第5章　不確定性與消費者行為

一、單項選擇題

1．下列函數中，（　　）是可能來自一個風險偏好者的效用函數。

A．　 

B．

C．　

D．

【答案】Ｃ

【解析】風險偏好者的預期效用函數是一個凸函數，即，只有C項符合這一特點。

2．假定某投資者面對兩個投資項目A和B。項目A報酬為（）的概率為1/2，報酬為（）的概率為1/2，。項目B的報酬固定為。該投資者選擇了項目B。那么，該投資者為（　　）。

A．風險厭惡者

B．風險偏好者

C．風險中性

D．不確定

【答案】A

【解析】由題意可知，，即投資者投資項目A的期望值等于無風險條件下可以持有的固定報酬。投資者在這種前提下選擇了項目B，表明他認為無風險條件下持有固定財富的效用大于項目A的期望效用，因此是風險厭惡者。

3．假設你去買一張彩票，而且你知道將以0.1的概率得到2500元，0.9的概率得到100元。假設你的效用函數為，那么你從所購買的彩票中得到的期望效用為（　　）。

A．360

B．14

C．46

D．1300

【答案】B

【解析】期望效用的計算公式為，其中，，為兩種自然狀態，發生的概率。將以及，，，代入期望效用計算公式，可得期望效用為14。

4．假設一個消費者的效用函數為，那么該消費者是（　　）。

A．風險規避的

B．風險中性的

C．風險偏好的

D．都不是

【答案】C

【解析】消費者的效用函數為，邊際效用為，邊際效用對的導數為，因此該效用函數為凸的，也就是該消費者是風險偏好者。

二、簡答題

1．一個風險回避者有機會在以下兩者之間選擇，在一次賭博中，他有25%的概率得到1000美元，有75%的概率得到100美元，或者，他不賭可以得到325美元，他會怎樣選擇？如果他得到的是320美元，他會怎樣選擇？

答：該消費者現在在無風險條件下（即不賭博條件下）可以持有的確定的貨幣財富是325美元，而在風險條件下即進行賭博時財富的期望值也是325美元（），由于他是風險回避者，他認為持有一筆確定的貨幣財富的效用大于在風險條件下賭博的期望效用，因而他會選擇不賭博。

如果他得到的是320美元，他是否會選擇賭博，取決于他的效用函數的形式。如果他是風險回避者，他可能會也可能不會選擇賭博；如果他是風險愛好者，他會選擇賭博。如果他是風險中立者，他也會選擇賭博，因為風險中立者關心的是貨幣期望值極大，而不管風險多大，顯然，在的情況下，他會選擇賭博。

2．試分析消費者對于風險的不同態度。

答：對待風險，消費者有三種不同的態度：風險厭惡、風險偏好和風險中性。

（1）在消費者可能獲得的確定性收入效用大于有風險條件下的期望收入效用，或者兩者相等時，消費者偏愛確定性收入所得效用，這時消費者成為風險厭惡者。

（2）在消費者可能獲得的確定性收入效用小于有風險條件下期望收入的效用，或者兩者相等時，消費者偏愛風險收入所帶來的效用，這時消費者成為風險偏好者。風險偏好者的效用曲線形狀和風險回避者效用曲線凹凸性相反。

（3）風險中立者亦稱風險中性者，一般是消費者在無風險確定收入的效用水平和有風險條件下期望收入效用水平相等時，這時消費者為風險中立者。

3．指出下列期望效用函數所代表的風險偏好類型（風險規避、風險中性還是風險偏愛）：（1）；（2）；（3）；（4）（）。這里代表消費。

答：由于消費者對風險的偏好完全可以由期望效用函數推得，通過直接考察效用函數的二階導數便可以確定。如果效用函數關于消費量的二階導數大于0，即，則為風險愛好者的效用函數；等于0，即，則代表風險中立者的效用函數；小于0，即，則代表風險規避者的效用函數。

（1），，代表風險中性偏好；

（2），，代表風險規避偏好；

（3），，代表風險偏愛偏好；

（4），，代表風險規避偏好。

三、計算題

1．假定有一戶居民擁有財富10萬元，包括一輛價值2萬元的摩托車，該戶居民所住地區時常發生盜竊，因此有25%的可能性該戶居民的摩托車被盜，假定該戶居民的效用函數為，其中表示財富價值。

