- 腦洞大開的微積分
- 劉祺
- 718字
- 2019-12-20 15:22:55
3.5 面團的模型
在現實世界中,絕大多數現象都存在隨機性、動態性以及 非線性注38。這里為了研究方便,我們只取較為容易被觀察和控制的屬性,對特定現象進行研究,實際上就是對該現象做了簡化和抽象。譬如,這里我們不考慮面團內酵母的質量對面團大小的影響。
我們簡單地認為面團的大小v和面團的 重量注39m之間存在。如果我們把它改寫為一次函數的形式,即為v=km+b。在該式中,
注40也可以寫成k=ρ-1。另外,當面團沒有質量時,它就是不存在的,也就沒有體積,當m=0時,所以b=0。
我們如果把面團視為圓球形,那么就有。實際上面團并不是絕對的圓球形,我們姑且認為每個面團的形狀都是相似的,但又和圓球形有一些差別。所以我們應用來表示其 系數注41。
為了避免混淆,我們使用k1和k2以示區別。這樣就有v=k1m、v=k2r3進而推出k1m=k2r3。近似圓球形的物體顯然可以用它的 近似半徑注42來表示其大小,也就是說存在。進一步計算可以得到:
。因為
可以被視為一個新的系數,那么則有
,要特別說明的是,在手寫的過程中常難以區別3到底是k的上角標還是指
,即使明確地說明了這里是
的意思,仍然會給后續的計算帶來不必要的麻煩。所以我們可以把
寫成
,這樣就不容易混淆了。
圖3-4所示的是的示意圖和局部放大圖,由于這是示意圖,所以沒有標出單位長度。可以看到在一開始的時候,曲線斜率變化較大,但接下來卻趨于平緩。這和我們在和面的時候,加少量的面粉時面團的大小變化得較為明顯,而當面團的大小達到臨界值時,再加入少量的面粉,其大小的變化則并不明顯,甚至用肉眼都觀察不到。這時我們就說它的斜率逐漸趨近于0,但卻永遠不為0。不過需要注意的是,這里的斜率并不是,而是r′。利用之前學過的導數和求極限的知識,可知
。圖3-5所展示的是它的示意圖,可以看出其斜率的確是趨近于0。

