第5章附錄　 消費均衡的幾何分析

附錄課后習題詳解

一、概念題

1．無差異曲線

答：無差異曲線是用來表示消費者偏好相同的兩種商品的各種不同數量的組合的一簇曲線?；蛘哒f，它是表示能給消費者帶來同等效用水平或滿足程度的兩種商品的各種不同數量的組合。與無差異曲線相對應的效用函數為。其中，、分別為商品1和商品2的消費數量；是常數，表示某個效用水平。由于無差異曲線表示的是序數效用，所以，這里的只須表示某一個效用水平，而不在乎其具體數值的大小，如圖5A-1所示。

圖5A-1  無差異曲線

無差異曲線具有這樣的特點：第一，由于通常假定效用函數具有連續性，因此同一坐標平面上的任何兩條無差異曲線之間，存在著無數條無差異曲線。或者說，可以有無數條無差異曲線覆蓋整個坐標平面。離原點越近的無差異曲線所代表的效用水平越低，離原點越遠的無差異曲線所代表的效用水平越高。第二，在同一坐標平面上的任意兩條無差異曲線不會相交。第三，根據邊際替代率遞減規律，無差異曲線凸向原點。

2．邊際替代率

答：邊際替代率表示商品之間進行替代的難易程度，是指在維持效用水平不變的前提下，消費者增加一單位某種商品的消費數量時所需放棄的另一種商品的消費數量，同時等于代表這兩種商品效用的無差異曲線的斜率的絕對值。商品的邊際替代率通常以MRS（marginal rate of substitution）表示，如果和分別表示商品1和商品2的消費變化量，則商品1對商品2的邊際替代率的公式為：。

當商品數量的變化趨于無窮小時，則商品的邊際替代率公式可以改寫為：

在保持效用水平不變的前提下，消費者增加一種商品的數量所帶來的效用增加量和相應減少的另一種商品數量所帶來的效用減少量必定是相等的，因此有：

上式可以寫為：或，這表明兩種商品的邊際替代率等于兩種商品的邊際效用之比，因此，邊際替代率也稱相對邊際效用。

3．預算線或預算約束

答：預算線又稱預算約束、消費可能線和價格線，是用來表示在消費者的收入和商品的價格給定的條件下，消費者的全部收入所能購買到的各種商品的全部數量組合的一條直線。在兩種商品的情況下，如果以表示消費者的既定收入，以和分別表示商品1和商品2的既定價格，以和分別表示商品1和商品2的數量，那么，相應的預算線方程為：

或

上式表明，消費者的全部收入等于他購買商品1和商品2的總支出。預算線的斜率為，縱截距為，橫截距為；收入的變動引起預算線平移，對的相對變化引起預算線的轉動。

圖5A-2  消費者的預算線

如圖5A-2所示，預算線把平面坐標圖劃分為三個區域：預算線以外的區域中的任何一點（如點）是消費者利用全部收入都不可能實現的商品購買的組合點。預算線以內的區域中的任何一點（如點）表示消費者的全部收入在購買該點的商品組合以后還有剩余。惟有預算線上的任何一點，才是消費者的全部收入剛好花完所能購買到的商品組合點。圖中的陰影部分的區域（包括直角三角形的三條邊），被稱為消費者的預算可行集或預算空間。

4．無差異曲線的凸性和相對邊際效用遞減規律

答：相對邊際效用遞減規律即邊際替代率遞減規律，是指在維持效用水平不變的前提下，隨著一種商品的消費數量的連續增加，消費者為得到每一單位的這種商品所需要放棄的另一種商品的消費數量是遞減的。之所以會普遍發生商品的邊際替代率遞減的現象，其原因在于：隨著一種商品的消費數量的逐步增加，消費者想要獲得更多的這種商品的愿望就會遞減，從而，他為了多獲得一單位的這種商品而愿意放棄的另一種商品的數量就會越來越少。

由于無差異曲線的斜率反映了兩種商品的相對邊際效用，或者說度量了兩種商品之間的替代率，因此，邊際替代率遞減規律的成立，使得無差異曲線的斜率隨著一種商品需求量的增加也呈現出遞減的趨勢。無差異曲線越來越平緩，在幾何圖形上表現為無差異曲線凸向原點。

5．最優切點條件：

答：最優切點條件是實現消費者均衡的基本條件，即既定的預算線與其中一條無差異曲線的相切點，是消費者獲得最大效用水平的均衡點。在該切點處，預算線與無差異曲線的斜率相等。由于無差異曲線的斜率的絕對值表示商品替代率，預算線斜率的絕對值可以用兩種商品的價格之比表示。因此，最優切點條件可以表示為：。

這一均衡條件表示，在一定收入約束下，消費者為獲得最大效用，應當選擇最優商品組合，使得兩種商品的邊際替代率等于這兩種商品的價格之比。如圖5A-3所示，在點處，預算線與最高的無差異曲線相切，此時消費者實現了既定收入下可能達到的最高無差異曲線。

圖5A-3  最優切點條件在點實現

二、問答題

1．畫出下列無差異曲線：（1）像左右鞋子那樣的互補品；（2）像同一個商店并排放置的兩瓶可樂那樣完全的替代品。

答：（1）無論價格是多少，消費者都必須按固定比例購買兩種互為互補品的商品。對于左鞋和右鞋，消費者不能只買一只或一雙半，而必須成雙購買。設軸代表左鞋的消費量，軸代表右鞋的消費量，由于兩者是互補品，因此無差異曲線呈L型。如圖5A-4所示，圖中無差異曲線為實直角線，預算線為斜虛線。

圖5A-4  左右鞋子的無差異曲線和預算線

（2）完全替代品指消費者愿意以固定比例用一種商品替代另一種商品。在完全替代情況下，消費者對商品相對價格的變動非常敏感，一般會購買價格較低的那種商品。在本題中，設軸表示可樂的消費量，軸表示并排放置的另一瓶可樂的消費量，由于兩者完全替代，故無差異曲線為斜率為-1的直線。

①當時，可樂的需求量為0，如圖5A-5（a）中的A點；

②當時，可樂的需求量為0，如圖5A-5（b）中的B點；

③當時，兩瓶可樂的組合為預算線上的任一點，如圖5A-5（c）。

圖5A-5  并排放置的兩瓶可樂的無差異曲線和預算線

2．以豬肉和游艇為例，畫出類似于圖5A-6的一組無差異曲線和預算線，其中豬肉作為劣品，而游艇作為奢侈品，其收入彈性超過1。

圖5A-6  收入變化對均衡的影響

答：豬肉和游艇的一組無差異曲線和預算線如圖5A-7所示。由于豬肉為劣質品，其需求量隨著收入的增加而減少，而游艇為奢侈品，其需求量變動率大于收入變動率，因此，當收入增加引起預算線向右平移時，無差異曲線與預算線相切的均衡點位置發生變動。在新的均衡點處，豬肉的需求量比以前下降，而游艇的需求量則比以前增加，并且增加的幅度超過了收入增加的幅度。

圖5A-7  豬肉與艦艇的無差異曲線與預算線分析