看過剛才的實(shí)例，你也許會(huì)有這樣的疑問：圓珠筆到底屬于筆還是塑料制品？生活中類似這樣的問題還有很多，比如西紅柿到底屬于水果還是蔬菜？蔬果汁屬于飲料還是保健品？

這就是我們經(jīng)常說的分類交叉。根據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，一個(gè)事物可能同時(shí)屬于不同的分類。為了解決分類交叉的情況，我們可以采用集合的形式來表示。比如，圓珠筆屬于筆集，且屬于塑料制品集。那么用集合符號(hào)表示為：

圓珠筆∈筆集

且

圓珠筆∈塑料制品集

但是這種表示方法顯然太啰嗦了。那么我們不妨引入一個(gè)新符號(hào)：∩，它念做 交集^注5(簡稱“交”)。它表示的就是“即這樣，又那樣”的情況。那么，上面的圓珠筆問題就可以寫成：

圓珠筆∈筆集∩塑料制品集

再例如，菜市場(chǎng)中有賣魚的、賣肉的、賣蔬菜的、還有賣干果的，那么我們?nèi)绾蝸肀硎静耸袌?chǎng)中的所有商品呢？ 這時(shí)，我們?cè)僖胍粋€(gè)新的符號(hào)：∪，它念做 并集^注6(簡稱“并”)。并集的意思是：不管集合之間的從屬關(guān)系，把所有的內(nèi)容放在一起。就像是菜市場(chǎng)里面的魚啊、菜啊等商品，它們雖然屬于不同的攤位，也可能由不同的商家進(jìn)行經(jīng)營，但是它們?nèi)栽谝粋€(gè)菜市場(chǎng)出售。在數(shù)學(xué)上，我們要是想表示這種類似菜市場(chǎng)的關(guān)系時(shí)，就用到了并集。像菜市場(chǎng)的商品用符號(hào)就可以這樣表示：

水產(chǎn)品集∪肉集∪蔬菜集∪干果集

是不是很簡單呢？我們?cè)賮砜戳硪环N情況：西紅柿屬于蔬果類，但不屬于肉類。我們用數(shù)學(xué)語言就可以寫成：

蔬果集\肉集

這里我們引入了新的符號(hào)：\，它念做差集(簡稱：差)。它用來表示“屬于這個(gè)集合而不屬于那個(gè)集合”的情況。需要注意的是，要把“屬于的集合”寫在符號(hào)的左側(cè)，把“不屬于的集合”寫在符號(hào)的右側(cè)。還有一種情況是，菜市場(chǎng)的攤位都正常營業(yè)，但干果攤位因?yàn)檫M(jìn)貨的緣故，在這一天暫停營業(yè)了。按照差集的概念，我們可以說，菜市場(chǎng)中除了干果攤位都在營業(yè)。用符號(hào)表示就是：

所有攤位\干果攤位

如果把所有攤位理解為一個(gè)集合的話，那么它是包括干果攤位的。根據(jù)之前的內(nèi)容，我們可以把這種關(guān)系寫成：

干果攤位?所有攤位

當(dāng)出現(xiàn)這種情況時(shí)，我們把所有攤位稱為全集。把“所有攤位\干果攤位”寫成“”，稱其為 補(bǔ)集^注7。

根據(jù)前人的大量實(shí)踐和嚴(yán)謹(jǐn)證明，我們了解到集合間的運(yùn)算有四條基本規(guī)律：

(1)交換律：A∪B=B∪A　　A∩B=B∩A

(2)結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C　　A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

(3)分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

(4) 德摩根律^注8：

特別需要注意的是，在集合間的運(yùn)算的法則中，當(dāng)括號(hào)內(nèi)、外符號(hào)相同時(shí)，只有結(jié)合律，沒有分配律；而在括號(hào)內(nèi)，外符號(hào)不同時(shí)，只有分配律，沒有結(jié)合律。

如圖1-4所示，有一圓內(nèi)嵌正6x邊形。其中x∈N^*。請(qǐng)用函數(shù)表示x與正6x邊形與圓半徑的平方的比的關(guān)系。

圖1-4

圖1-5中是莊子的畫像。莊子是戰(zhàn)國時(shí)代的著名思想家、哲學(xué)家、文學(xué)家，也是道家學(xué)派的代表人物， 老子^注9思想的繼承和發(fā)展者。他的代表作《莊子·雜篇·天下》也被稱為《莊子·天下篇》。其以“天下”為題，共分七段，記錄了先秦諸子百家歷史淵源、來龍去脈；評(píng)價(jià)主要思想，并且加以批評(píng)的總結(jié)性的論文。有民國學(xué)者考證，此當(dāng)為戰(zhàn)國時(shí)期晚期的莊子后學(xué)。在本書中有記載：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。一尺約為33 厘米。我們不妨找一33厘米的紙條來試一試。如果不斷地把它截短一半，那么能截多少次呢？ 剩下的紙條的長度又趨近于多少呢？ 試著寫出一個(gè)關(guān)于截短次數(shù)和剩余紙條長度的函數(shù)式，看看計(jì)算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果到底是不是一樣的。

圖1-5　莊子畫像

假如有五名海盜掠奪到了100 枚金幣， 這時(shí)為了公平起見，他們決定按照如下思路進(jìn)行分配：

(1)抽簽決定自己的號(hào)碼。

(2)由1號(hào)提出分配方案，然后大家進(jìn)行表決，當(dāng)且僅當(dāng)超過半數(shù)的人同意時(shí)，才按照他的提案進(jìn)行分配，否則他將被扔入大海喂鯊魚。

