第10章　函數項級數

10.1　復習筆記

一、函數項級數的一致收斂性

1．點態收斂

（1）函數項級數

設u_n（x）（n＝1，2，3，…）是具有公共定義域E的一列函數，將這無窮個函數的“和”

u₁（x）＋u₂（x）＋…＋u_n（x）＋…

稱為函數項級數，記為

（2）收斂點與收斂域

①設u_n（x）（n＝1，2，3，…）在E上定義，對于任意固定的x_n∈E，若數項級數的收斂點．

②函數項級數的收斂點全體所構成的集合稱為的收斂域．

（3）和函數

設的收斂域為，則就定義了集合D上的一個函數

S（x）稱為的和函數，并稱在D上點態收斂于S（x）．

2．函數項級數（或函數序列）的一致收斂性

（1）一致收斂的定義

①設{S_n（x）}（x∈D）是一函數序列，若對任意給定的ε＞0，存在僅與ε有關的正整數N（ε），當n＞N（ε）時，

|S_n（x）－S（x）|＜ε

對一切x∈D成立，則稱{S_n（x）}在D上一致收斂于S（x），記為S（x）．

②若函數項級數的部分和函數序列{S_n（x）}，其中S_n（x），在D上一致收斂于S（x），則稱在D上一致收斂于S（x）．

（2）函數項級數一致收斂的必要條件

若函數項級數在D上一致收斂，則函數序列{u_n（x）}在D上一致收斂于u（x）≡0．

（3）內閉一致收斂

若對于任意給定的閉區間[a，b]" />D，函數序列{S_n（x）}在[a，b]上一致收斂于S（x），則稱{S_n（x）}在D上內閉一致收斂于S（x）．

注：在D上一致收斂的函數序列必在D上內閉一致收斂，但其逆命題不成立．

（4）一致收斂性的判別定理

①設函數序列{S_n（x）}在集合D上點態收斂于S（x），定義S_n（x）與S（x）的“距離”為

則{S_n（x）}在D上一致收斂于S（x）的充分必要條件是：

②設函數序列在集合D上點態收斂于S（x），則在D上一致收斂于S（x）的充分必要條件是：對任意數列成立

二、一致收斂級數的判別與性質

1．一致收斂的判別

（1）函數項級數一致收斂的Cauchy收斂原理

①函數項級數在D上一致收斂的充分必要條件是：對于任意給定的ε＞0，存在正整數N＝N（ε），使

對一切正整數m＞n＞N與一切成立．

②（函數序列一致收斂的Cauchy收斂原理）函數序列在D上一致收斂的充分必要條件是：

（2）Weierstrass判別法

設函數項級數的每一項滿足

并且數項級數收斂，則在D上一致收斂．

（3）Abel判別法與Dirichlet判別法

設函數項級數滿足如下兩個條件之一，則在D上一致收斂．

①（Abel判別法）函數序列對每一固定的關于n是單調的，且

在D上一致有界：

同時，函數項級數在D上一致收斂．

②（Dirichlet判別法）函數序列對每一固定的關于n是單調的，且在D上一致收斂于0；同時，函數項級數的部分和序列在D上一致有界，即

2．一致收斂級數的性質

（1）連續性定理

①設函數序列的每一項S_n（x）在[a，b]上連續，且在[a，b]上一致收斂于S（x），則S（x）在[a，b]上也連續．

②設對每個n，u_n（x）在[a，b]上連續，且在[a，b]上一致收斂于S（x），則S（x）在[a，b]上連續．這時，對任意，成立

即極限運算與無限求和運算可以交換次序．

（2）逐項積分定理

①設對每個n，u_n,（x）在[a，b]上連續，且在[a，b]上一致收斂于S（x），則S（x）在[a，b]上可積，且

即積分運算可以和無限求和運算交換次序．

②（函數序列的逐項積分定理）設函數序列的每一項S_n（x）在[a，b]上連續，且在[a，b]上一致收斂于S（x），則S（x）在[a，b]上可積，且

（3）逐項求導定理

①（函數序列的逐項求導定理）設函數序列滿足：

a．在[a，b]上有連續的導函數；

b．在[a，b]上點態收斂于S（x）；

c．在[a，b]上一致收斂于σ（x），則S（x）在[a，b]上可導，且

②（函數項級數的逐項求導定理）設函數項級數滿足

a．在[a，b]上有連續的導函數；

b．在[a，b]上點態收斂于S（x）；

c．在[a，b]上一致收斂于σ（x），

則（x）在[a，b]上可導，且

即求導運算可以與無限求和運算交換次序．

（4）Dini定理

①設函數序列在閉區間[a，b]上點態收斂于S（x），如果

a.在[a，b]上連續；

b.S（x）在[a，b]上連續；

c.關于n單調，即對任意固定的x∈[a，b]，是單調數列，則在[a，b]上一致收斂于S（x）．

②設函數項級數在閉區間[a，b]上點態收斂于S（x），如果

a.在[a，b]上連續；

b.S（x）在[a，b]上連續；

c.對任意固定的x∈[a，b]，是正項級數或負項級數；則在[a，b]上一致收斂于S（x）．

