- 腦洞大開的微積分
- 劉祺
- 601字
- 2019-12-20 15:22:50
2.3 火車與對稱
圖2-6中是一列火車車頭的照片和它正面的示意圖。將火車的正面示意圖從中間對折后，其左右兩側能夠相互重合。如果將一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，我們則稱其為 軸對稱注14圖形。而那條直線則被稱為對稱軸。對于 正方形、長方形注15、圓形和橢圓形都是軸對稱圖形。它們至少有一條對稱軸，像圓這樣的圖形則有無數條對稱軸。
圖2-6
圖2-7中的圖形是 菱形注16，它的兩條對稱軸已在圖中標出。如果將其旋轉180度，會發現它與旋轉前完全重合。像這樣的，將某個圖形繞某一個點旋轉180度，如果旋轉后的圖形能與旋轉前的圖形重合，那該圖形即為中心對稱圖形而那個點就是對稱中心。顯然，在一個中心對稱圖形中，對稱點的連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。
圖2-7
之前已經介紹過，函數是有圖像的。那么，這些圖像是否具有對稱或翻轉的性質呢？答案是肯定的。比如，y=x2和y=x3這兩個函數的圖像都是對稱的，如圖2-8所示。我們將像y=x2這樣，圖像關于y軸對稱的函數稱為偶函數。而將像y=x3這樣，圖像關于坐標原點成中心對稱的函數稱為奇函數。在后續章節中，我們經常利用對稱性，對復雜的計算進行簡化。
圖2-8
仔細觀察后我們就會發現，對函數來說，其在橫軸(x軸)的負半軸一側的圖像和在正半軸一側的圖像有如下關系(假設x＞0)：
偶函數：f(-x)=f(x)奇函數：f(-x)=-f(x)
換句話說，如果有一函數的圖像關于縱軸對稱，那么我們就可以利用f(-x)=f(x)來表示。同樣地，如果有一函數的圖形關于原點對稱，便可以用f(-x)=-f(x)來表示。