(3)假如1號(hào)死了，再由2號(hào)提出分配方案，然后4人進(jìn)行表決，當(dāng)且僅當(dāng)超過半數(shù)的人同意時(shí)，按照他的提案進(jìn)行分配，否則他將被扔入大海喂鯊魚。

(4)以此類推，直到得出最終分配方案。

如果你是1號(hào)海盜，你應(yīng)該提出怎樣的分配方案，以使自己的獲利最大？

提示：每人20枚金幣的分配方法雖然公平，但不能保證自己獲利最大，所以想要讓自己獲利最大，就應(yīng)該讓自己的投票結(jié)果正好超過一半。如果我們一上來就假設(shè)有五名海盜，這道題目就會(huì)無從下手。所以我們需要對(duì)這一問題進(jìn)行簡化。假如只有一名海盜，那么他當(dāng)然希望所有的金幣都是自己的啦！這屬于不需要分配，就可以占為己有的情況。在這種情況下，這名海盜將得到100枚金幣。

把這個(gè)模型建得稍微復(fù)雜一點(diǎn)兒。假設(shè)有兩名海盜，如果先分配的1號(hào)海盜給2號(hào)海盜的金幣少于100枚，2號(hào)海盜就會(huì)不同意他的分配方法，按照規(guī)則，1號(hào)海盜會(huì)被扔到海里喂鯊魚。對(duì)于2號(hào)海盜來說，此時(shí)就回到了之前的簡單模型，即他可以獨(dú)享100枚金幣。想到這里，1號(hào)海盜就會(huì)為了保命，選擇把100枚金幣全部給2號(hào)海盜。

接著，再把這個(gè)模型建得復(fù)雜一點(diǎn)兒：如果有三名海盜，那么此時(shí)的1號(hào)海盜已經(jīng)知道之前的情況了。如果他被丟到海里喂鯊魚了，2號(hào)海盜就會(huì)代替他進(jìn)行分配，這就意味著如果2號(hào)海盜不同意他的分配方法，就一定會(huì)為了保命而什么都得不到。這時(shí)候，1號(hào)海盜就會(huì)留給自己99枚金幣，而給2號(hào)海盜1枚金幣。這樣一來對(duì)2號(hào)海盜來說，有總比沒有好啊。也許有人會(huì)問，3號(hào)海盜什么都沒得到，肯定不會(huì)同意。不過沒有關(guān)系，算上1號(hào)海盜自己的一票和2號(hào)海盜的一票，已經(jīng)二比一了。所以如果有三名海盜的話，1號(hào)海盜得99枚金幣，2號(hào)海盜得1枚金幣，3號(hào)海盜什么都得不到，是利益最大的分配方法。

然后，我們?cè)賹⒛Ｐ徒ǖ脧?fù)雜一點(diǎn)點(diǎn)。如果有4名海盜，此時(shí)1號(hào)海盜已經(jīng)熟知了之前的情況：當(dāng)他給出的方案不能得到三票贊同的話，就意味著2號(hào)海盜將取代他的位置，2號(hào)海盜得99枚金幣，3號(hào)海盜得1枚金幣，4號(hào)海盜什么都得不到。所以，除了自己的一票之外，他還需要兩票贊同。顯然，如果給2號(hào)海盜的金幣少于99枚的話，2號(hào)海盜肯定會(huì)反對(duì)。但是如果只有自己的一票和2號(hào)海盜的一票，3號(hào)海盜和4號(hào)海盜還是會(huì)反對(duì)。這樣就不能滿足超過半數(shù)贊同的條件了。此時(shí)，1號(hào)海盜只能選擇不分給2號(hào)海盜任何金幣。去試圖征得3號(hào)海盜和4號(hào)海盜的贊同。那么只有分配給3號(hào)海盜2枚金幣，4號(hào)海盜1枚金幣才會(huì)贏得他們的贊同。因?yàn)槿绻@時(shí)候3號(hào)海盜和4號(hào)海盜不贊同他的方案的話，自己的利益必然會(huì)受到損失。所以當(dāng)有4名海盜的時(shí)候，1號(hào)海盜分配給自己97枚金幣，2號(hào)海盜不分配，3號(hào)海盜分配2枚金幣，4號(hào)海盜分配1枚金幣，是對(duì)1號(hào)海盜利益最大的分配方法。

最后，我們來考慮有五名海盜的情況。這時(shí)1號(hào)海盜知道了，如果自己的方案不能通過，就意味著2號(hào)海盜將分配給自己97枚金幣，3號(hào)海盜不分配，4號(hào)海盜分配2枚金幣，5號(hào)海盜分配1枚金幣。同樣的道理，1號(hào)海盜放棄拉攏2號(hào)海盜。只要給3號(hào)海盜1枚金幣，3號(hào)海盜就會(huì)同意之前的分配方法。這時(shí)只需要從4號(hào)海盜和5號(hào)海盜中任選一名支持自己就可以獲得三票了。此時(shí)，他可以選擇給4號(hào)海盜3枚金幣，或者給5號(hào)海盜2枚金幣。1號(hào)海盜必然選擇給5號(hào)海盜2枚金幣。因?yàn)檫@樣能讓自己獲利更多。所以如果有五名海盜按照之前的規(guī)則分配金幣的話，1號(hào)海盜的最佳分配方案是：自己獲得97枚金幣，2號(hào)海盜和4號(hào)海盜不獲得金幣。3號(hào)海盜獲得1枚金幣，5號(hào)海盜獲得2枚金幣。

這就是數(shù)學(xué)建模中的經(jīng)典——博弈模型。