三、冪級數

1．冪級數的定義

冪級數是一類特殊的函數項級數，其形式為

2．冪級數的收斂半徑

（1）定義

令

則定義

冪級數的收斂半徑即為R，并當R＝＋∞時，冪級數對一切都是絕對收斂的；當R＝0時，冪級數僅當x＝x₀時收斂．

（2）Cauchy-Hadamard定理

冪級數，當時絕對收斂；當|x|＞R時發散．

注：①在區間的端點x＝±R，冪級數收斂與否必須另行判斷．

②對于，則有平行的結論：冪級數在以x₀為中心，以R為半徑的對稱區間內絕對收斂，而在該區間外發散．在區間的端點處，冪級數的斂散性必須另行判斷．

（3）d’Alembert判別法

如果對冪級數成立

則此冪級數的收斂半徑為R＝1/A．

3．冪級數的性質

（1）Abel第二定理

設冪級數的收斂半徑為R，則

①在（－R，R）上內閉一致收斂，即在任意閉區間R）上一致收斂；

②若在x＝R收斂，則它在任意閉區間上一致收斂．

類似地可進一步得到：若在x＝－R收斂，則它在任意閉區間上一致收斂；若在x＝±R都收斂，則它在[－R，R]上一致收斂．

概括地說，冪級數在包含于收斂域中的任意閉區間上一致收斂．

（2）冪級數的性質和相關定理

①和函數的連續性：冪級數在它的收斂域上連續．

②定理  設的收斂半徑為R，則和函數在（－R，R）上連續；若在x＝R（或x＝－R）收斂，則和函數在x＝R（或x＝－R）左（右）連續．

③逐項可積性：冪級數在包含于收斂域中的任意閉區間上可以逐項求積分．

④定理  設a，b是冪級數收斂域中任意二點，則

特別地，取a＝0，b＝x，則有

且逐項積分所得冪級數與原冪級數具有相同的收斂半徑．

⑤逐項可導性  冪級數在它的收斂域內部可以逐項求導．

⑥定理  設的收斂半徑為R，則它在（－R，R）上可以逐項求導，即

且逐項求導所得的冪級數的收斂半徑也是R．

四、函數的冪級數展開

1.Taylor級數與余項公式

（1）Taylor級數

①假設函數f（x）在x₀的某個鄰域O（x₀，r）上可表示成冪級數

即冪級數在O（x₀，r）上的和函數為f（x）．由冪級數的逐項可導性，f（x）必定在O（x₀，r）上任意階可導，且對一切k∈N⁺，

令x＝x₀，得到

稱由和函數f（x）惟一確定的系數{a_n}為f（x）在x₀的Taylor系數．

②設函數f（x）在x₀的某個鄰域O（x₀，r）上任意階可導，則能求出它在x₀的Taylor系數

，并作出冪級數

稱其為f（x）在x₀的Taylor級數．

注：一個任意階可導的函數的Taylor級數并非一定能收斂于函數本身．

（2）余項公式

設f（x）在O（x₀，r）有n＋1階導數，則

其中r_n（x）是n階Taylor公式的余項．

（3）相關定義、定理

①定理  設f（x）在O（x₀，r）上任意階可導，則

其中

②對余項r_n（x）的積分形式應用積分第一中值定理，考慮到當t∈[x₀，x]（或[x，x₀]）時，（x－t）ⁿ保持定號，于是就有

（ξ在x₀與x之間）

　  0≤θ≤1，

此時r_n（x）就是Lagrange余項．

③如果將f^（n+1）（t）（x－t）ⁿ看作一個函數，應用積分第一中值定理，則有

（ξ在x₀與x之間）

  0≤θ≤1，

此時r_n（x）的這一形式稱為Cauchy余項．

2．初等函數的Taylor展開

（1）x∈（－∞，＋∞）；

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）f（x）＝（1＋x）^α，α≠0是任意實數．

①當α是正整數m時，

即它的Taylor展開就是二項式展開，只有有限個項．

②當α不是正整數時，由于f（x）＝（1+x）^α的各階導數為

f^（k）（x）＝α（α－1）…（α－k＋1）（1＋x）^α－k，k＝1，2，…，

可知f（x）在x＝0的Taylor級數為

（7）x∈[－1，1]．

五、用多項式逼近連續函數

1．相關定義

（1）多項式一致逼近

設函數f（x）在閉區間[a，b]上有定義，如果存在多項式序列{P_n（x）}在[a，b]上一致收斂于f（x），則稱f（x）在這閉區間上可以用多項式一致逼近．

（2）多項式一致逼近另一種表述

f（x）在[a，b]上可以用多項式一致逼近的充分必要條件為：對任意給定的ε＞0，存在多項式P（x），使得

對一切x∈[a，b]成立．

2．相關定理

（1）Weierstrass第一逼近定理

設f（x）是閉區間[a，b]上的連續函數，則對任意給定的ε＞0，存在多項式P（x），使得

對一切x∈[a，b]成立．

（2）Weierstrass第一逼近定理另一種表述

設f在[a，b]上連續，則它的Bernstein多項式序列{B_n（f，x）}在[a，b]上一致收斂于f．