（1）計算該戶居民的效用期望值。

（2）如何根據效用函數判斷該戶居民是愿意避免風險，還是愛好風險？

（3）如果居民支付一定數額的保險費則可以在摩托車被盜時從保險公司得到與摩托車價值相等的賠償，試計算該戶居民最多愿意支付多少元的保險費？

（4）在該保險費中“公平”的保險費（即該戶居民的期望損失）是多少元？保險公司扣除“公平”的保險費后的純收入是多少元？

解：（1）該戶居民的期望效用為：。

（2），故該戶居民是風險規避者。

（3）繳納保險費后，居民的財富確定地為：。不繳納保險費，居民的預期效用為11.46。

故居民最多愿意支付5434元。

（4）公平的保險費為：（萬元），故保險公司扣除“公平”的保險費后的純收入是（元）。

2．某消費者的效用函數為，其中為效用，為收益（千元）。他有1萬元錢，如果存在銀行里，年利率為2%；如果全部投資于股票，估計一年中有40%的概率獲得8000元的投資收益，60%的概率損失5000元。

（1）該消費者是風險愛好者、風險厭惡者還是風險中性者？

（2）他是否會選擇投資股票？

（3）如果投資股票，他的效用是多少？

解：（1）本題中，如果把1萬元都投資于股票，那么：

期望效用為：；

確定性收入200元的效用為：。

對于該消費者來說，，所以他是風險偏好型的。

（2）該消費者選擇投資于股票還是存銀行取決于哪種投資渠道帶來的效用更大。如果把1萬元存銀行，得到（元），此時效用為，如果把1萬塊都投資于股票，由（1）知期望效用為，因此該消費者會選擇投資股票。

（3）該消費者投資于股票的期望效用為41.1。

3．一個消費者具有預期效用函數。他可參與一次賭博，可以概率得到財富，以概率得到財富。他現在需要多少財富使其保持現有財富水平與接受賭博恰好是無差異的？

解：保持現有財富與接受賭博無差異時，有：

解得：。

所以，他現在需要財富才能使其保持不現有財富水平與接收賭博恰好是無差異的。

4．某人的效用函數形式為。他有1000元錢，如果存銀行，一年后他可獲存款的1.1倍，若他買彩票，經過同樣時間后他面臨兩種可能：有50%的機會他獲得買彩票款的0.9倍，50%的可能獲得彩票款的1.4倍。請問：他該將多少錢存銀行？多少錢買彩票？

解：假設此人將其所擁有的1000元中的用于購買彩票，這時有兩種可能：

獲得元，其概率為0.5；獲得元，其概率為0.5。

他將剩余的（）元存入銀行。對于這（）元的銀行存款而言，在一年后連本帶息將有

元。

綜上所述，此人的期望效用為：

期望效用最大化的一階條件為：

解得。

所以，此人為了使其預期效用最大化，他將花費916.7元用于購買彩票，將剩余的83.3元用于銀行存款。

5．消費者具有效用函數，，，要求：

（1）為了最大化個人效用，消費者會把收入的多少用于的消費和的消費？

（2）什么時候消費者是風險規避的？

解：（1）構造拉格朗日函數：

拉格朗日函數極值的必要條件為：

   ①

   ②

　  　 ③

聯立方程①、②可得：

　 　 ④

將④式代入③式，有：，。

因此消費者會把收入的用于的消費，用于的消費。

（2）利用海塞矩陣判別。當半負定，即時，效用函數為凹函數。

即：，，

由，得三個不等式的解分別為：，，。

故當，，時，效用函數為凹函數，因此消費者是風險規避的。

6．假定某人效用函數為：。他面臨這樣一種不確定性，未來收入有1/3的可能是25元，有2/3的可能是81元。要求計算：

（1）多少元的穩定收入會使他覺得境況與不確定情況下一樣好？

（2）這一不確定性的風險溢價是多少？

（3）如果有一保險合同使他無論何種情況發生都能夠得到81元的收入，他最多愿意花多少錢來購買這份合同？

解：（1）消費者的預期效用為：。

為了獲得這樣的效用，消費者需要無風險收入（元）。

（2）風險溢價等于不確定情況下收入的期望值減去能夠使其獲得不確定情況下預期效用的穩定收入值，因此，風險溢價為：（元）。

（3）設他最多愿意花元購買保險合同，則購買保險后的確定性收入帶來的效用不應低于無風險收入帶來的效用，故他最多愿意花（元）。

7．拋一枚硬幣，正面向上的概率為，你參與一次打賭，如果拋第枚時正面向上，你將得到美元。

（1）當時，此次打賭的預期值為多少？

（2）假設你的預期效用函數為，描述這次博弈的效用之和。

（3）求效用和的值。

解：（1）在第次拋擲時才第一次出現正面的概率為。

因此，當時，賭注的期望值為：

（2）期望效用為：

（3）先求無窮級數。

令 ①

則  ②

①－②可得：

從而，所以。

8．設效用函數為。如果，當對不同的收入水平提供賭局時，這個人將會是風險偏好、風險中性還是風險厭惡？

解：令消費者的收入為，則該消費者效用最大化問題可以表述為：

構造拉格朗日函數：

通過對該最優化問題的求解，可以得到：，。

因而間接效用函數就成為如下的形式：。

則：，。

由于，效用函數為凹函數，因此，這個人表現出風險厭惡的特性。