第一部分 邏輯的力量

第一章 為什么要有邏輯？

世界既廣闊又復(fù)雜。我們?nèi)绻胍斫馑托枰?jiǎn)化它。有兩種方式可以讓事物變得更簡(jiǎn)單，一種是忘記它的某些部分，另一種是讓自己變得更加聰明。這樣，原先看起來(lái)無(wú)法理解的事物對(duì)于我們來(lái)說(shuō)就變得清晰明了了。本書(shū)論述了在理解的過(guò)程中，邏輯能夠并且應(yīng)該起到的作用；分析了邏輯如何幫助我們更加清晰地觀察和理解這個(gè)世界；呈現(xiàn)了邏輯所閃耀的光芒。

邏輯包含了讓事物變得更簡(jiǎn)單的這兩種方式。忘記細(xì)節(jié)是一個(gè)抽象化的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中我們可以看到事物的本質(zhì)，并且暫時(shí)將注意力集中在它身上。重要的是，我們一定不能忘記關(guān)鍵性的細(xì)節(jié)。如果忘記關(guān)鍵的細(xì)節(jié)，這個(gè)過(guò)程就會(huì)變成過(guò)度簡(jiǎn)化，不具有啟發(fā)作用了。而且我們只是暫時(shí)這么做，所以我們并沒(méi)有宣稱已經(jīng)理解了所有事物，而是認(rèn)為自己理解了一個(gè)核心，所有進(jìn)一步的理解都可以建立在這個(gè)核心上。

在本章中，我們將首先討論為什么邏輯是所有理解過(guò)程的良好基礎(chǔ)，以及在一個(gè)不符合邏輯的人類世界中，邏輯可能發(fā)揮什么作用。

獲取真相

所有研究和學(xué)習(xí)的領(lǐng)域都致力于揭示與世界相關(guān)的真相，內(nèi)容可能包括地球、天氣、宇宙、鳥(niǎo)類、電子、大腦、血液、數(shù)千年前的人類、數(shù)字或者其他事物。根據(jù)所學(xué)的內(nèi)容，你需要用不同的方法來(lái)確定什么是正確的，并且說(shuō)服其他人接受你的想法。任何人都可以宣稱自己的想法是正確的，但是除非他們能以某種方式來(lái)支持自己的主張，否則沒(méi)有人會(huì)相信他們是正確的。

因此，不同的學(xué)科需要通過(guò)不同的方式來(lái)獲取真相。

科學(xué)真相是利用科學(xué)方法來(lái)確定的，科學(xué)方法是一個(gè)明確定義的框架，用來(lái)決定某件事物為真的可能性。它通常包括建立一個(gè)理論，收集證據(jù)，然后用證據(jù)來(lái)嚴(yán)格檢驗(yàn)理論。

數(shù)學(xué)的真理是通過(guò)邏輯來(lái)實(shí)現(xiàn)的。雖然我們可以利用情感去感受它，理解它，并且說(shuō)服他人接受它，但是我們只能用邏輯來(lái)驗(yàn)證它。其中的差異是非常重要而且微妙的。在某種程度上，我們確實(shí)是通過(guò)情感來(lái)獲取數(shù)學(xué)的真理的，但是在我們使用邏輯驗(yàn)證它之前，它都不能算是正確的。

人們?cè)诜制缰杏袝r(shí)會(huì)拋出“邏輯”這個(gè)詞，試圖給論點(diǎn)增添些分量。人們可能會(huì)說(shuō)“在邏輯上，這是正確的”，或者“在邏輯上，這不可能是正確的”，或者“你就是不符合邏輯”。“從數(shù)學(xué)上講”這種說(shuō)法也常常會(huì)以這種方式拋出。比如，“從數(shù)學(xué)上講，他們可能無(wú)法贏得選舉”。不幸的是，這些用法常常是毫無(wú)意義的，這更像是人們?cè)噲D支撐一個(gè)薄弱論點(diǎn)發(fā)出的最后一擊。與此同時(shí)，人們對(duì)這些詞語(yǔ)的濫用降低了它們的含金量，這令我感到悲哀。但我是一個(gè)樂(lè)觀主義者，所以我也選擇從中找到令人振奮的東西：我很高興地認(rèn)為，在某種程度上，人們知道邏輯和數(shù)學(xué)是不可辯駁的，所以它們的出現(xiàn)可以令人信服地結(jié)束一場(chǎng)爭(zhēng)論。雖然人們用這類名詞來(lái)?yè)魯?duì)手是徒勞的，但是至少在某種意義上它們的力量是被公認(rèn)的。

我不是簡(jiǎn)單地哀嘆人們對(duì)邏輯和數(shù)學(xué)的誤解，而是選擇解決這個(gè)問(wèn)題，我希望它們的力量能被真正用于良好的目的。這就是我寫(xiě)這本書(shū)的原因。

使用邏輯的優(yōu)點(diǎn)

利用一個(gè)明確的框架來(lái)獲取真相，主要原因之一就是我們可以就某些事物達(dá)成一致。人們總是盡可能多地反對(duì)他人，并且沉醉于此，這似乎是非常激進(jìn)的。在體育運(yùn)動(dòng)中就會(huì)出現(xiàn)這種情況，盡管裁判只是簡(jiǎn)單地運(yùn)用了約定的規(guī)則，粉絲們還是會(huì)對(duì)裁判做出的裁決感到憤怒。

記得有一年，我觀看牛津—?jiǎng)蛸愅?duì)抗賽。當(dāng)賽艇發(fā)生危險(xiǎn)的碰撞時(shí)，劍橋隊(duì)被處罰了。作為一個(gè)劍橋人，我非常氣憤，因?yàn)樵谖铱磥?lái)顯然是牛津隊(duì)蓄意轉(zhuǎn)向劍橋隊(duì)的，所以看起來(lái)應(yīng)該是牛津隊(duì)的錯(cuò)。我認(rèn)為裁判與牛津隊(duì)之間有陰謀，所以裁判故意偏袒牛津隊(duì)。然而，我并沒(méi)有一味地抨擊這種猜測(cè)的陰謀，而是查閱了許多專家的評(píng)論，試圖理解到底發(fā)生了什么。我了解到，在泰晤士河賽艇比賽中，人們會(huì)沿著河中心畫(huà)出一條假想的分界線，每艘賽艇在自己這一側(cè)河水中都具有優(yōu)先權(quán)。這意味著一艘賽艇可以留下很多空間，也許在過(guò)彎道時(shí)，可以“引誘”其他賽艇越過(guò)這條線。接下來(lái)，擁有優(yōu)先權(quán)的這艘賽艇就可以故意轉(zhuǎn)向越線的賽艇，因?yàn)樗鼈兒芮宄约翰⒉粫?huì)受到懲罰。這在道德上是正確的嗎？這到底是誰(shuí)的錯(cuò)？我們將在第五章闡明責(zé)備與責(zé)任的問(wèn)題。

使用一個(gè)明確的框架來(lái)達(dá)成共識(shí)，這個(gè)觀念也有點(diǎn)兒像醫(yī)學(xué)診斷的工作原理。醫(yī)學(xué)界試圖制定一個(gè)清晰的檢查表，以便做出的診斷是明確的，整個(gè)行業(yè)的不同人員都能夠一致地做出這樣的診斷。

邏輯需要有明確的規(guī)則，以便不同的人能夠明確地得出一致的結(jié)論。這在理論上是美妙的，也許這里的“在理論上”意味著在數(shù)學(xué)的抽象世界中。數(shù)學(xué)取得進(jìn)展的能力是驚人的。哲學(xué)家邁克爾·達(dá)米特在《數(shù)學(xué)哲學(xué)》中寫(xiě)道：

數(shù)學(xué)在穩(wěn)步前進(jìn)，而哲學(xué)則不停地掙扎在無(wú)窮無(wú)盡的困惑中，困惑于哲學(xué)一開(kāi)始就面對(duì)的問(wèn)題。

為什么數(shù)學(xué)家能夠就什么是正確的達(dá)成共識(shí)？為什么這些事物在幾千年后仍然是正確的，而其他學(xué)科似乎在不斷改進(jìn)和更新它們的理論？我相信答案在于邏輯的穩(wěn)健性。這是它巨大的優(yōu)勢(shì)。

邏輯世界也存在一些缺點(diǎn)，其中一個(gè)就是只通過(guò)大聲喊叫你是無(wú)法贏得爭(zhēng)論的。當(dāng)然，只有在你喜歡通過(guò)喊叫來(lái)贏得爭(zhēng)論時(shí)這才是一個(gè)缺點(diǎn)。我通常不會(huì)這么做，但不幸的是，有很多人這樣做，所以他們不喜歡邏輯世界。而且他們也不喜歡這個(gè)事實(shí)——在邏輯的世界中，他們無(wú)法在我這樣一個(gè)不高大、輕聲細(xì)語(yǔ)、不酷的人面前占上風(fēng)。因?yàn)樵谶壿嫷氖澜缋铮α坎⒉粊?lái)源于大塊兒的肌肉、大量的金錢(qián)或者過(guò)人的運(yùn)動(dòng)能力，而是來(lái)源于純粹的邏輯思維能力。

邏輯世界的另一個(gè)缺點(diǎn)是你不再真正地腳踏實(shí)地了，因?yàn)槲覀円呀?jīng)不在具體的世界里了。有時(shí)，你會(huì)感覺(jué)自己在四處飄蕩。但我發(fā)現(xiàn)，一個(gè)人一旦習(xí)慣了這種狀態(tài)，就會(huì)覺(jué)得這是一種非常愉快的感受。這就像把第一個(gè)人送入太空，其關(guān)鍵之處在于怎樣使其回到地球上。在本書(shū)中，我們將在抽象世界中漂流，而這不僅僅是為了好玩兒。我們將回到地球上，使用強(qiáng)有力的邏輯技術(shù)，解決圍繞社會(huì)狀況的真實(shí)的、密切的、緊迫的爭(zhēng)論。進(jìn)入邏輯的抽象世界可以使我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界中走得更遠(yuǎn)，就像在天空中飛行可以使我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中旅行得更遠(yuǎn)、更快一樣。從本質(zhì)上而言，這就是數(shù)學(xué)的全部意義。

數(shù)學(xué)是什么，不是什么

人們對(duì)數(shù)學(xué)有許多誤解。這可能來(lái)源于數(shù)學(xué)在學(xué)校中被呈現(xiàn)的方式——作為一系列規(guī)則，你必須遵循這些規(guī)則才能得到正確的答案。在學(xué)校中，數(shù)學(xué)的正確答案通常是一個(gè)數(shù)字。當(dāng)證明終于進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂時(shí)，它通常以幾何學(xué)的形式出現(xiàn)。在幾何學(xué)中，“邏輯論證”的構(gòu)成是使用特定的事實(shí)來(lái)證明其他無(wú)意義的結(jié)果。例如，有一些已經(jīng)被設(shè)定條件的直線，在不同的位置彼此相交，然后這里的一個(gè)角會(huì)與另一個(gè)地方的角相關(guān)。

證明角A是角B的一半

（注意：這個(gè)例子是一個(gè)惡作劇，是不可能被證明的。）

然后，你會(huì)面臨一系列的測(cè)試和考試，在限定的時(shí)間內(nèi)做一整套無(wú)意義的練習(xí)。如果你克服了這些困難，仍然相信自己喜歡數(shù)學(xué)，那么你就可以進(jìn)入大學(xué)繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。這時(shí)，所有事情都有可能重演，除了難度——大學(xué)數(shù)學(xué)更難。如果你完成了這一切，并且仍然認(rèn)為自己喜歡數(shù)學(xué)，那么你可以攻讀博士學(xué)位，開(kāi)始從事相關(guān)研究。到了這里，數(shù)學(xué)終于變成我心目中真正的數(shù)學(xué)的樣子了。它不再是一連串需要躍過(guò)的障礙，不再是為了獲得“正確答案”而做出的嘗試，而是一個(gè)需要探索、發(fā)現(xiàn)和理解的世界——邏輯世界。

在這一點(diǎn)上，許多人意識(shí)到，他們之前對(duì)“數(shù)學(xué)”的喜歡在于越過(guò)這些障礙，獲取正確的答案。他們喜歡這種能夠輕松地獲得正確答案的感覺(jué)，所以一旦踏入這個(gè)探索性的數(shù)學(xué)世界，他們就逃跑了。

其他人在經(jīng)歷了不幸的學(xué)校生涯后，仍然保持著對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)。因?yàn)樗麄冋J(rèn)為，當(dāng)自己開(kāi)始做研究時(shí)，數(shù)學(xué)會(huì)變得越來(lái)越好，越來(lái)越讓人興奮。教育學(xué)家丹尼爾·芬克爾稱這種現(xiàn)象是對(duì)學(xué)校數(shù)學(xué)課程的“免疫”。我的媽媽為我接種了數(shù)學(xué)課程的“疫苗”，她向我展示了一個(gè)比我們?cè)趯W(xué)校里所學(xué)的豐富得多的數(shù)學(xué)世界。很多人都是通過(guò)一位優(yōu)秀的數(shù)學(xué)老師對(duì)數(shù)學(xué)免疫的——有時(shí)，我們只需要一個(gè)老師、一堂課，就能產(chǎn)生免疫效果，并且使學(xué)生相信，無(wú)論這堂課前發(fā)生過(guò)什么，以及這堂課后會(huì)發(fā)生什么，只要他們追隨數(shù)學(xué)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，數(shù)學(xué)的世界就會(huì)向他們敞開(kāi)大門(mén)，讓他們著迷。

那么，當(dāng)我們開(kāi)始研究時(shí)才會(huì)遇到的這個(gè)“真正的數(shù)學(xué)”是什么？什么是數(shù)學(xué)？許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)就是“對(duì)數(shù)字的研究”，但是它遠(yuǎn)不止于此。我曾經(jīng)在芝加哥的一所小學(xué)做過(guò)一個(gè)關(guān)于對(duì)稱性的討論，一個(gè)小男孩后來(lái)抱怨道：“數(shù)字在哪兒呢？”我解釋說(shuō)數(shù)學(xué)不僅僅與數(shù)字相關(guān)，于是他哭叫道：“可是我想要讓它與數(shù)字相關(guān)！”

科學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)則包括實(shí)驗(yàn)、證據(jù)和可重復(fù)性。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)則不涉及以上任何一項(xiàng)，但它涉及邏輯證明。數(shù)學(xué)真理是通過(guò)構(gòu)建邏輯論證來(lái)建立的，而且這就是全部。

我最喜歡的思考數(shù)學(xué)的方式是：它是對(duì)事物如何運(yùn)作的研究。但這并不是對(duì)任何已有事物如何運(yùn)作的研究，而是對(duì)邏輯事物如何運(yùn)作的研究。而且，這不是對(duì)邏輯事物如何運(yùn)作的任何已有的研究，而是對(duì)邏輯事物如何運(yùn)作的邏輯性研究。

● 數(shù)學(xué)就是對(duì)邏輯事物如何運(yùn)作的邏輯性研究。

● 任何研究型學(xué)科都包含兩個(gè)方面：

（1）研究的是什么。

（2）如何研究它。

這兩者是有聯(lián)系的，但是在數(shù)學(xué)中，它們之間的聯(lián)系具有周期性。通常，我們正在研究的對(duì)象決定了我們?nèi)绾窝芯克鼈儯窃跀?shù)學(xué)中，我們研究它們的方式也決定了我們能夠研究什么。我們使用的方法是邏輯，所以我們可以研究任何按照邏輯規(guī)則運(yùn)行的對(duì)象。但是這些對(duì)象是什么呢？這是本書(shū)第一部分的主題。

規(guī)則

不同的游戲和運(yùn)動(dòng)采用不同的規(guī)則，它們都以一種非常明確的方式?jīng)Q定誰(shuí)是最好的。就我個(gè)人而言，我更喜歡那些可以非常清晰地判定結(jié)果的游戲和運(yùn)動(dòng)，比如誰(shuí)第一個(gè)沖過(guò)終點(diǎn)線，或者誰(shuí)在不碰掉橫桿的情況下跳得最高。像體操或者跳水這樣的運(yùn)動(dòng)，如果需要一組評(píng)委根據(jù)已經(jīng)確定的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)做出決定，就會(huì)顯得更加復(fù)雜、混亂和模棱兩可。標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)定應(yīng)該是明確的，并且將人類的判斷從當(dāng)前的情況中移除。但是，如果標(biāo)準(zhǔn)真的是明確的，那么裁判之間就絕對(duì)不會(huì)有分歧，我們也就不需要整整一組裁判員了。

但是，即使是看起來(lái)很容易判定的運(yùn)動(dòng)也有很多規(guī)則。如果更仔細(xì)地觀察100米短跑或者跳高，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，還有許多關(guān)于搶跑、使用藥物、誰(shuí)被允許作為女人參賽、誰(shuí)被允許作為體格健全的人參賽等規(guī)則。

和運(yùn)動(dòng)一樣，邏輯有一個(gè)問(wèn)題：你如果非常不習(xí)慣規(guī)則，就會(huì)為之感到困惑。我就對(duì)美式足球（橄欖球）的規(guī)則感到非常困惑。美國(guó)人通常認(rèn)為這是因?yàn)槲沂且粋€(gè)英國(guó)人，我已經(jīng)非常習(xí)慣“英式”足球。但事實(shí)上，我對(duì)英式足球的規(guī)則也感到困惑。但是，英式足球至少是用腳來(lái)移動(dòng)球的運(yùn)動(dòng)，所以我理解得更多一些。

在真正開(kāi)始從事運(yùn)動(dòng)之前，我們需要清楚地知道運(yùn)動(dòng)的規(guī)則是什么。在能夠真正開(kāi)始運(yùn)用邏輯之前，我們也需要清楚邏輯的規(guī)則是什么。就像運(yùn)動(dòng)一樣，我們?cè)较肴〉眠M(jìn)步，就越要深刻地理解這些規(guī)則以及它們的微妙之處。這是一件費(fèi)力的事，但是對(duì)邏輯的基本原理了解得越多，我們?cè)侥艿玫礁谩⒏挥谐尚У恼擖c(diǎn)。

爭(zhēng)論的理論

互聯(lián)網(wǎng)是有缺陷論點(diǎn)的一個(gè)豐富的、無(wú)窮無(wú)盡的來(lái)源。與氣候科學(xué)和疫苗接種一樣，非專家逐漸將專家共識(shí)視為精英陰謀，這種情況已經(jīng)出現(xiàn)了驚人的增長(zhǎng)。很多人對(duì)某事達(dá)成共識(shí)并不意味著存在陰謀。很多人都贊同羅杰·費(fèi)德勒在2017年獲得了溫布爾登網(wǎng)球錦標(biāo)賽冠軍。事實(shí)上，可能每一個(gè)關(guān)注比賽的人都會(huì)贊同這個(gè)結(jié)果。這并不意味著這是一場(chǎng)陰謀，而是意味著溫布爾登網(wǎng)球錦標(biāo)賽是有非常明確的規(guī)則的，很多人都看著他比賽，并依據(jù)規(guī)則證實(shí)他確實(shí)贏了。

在這方面，科學(xué)和數(shù)學(xué)的問(wèn)題在于它們的規(guī)則更難以理解，因此，非專家更難驗(yàn)證規(guī)則是否被遵守。但是，這種理解的缺乏可以追溯到一個(gè)更基本的層面：“理論”一詞的不同用法。在某些用法中，“理論”只是對(duì)某些事物的一個(gè)建議性解釋。在科學(xué)中，“理論”是一種解釋，它根據(jù)明確的框架被嚴(yán)格檢驗(yàn)，并且在統(tǒng)計(jì)學(xué)上很有可能是正確的。（更準(zhǔn)確地說(shuō)，如果沒(méi)有正確的解釋，那么在統(tǒng)計(jì)學(xué)上結(jié)果是不可能發(fā)生的。）

然而，在數(shù)學(xué)中，“理論”是根據(jù)邏輯被證明是正確的一系列結(jié)果。這不涉及任何可能性，不需要任何證據(jù)，也沒(méi)有任何疑問(wèn)。當(dāng)我們?cè)儐?wèn)這個(gè)理論如何為周圍的世界建模時(shí)，疑問(wèn)和問(wèn)題才會(huì)出現(xiàn)。但是，在這個(gè)理論中，正確的結(jié)論必須在邏輯上是正確的，并且數(shù)學(xué)家們都贊成它是正確的。如果數(shù)學(xué)家們質(zhì)疑這個(gè)理論，那么他們必須在證明的過(guò)程中找到錯(cuò)誤，僅僅是大聲喊叫是不會(huì)被接受的。

數(shù)學(xué)有一個(gè)顯著的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)家們非常善于就什么是正確的、什么是錯(cuò)誤的達(dá)成一致。有一些開(kāi)放性的問(wèn)題，我們還不知道答案，但是2000年前的數(shù)學(xué)仍被認(rèn)為是正確的，而且依然在被傳授。這一點(diǎn)與科學(xué)不同，科學(xué)正在不斷地被完善和更新。除了在科學(xué)史的課堂上，在其他任何場(chǎng)景中，我都不確定2000年前的科學(xué)是否依然在被傳授。出現(xiàn)這種情況的主要原因是，在數(shù)學(xué)中，用來(lái)證明事物正確的框架是邏輯證明，這個(gè)框架足夠清晰，數(shù)學(xué)家們能夠?qū)Υ诉_(dá)成一致。這并不意味著有一個(gè)陰謀正在醞釀。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)不是生活。在現(xiàn)實(shí)生活中，邏輯證明并不是十分奏效。這是因?yàn)檎鎸?shí)生活中的細(xì)微差異和不確定性遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)世界中多。數(shù)學(xué)世界是專門(mén)為消除這種不確定性而建立的，但我們不能忽視現(xiàn)實(shí)生活中的這一方面。更確切地說(shuō)，無(wú)論我們是否忽視這種不確定性，它都在那里。

因此，在現(xiàn)實(shí)生活中支持某個(gè)事物的論證不會(huì)像數(shù)學(xué)證明那樣清晰，很明顯，這就是分歧的來(lái)源之一。然而，邏輯論證應(yīng)該與數(shù)學(xué)證明有很多共同之處，即使它們沒(méi)有那么清晰明確。在現(xiàn)實(shí)生活中，一些圍繞論證的分歧是不可避免的，因?yàn)樗鼇?lái)源于對(duì)世界的真實(shí)的不確定性。但有些分歧是可以避免的，我們可以通過(guò)使用邏輯來(lái)避免這些分歧。這就是我們要關(guān)注的部分。

數(shù)學(xué)證明通常比普通生活中的典型論證更長(zhǎng)，也更復(fù)雜。普通生活中的論證有一個(gè)問(wèn)題，它們通常發(fā)生得非常快，所以沒(méi)有足夠的時(shí)間讓人們形成一個(gè)復(fù)雜的論證。即使有充足的時(shí)間，注意力持續(xù)的時(shí)間也會(huì)變得非常短。如果你在一次重要的論證沒(méi)有抓住重點(diǎn)，那么可能很多人都不會(huì)再關(guān)注你了。

相比之下，數(shù)學(xué)中一個(gè)簡(jiǎn)單的證明可能需要書(shū)寫(xiě)10頁(yè)，花費(fèi)一年的時(shí)間來(lái)構(gòu)建。事實(shí)上，在寫(xiě)這本書(shū)的時(shí)候，我所做的籌備工作已經(jīng)進(jìn)行了11年，我的筆記已經(jīng)超過(guò)了200頁(yè)。作為一名數(shù)學(xué)家，我非常擅長(zhǎng)規(guī)劃冗長(zhǎng)而復(fù)雜的證明。

對(duì)于日常生活中的爭(zhēng)論而言，一個(gè)200頁(yè)的論證確實(shí)太長(zhǎng)了（盡管對(duì)于法律裁決而言可能并不罕見(jiàn)），然而280個(gè)字符太短了。解決日常生活中的問(wèn)題并不簡(jiǎn)單，我們不能奢望在一句或者兩句的論證中解決這些問(wèn)題，或者直接通過(guò)直覺(jué)來(lái)做到這一點(diǎn)。我認(rèn)為，建立、交流和遵循復(fù)雜邏輯論證的能力是聰慧、理性的人的一項(xiàng)重要技能。做數(shù)學(xué)證明就像運(yùn)動(dòng)員在非常高的海拔進(jìn)行訓(xùn)練，這樣，當(dāng)他們回到氣壓正常的環(huán)境中時(shí)，就會(huì)感到做事更加容易了。但是，我們不是在訓(xùn)練自己的身體，而是在鍛煉我們的邏輯思維，這些情況發(fā)生在抽象世界中。

抽象世界

大部分真實(shí)的對(duì)象并不依照邏輯來(lái)運(yùn)作。如果你給小朋友一塊餅干，然后再給一塊，那么他會(huì)有多少餅干呢？可能會(huì)沒(méi)有，因?yàn)樗麄儠?huì)吃掉餅干。

為了進(jìn)入一個(gè)邏輯能夠完美運(yùn)作的世界，我們會(huì)在數(shù)學(xué)中忘記一些與情景相關(guān)的細(xì)節(jié)。因此，我們不再考慮一塊餅干和另一塊餅干，只需要考慮“1+1”，忘記“餅干”。只要我們注意處理餅干的方式是否符合邏輯，“1+1”的結(jié)果就適用于餅干了。

邏輯是一個(gè)通過(guò)謹(jǐn)慎推理構(gòu)建論證的過(guò)程。在復(fù)雜多變的普通生活中，我們可以嘗試著這樣做，因?yàn)檎Ｉ钪械氖挛镌诓煌潭壬鲜呛虾踹壿嫷摹Ｎ艺J(rèn)為正常生活中的任何事物都不是完全合乎邏輯的。稍后我們將探討事物是如何不符合邏輯的：或者因?yàn)榍榫w，或者因?yàn)槲覀冇刑嗟臄?shù)據(jù)要處理，或者因?yàn)樘鄶?shù)據(jù)的遺失，或者因?yàn)榇嬖陔S機(jī)的因素。

因此，為了從邏輯上研究事物，我們必須忘記那些令人討厭的、從邏輯上阻礙事物運(yùn)作的細(xì)節(jié)。在小朋友和餅干的案例中，如果允許他們吃餅干，那么情況的發(fā)展將不會(huì)完全符合邏輯。因此，我們需要強(qiáng)加一個(gè)條件，即不允許他們吃餅干。在這種情況下，研究對(duì)象可能不是餅干，而是任何不可食用的事物，只要它們能被分割成離散的小塊。它們只是“事物”，沒(méi)有任何可辨識(shí)的特點(diǎn)。這就是數(shù)字1的含義：它是一個(gè)清晰可辨的“事物”的概念。

這一轉(zhuǎn)變將我們從物質(zhì)的真實(shí)世界帶入想法的抽象世界。這會(huì)給我們帶來(lái)什么呢？

抽象世界的優(yōu)點(diǎn)

進(jìn)入抽象世界，我們就處在一個(gè)所有事物行為均符合邏輯的地方。在抽象世界中，如果在完全相同的條件下一次又一次地計(jì)算“1+1”，我將始終得到2。（我可以改變條件，然后得到其他答案。但是接下來(lái)，在這些新條件下，我也總能得到相同的答案。）

人們說(shuō)，精神錯(cuò)亂就是一遍又一遍地做著相同的事，卻期待著不同的事情發(fā)生。我認(rèn)為邏輯（或者至少是一部分邏輯）就是一遍又一遍地做著相同的事，期待著相同的事情發(fā)生。拿我的電腦來(lái)說(shuō)，它有時(shí)也會(huì)讓我精神錯(cuò)亂。我每天都做相同的事情，然而我的電腦會(huì)周期性地拒絕連接無(wú)線網(wǎng)絡(luò)。我的電腦是不符合邏輯的。

抽象有一個(gè)很強(qiáng)大的功能，那就是當(dāng)你忘記一些細(xì)節(jié)時(shí)，許多不同的情況就變得相同了。在抽象世界中，我可以把一個(gè)蘋(píng)果和另一個(gè)蘋(píng)果、一只熊和另一只熊、一名歌劇演員和另一名歌劇演員，以及所有這類情形都變成“1+1”。一旦發(fā)現(xiàn)不同的事物在某種程度上是相同的，我們就可以同時(shí)研究它們，這會(huì)更為高效。也就是說(shuō)，我們可以研究它們的共同點(diǎn)，然后分別觀察它們的不同之處。

我們可以在不同的情況之間找到許多聯(lián)系，這可能是出人意料的。例如，我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在巴赫的鋼琴前奏曲和我們編頭發(fā)的方式之間存在某種聯(lián)系。在不同情況之間尋找聯(lián)系，能夠幫助我們從不同的角度理解它們。但從根本上講，這也是一種求同的行為。我們可以強(qiáng)調(diào)差異，也可以強(qiáng)調(diào)相似之處。無(wú)論是在數(shù)學(xué)里，還是在生活中，我都熱衷于尋找事物間的相似之處。數(shù)學(xué)是一個(gè)在科學(xué)的不同部分之間尋找相似性的框架，而我的研究領(lǐng)域（范疇論）是一個(gè)在數(shù)學(xué)的不同部分之間尋找相似性的框架。在第六章，我們將展示從關(guān)系的角度思考的有效性。

在尋找事物之間的相似之處時(shí)，我們常常不得不放棄越來(lái)越多的外部細(xì)節(jié)，直到我們到達(dá)將事物結(jié)合在一起的深層結(jié)構(gòu)。比如，從外表上看，我們每個(gè)人都并不完全相像。但是，如果我們將自己剝得只剩骨架，那么我們基本上是一樣的。蛻去外殼，或者將爭(zhēng)論歸結(jié)為它的本質(zhì)，有助于我們理解自己的想法，特別是有助于我們理解自己為什么不贊同其他人。

抽象世界有一個(gè)格外有用的特點(diǎn)，即在你想起它的時(shí)候，它就存在。如果你有一個(gè)想法，而且你想要實(shí)施它，那么你可以立即行動(dòng)起來(lái)。你不需要出去購(gòu)買它（或者請(qǐng)求你的父母為你購(gòu)買它，或者請(qǐng)求你的資助機(jī)構(gòu)給你錢(qián)去購(gòu)買它）。我希望我的晚餐在我一想到它時(shí)就會(huì)出現(xiàn)。但是，晚餐不是抽象的，所以它不會(huì)出現(xiàn)。更嚴(yán)肅地說(shuō)，這意味著我們可以用自己對(duì)世界的想法進(jìn)行思想實(shí)驗(yàn)，遵循邏輯推理，然后觀察將會(huì)發(fā)生什么，而不需要為了獲得這些想法，去做那些真實(shí)的、可能不切實(shí)際的實(shí)驗(yàn)。

我們?nèi)绾芜M(jìn)入抽象世界？

進(jìn)入抽象的、邏輯的世界是通往邏輯思維的第一步。當(dāng)然，在正常生活中，我們可能不需要如此明確地去往那里，以便邏輯地思考周圍的世界。但是當(dāng)我們?cè)噲D在某種情況下找到邏輯時(shí)，這個(gè)過(guò)程仍然存在。

最近，倫敦地鐵推出了一個(gè)新體系。在這個(gè)體系中，站臺(tái)的某些區(qū)域被涂上綠色的標(biāo)記，指示車門(mén)將在那里開(kāi)啟。等候地鐵的乘客按照指示站在綠色區(qū)域外，這樣一來(lái)，那些想要下車的乘客就有空間下車，無(wú)須面對(duì)一排想要上車的人墻了。此舉的目的是改善人流的移動(dòng)，減少可怕的擁堵，特別是在高峰時(shí)段。

這對(duì)我而言是個(gè)好主意，卻遭到一些普通上班族的強(qiáng)烈抗議。顯然，這個(gè)體系讓有些人感到不安。他們經(jīng)過(guò)多年的通勤和研究，掌握了車門(mén)將會(huì)在哪里開(kāi)啟，而這些標(biāo)記破壞了他們積攢下來(lái)的“競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)”。那些從未來(lái)過(guò)倫敦的游客，現(xiàn)在也有了同樣的第一個(gè)登上地鐵的機(jī)會(huì)，這讓上班族們感到非常難過(guò)。

這些抱怨遭到了嘲笑，但我認(rèn)為它提供了一個(gè)有趣的角度，讓我們看到平權(quán)行動(dòng)引起爭(zhēng)議的一個(gè)方面：如果我們?yōu)槟切┤鮿?shì)群體提供特別的幫助，那么某些沒(méi)有獲得這種幫助的人似乎會(huì)感到不公平。他們認(rèn)為只有那些人得到幫助是不公平的。就像那些荒謬的、憤怒的上班族一樣，他們很惱火自己失去了辛苦攢下的“競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)”，他們認(rèn)為其他人也應(yīng)該通過(guò)努力獲得它。

這不是一個(gè)明確的數(shù)學(xué)案例，但是這種進(jìn)行類比的方法是數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)。在數(shù)學(xué)思維中，我們把注意力集中在一個(gè)情境的重要特征上，以闡明這個(gè)情境，并與其他情境建立聯(lián)系。事實(shí)上，數(shù)學(xué)作為一個(gè)整體，可以被考慮成類比的理論。在整本書(shū)中，我們都將使用類比來(lái)串聯(lián)明顯不相關(guān)的情境，并將在第十三章詳細(xì)分析類比的作用。要想找到類比，我們需要?jiǎng)冸x一些與當(dāng)前思考無(wú)關(guān)的細(xì)節(jié)，找到在核心處令其運(yùn)作的想法。這是一個(gè)抽象化的過(guò)程，也是我們進(jìn)入抽象世界的方式。在抽象世界里，我們可以更容易、更有效地應(yīng)用邏輯，并在一種情況下檢驗(yàn)邏輯。

為了更好地執(zhí)行這種抽象化，我們需要將固有的事物從偶然出現(xiàn)的事物中分離。邏輯上的解釋來(lái)自事物深刻的、不變的含義，而不是來(lái)自事件的順序或者個(gè)人的決定和品位。內(nèi)在性意味著我們不應(yīng)該依賴背景來(lái)理解事物。我們將看到，我們對(duì)語(yǔ)言的正常使用一直依賴于語(yǔ)境，因?yàn)橥粋€(gè)詞在不同的語(yǔ)境中可能會(huì)有不同的意思。在正常語(yǔ)言中，人們不僅通過(guò)語(yǔ)境來(lái)評(píng)判事物，還會(huì)聯(lián)系自己的經(jīng)驗(yàn)來(lái)評(píng)判事物；而邏輯上的解釋需要獨(dú)立于個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)。

理解一個(gè)情境中內(nèi)在的東西，需要我們從根本意義上理解事情為什么會(huì)發(fā)生。這與一遍又一遍地詢問(wèn)“為什么”有很大的關(guān)系，這就像小孩子一樣，不僅僅滿足于眼前膚淺的答案。首先，我們必須非常清楚地知道自己在討論什么。正如我們將要看到的，邏輯論證旨在揭示事物的真正含義，為了做到這一點(diǎn)，你必須非常深刻地理解事物的含義。這通常看起來(lái)像是在做一個(gè)圍繞定義的論證。如果你嘗試對(duì)“你是否存在”進(jìn)行討論，那么你可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)話題很快就會(huì)退化成關(guān)于“存在”的意義的討論。通常，我可能會(huì)選擇一個(gè)意味著我的確存在的定義，因?yàn)楸绕鹫f(shuō)“不，我不存在”，這是一個(gè)更有用的答案。

邏輯和生活

我已經(jīng)斷言，世界上沒(méi)有事物是完全依照邏輯運(yùn)作的。那么，我們?nèi)绾卧谥車氖澜缋锸褂眠壿嬆兀繑?shù)學(xué)論證和辯解都明確而有力，但是我們無(wú)法使用它們來(lái)得出有關(guān)人類世界的、完全明確的結(jié)論。我們可以試著用邏輯來(lái)構(gòu)建關(guān)于真實(shí)世界的論證。但是，無(wú)論我們構(gòu)建的論證多么明確，如果從模棱兩可的概念開(kāi)始，我們就會(huì)得到模棱兩可的結(jié)果。我們可以使用非常安全的建筑技術(shù)，但是如果使用用聚苯乙烯制成的磚塊，那么我們永遠(yuǎn)無(wú)法得到一個(gè)非常堅(jiān)固的建筑。

然而，理解數(shù)學(xué)邏輯有助于我們理解歧義和分歧。它幫助我們理解分歧來(lái)自何處，是來(lái)自邏輯的不同用法，還是來(lái)自不同的構(gòu)建單元。比如，兩個(gè)人對(duì)醫(yī)療保險(xiǎn)的意見(jiàn)不一致，他們可能對(duì)是否每個(gè)人都應(yīng)該享有醫(yī)療保險(xiǎn)有分歧，也可能對(duì)提供給每個(gè)人醫(yī)療保險(xiǎn)的最佳方式有分歧。這是兩種截然不同的分歧。

如果他們之間的分歧屬于后者，那么他們可能正在使用不同的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)估醫(yī)療保險(xiǎn)體系，例如政府的成本、個(gè)人的成本、覆蓋率或者結(jié)果。也許在一種體系中，平均保費(fèi)增加了，但是更多的人可以獲得保險(xiǎn)。或者，他們可能正在使用相同的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)不同的體系，例如，評(píng)估個(gè)人成本，一種方式是查看保費(fèi)，另一種方式是查看在任何治療中人們需要實(shí)際支付的金額。而且，即使我們只專注于保費(fèi)，也有不同的評(píng)估方式，例如查看平均值、中間值，或者社會(huì)最貧困階層的成本。

如果兩個(gè)人對(duì)如何解決問(wèn)題意見(jiàn)不一致，那么他們可能對(duì)什么算是解決方案有分歧。或者說(shuō)，他們雖然對(duì)什么算是解決方案意見(jiàn)一致，但是對(duì)如何執(zhí)行解決方案存在分歧。我相信，理解邏輯可以通過(guò)幫助我們找到分歧的根源在哪里來(lái)消除分歧。

在本書(shū)的第一部分，我們剖析了邏輯作為建立論證的準(zhǔn)則、數(shù)學(xué)的一部分，它到底是什么。在第二部分，我們將看到邏輯的局限性。在第三部分，我們將看到，鑒于這種局限性，認(rèn)真對(duì)待我們的情緒是多么重要。

邏輯就像光源

我們所做的一切都是為了照亮這個(gè)世界。如果過(guò)度使用邏輯，我們就有超越這個(gè)目標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)，還有可能讓自己面臨迂腐的指責(zé)。不幸的是，數(shù)學(xué)家和極具邏輯性的人常常被非數(shù)學(xué)家和缺乏邏輯性的人視為迂腐的人。在這里，我冒著讓自己顯得很迂腐（以及變得非常自指）的風(fēng)險(xiǎn)，試著闡明迂腐和精準(zhǔn)之間的差異。我認(rèn)為，這兩者的不同之處就在于闡釋。我認(rèn)為迂腐是以精準(zhǔn)為特征的，但是在闡明一種情形時(shí)，精準(zhǔn)度超出了必要的范圍。我們有足夠的精準(zhǔn)度來(lái)闡明事物，這就像在使用定義建立論證前，我們要先知道正確的定義一樣。然而，當(dāng)額外的精準(zhǔn)度對(duì)我們沒(méi)有幫助時(shí)，我們就稱之為迂腐。

因此，從自指的角度來(lái)看，我對(duì)迂腐和精準(zhǔn)的區(qū)分本身就是一個(gè)精準(zhǔn)的例子，而不是迂腐的，因?yàn)槲艺J(rèn)為它闡明了情況。

當(dāng)然，人們可能會(huì)對(duì)這兩者間的分界線在哪里產(chǎn)生分歧。一個(gè)人的精準(zhǔn)可能是另一個(gè)人的迂腐。這取決于某人對(duì)精準(zhǔn)的追求程度，以及他們對(duì)模棱兩可的容忍程度。

孩子在認(rèn)知世界的過(guò)程中會(huì)遇到一個(gè)難點(diǎn)：如何處理語(yǔ)言的不確定性。他們更容易按照字面的意思待人接物，因?yàn)樗麄冞€沒(méi)有學(xué)會(huì)使用情境來(lái)解釋模棱兩可之處，也沒(méi)有培養(yǎng)出對(duì)細(xì)微差別的容忍（或者理解能力）。我的一個(gè)朋友講述了一件趣事，她的小兒子正在吃一袋薯片，不一會(huì)兒小朋友說(shuō)他吃飽了。我的朋友說(shuō)：“你可以把薯片放在桌子上。”于是，小朋友聽(tīng)話地把薯片全倒在了桌子上。

作為成年人，為了適應(yīng)生活，我們培養(yǎng)出了更加輕松地應(yīng)對(duì)比喻性語(yǔ)言的能力，以及更加輕松地應(yīng)對(duì)事物所需精準(zhǔn)程度的能力。例如，你在測(cè)量東西時(shí)需要怎樣的精確度。當(dāng)稱量用于制作蛋糕的白糖時(shí)，我知道如果少稱10克左右不會(huì)有太大問(wèn)題。然而，當(dāng)稱量用于制作馬卡龍的白糖時(shí)，我知道此時(shí)用量非常重要，所以我會(huì)利用電子秤來(lái)稱取最接近標(biāo)準(zhǔn)用量的質(zhì)量。如果有人在確定麻醉劑的劑量，以使某人處于全身麻醉狀態(tài)，我格外希望他們能得到極為精確的結(jié)果。事實(shí)上，我有一次非常不安的經(jīng)歷，我需要在全身麻醉的狀態(tài)下做一個(gè)膝蓋手術(shù)。當(dāng)麻醉師發(fā)現(xiàn)我是一名數(shù)學(xué)家時(shí)，她用非常歡快的口吻說(shuō)：“哦，我的數(shù)學(xué)真糟糕！”當(dāng)時(shí)，我一點(diǎn)兒也興奮不起來(lái)。

我承認(rèn)，我常常發(fā)現(xiàn)自己會(huì)比其他人追求更高的精準(zhǔn)度，而且確實(shí)有人指責(zé)我迂腐。但是我堅(jiān)信，我只是單純地想讓情況更明朗一些。事實(shí)上，在實(shí)際生活中，我也更傾向于光亮。我喜歡書(shū)桌上明亮的燈光，也喜歡明亮的陽(yáng)光，因?yàn)槲蚁矚g把事物看得更清晰一些。在思考過(guò)程中，我也喜歡這樣。有時(shí)，我們需要花費(fèi)更長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)進(jìn)行更全面的思考，撰寫(xiě)更大篇幅的解釋，完成更多基礎(chