測值等概率發(fā)生。所以如果有n個觀測值，則每個觀測值發(fā)生的概率為1/n。期望收益可表示為：

（3）幾何（時間加權）平均收益

樣本期間內(nèi)的收益表現(xiàn)可以用某一年化持有期收益率來衡量，由時間序列中復利終值反推得到。定義該收益率為g，則有：

變形得：

g=終值^1/n-1

1+g是時間序列的總收益1+r的幾何平均數(shù)，g是年化持有期收益率。投資者稱g為時間加權（區(qū)別于貨幣加權）的平均收益，它強調了在平均過程中每個歷史收益為等權重的。

兩種平均方法的差別十分重要，因為投資經(jīng)理作為投資者常常要經(jīng)歷基金數(shù)目顯著變化的情況，可能需要購買或者贖回其投資份額，而規(guī)模大時比規(guī)模小時獲得更多的投資回報（或損失），不能單純看收益率。

收益率波動越大，兩種平均方法的差異越大。如果收益服從正態(tài)分布，預期差異為分布方差的1/2，即

E[幾何平均值]=E[算術平均值]-1/2σ²

當收益率服從正態(tài)分布時，上式的擬合效果較好。

（4）方差和標準差

當人們考慮風險時，關注的是偏離期望收益的可能性。實際中，無法直接預期，所以通過偏離期望收益估計值的平方和來計算方差。按每個觀測值等概率出現(xiàn)，樣本平均值作為E（r），方差=離差平方的期望值，則

使用歷史數(shù)據(jù)，估計方差為：

（5）收益波動性（夏普）比率

收益（風險溢價）和風險（通過標準差來衡量）之間的權衡意味著人們需要利用投資的風險溢價與標準差的比率來度量投資組合的吸引力。

夏普比率=風險溢價/超額收益率的標準差

這一比率廣泛用于評估投資經(jīng)理的業(yè)績。

6．正態(tài)分布

如果投資者對收益的期望是理性預期，那么實際收益率應該是服從以此期望為均值的正態(tài)分布。一個正態(tài)分布的形態(tài)完全由其均值和標準差這兩個參數(shù)來決定。

如果收益率的分布可以用正態(tài)分布來近似擬合的話，投資管理將變得更加有理有據(jù)。

（1）正態(tài)分布是左右對稱的，也就是說，均值左右程度一樣的偏離其發(fā)生的概率也一樣。沒有對稱性的話，用收益的標準差來衡量風險顯然是不合適的。

（2）正態(tài)分布具有穩(wěn)定性，意味著對于具有正態(tài)性的不同資產(chǎn)，其構成的組合的收益同樣服從正態(tài)分布。

（3）當資產(chǎn)或資產(chǎn)組合收益分布只有兩個變量時，對其未來的情境分析因為需要考慮的變量很少而會變得簡單許多。

7．偏離正態(tài)分布和風險度量

超額收益的正態(tài)分布大大簡化了組合選擇的過程。然而，很多投資者通過觀察相信資產(chǎn)收益對正態(tài)分布的偏離已經(jīng)很顯著，不可忽視。正態(tài)偏離可以通過計算收益分布的高階矩來看到。超額收益R的n階中心矩為

，一階矩為0，二階矩為方差的估計值。

一個關于不對稱性的度量，稱為偏度，計算公式如下：

偏差的立方有正有負。因此，如果分布是右偏，偏度為正。如果分布是左偏則偏度為負。當偏度為正時，標準差高估風險；當偏度為負時，標準差低估風險。

另一個正態(tài)偏離的度量考慮分布兩端極端值出現(xiàn)的可能性，這種度量稱為峰度，計算公式如下：

之所以減去3是因為正態(tài)分布的峰度為3，所以減去3后峰度為正則說明存在肥尾現(xiàn)象。

（1）在險價值

在險價值（VaR）是度量一定概率下發(fā)生極端負收益所造成的損失。

當投資組合的收益率為正態(tài)分布時，VaR可以從分布的均值和標準差中直接推導出來。標準正態(tài)分布（均值為0，標準差為1）的5%分位數(shù)為-1.65，因此相應的VaR為：

VaR（0.05,正態(tài)分布）=均值+（-1.65）×標準差

（2）預期尾部損失

當我們通過觀測最壞的5%的情況來評估尾部風險時，VaR是所有這些情況中收益率最高（損失最小）的。一個對損失敞口頭寸更加現(xiàn)實的觀點是：關注最壞情況條件下的預期損失。這樣的一個值有兩個名稱：預期損失（ES）或條件尾部期望（CTE），后者強調了其與左尾分布之間的密切關系。

（3）下偏標準差與索提諾比率

正態(tài)分布情況下用標準差作為風險的度量存在以下幾個問題：

①分布的非對稱性要求我們獨立地考察收益率為負的結果；

②因為無風險投資工具是風險投資組合的替代投資，因而我們應該考察收益對無風險投資收益的偏離而不是對平均投資收益的偏離；

③正態(tài)分布沒有考慮實際分布中的尖峰厚尾特征。

下偏標準差（LPSD）可以解決前兩個問題。其計算方法和普通標準差的計算相似，但它只使用相對于無風險收益率負偏（而非相對于樣本均值負偏）的那些收益率。因此下偏標準差實際代表的是給定損失發(fā)生情況下的均方偏離。

從業(yè)人員用下偏標準差來替代標準差，同樣也用超額收益率對下偏標準差的比率來替代夏普比率（平均超額收益率對標準差的比率）。夏普比率的這一變形被稱為索提諾比率。

8．風險組合的歷史收益：股票與長期政府債券

（1）全球大公司股票組合

該投資組合是所有國家指數(shù)的組合。每個國家指數(shù)由該國的所有大公司股票的市價以其總資本（其所有股票的市值）的大小為權重加權計算得到。每個國家指數(shù)按照各個國家市場資本總額加權得到全球大公司股票組合。

（2）美國大公司股票組合

這個投資組合由美國標準普爾500指數(shù)中的公司股票按照各個股票的總市值加權得到。

（3）美國小公司股票組合

這個指數(shù)度量以總資本額排序后1/5的公司的股票收益。

（4）美國長期政府債券

長期國庫券收益率由美國所有期限超過10年的政府債券構成的巴克萊資本（前雷曼兄弟）價值加權指數(shù)來衡量。

（5）多元投資組合

多元投資組合由全球大公司股票、美國小公司股票、美國長期債券三種分別按50%、20%、30%的比例組合而成。不管這個多元組合是不是最優(yōu)投資組合，它都可以檢驗資產(chǎn)品種層面上的分散化投資是否更有利于風險收益決策。

9．長期投資

（1）長期投資的風險和對數(shù)正態(tài)分布

當一項資產(chǎn)每一期的復利都服從同一正態(tài)分布時，其有效收益率，即實際的持有期收益率，將服從對數(shù)正態(tài)分布。當期限較長時，就必須考慮到連續(xù)復利服從正態(tài)分布，而持有期收益率服從對數(shù)正態(tài)分布。

假定連續(xù)的年度復利r是服從幾何均值為g，標準差為σ的正態(tài)分布。如果它是服從正態(tài)分布的，那么算術平均值所示的預期年收益，將等于幾何平均值與0.5倍的方差之和。

因此，連續(xù)復利的期望收益為：

m=g+1/2σ²

因此可以得到預期的實際年收益公式

一項預期年收益率為E（r）的投資在T年后的終值將等于［1+E（r）］T。于是可以得到連續(xù)復利年均值為m，標準差為σ情況下的終值：

注意到連續(xù)復利的均值（mT）和方差σ²T都與投資期限同比例增長。標準差與同比例增長。隨著時間的延長，投資風險將下降。這是因為隨著投資期限的增長，期望收益的增速大于標準差的增速。

（2）夏普比率回顧

夏普比率（收益風險比）是平均超額收益和標準差的比值。夏普比率是有時間維度的，一個投資組合的夏普比率隨持有期系統(tǒng)性地發(fā)生變化。

當持有期增加時，平均連續(xù)復利收益將等比例地上升，而標準差卻隨時間的平方根等比例增長。因此夏普比率也會隨著持有期以時間的平方根的速度增長。比較月收益和年收益的夏普比率時，必須先將月度的比率乘以

。

（3）長期未來收益的模擬

一個從過去了解未來長期收益分布的方法是從有效樣本中模擬出未來的收益。實現(xiàn)這一任務的一個流行的方法叫做拔靴法。

拔靴法是一個可以避免各類收益分布假設的實驗過程，直接簡單假設歷史樣本中的收益結果發(fā)生的可能性相等。做這一模擬實驗中的主要決策就是應該盡可能多地用全部可靠歷史樣本來包括低概率極值點。

（4）長期預測

Jacquier、Kane和Marcus證明長期總收益的無偏預測要求計算所用的復利采用算術和幾何平均收益率的加權值。幾何平均的權重系數(shù)等于預測期的長度和樣本長度的比值。例如，用80年的歷史樣本預測25年期的投資累積收益，其無偏估計應采用的復利利率是：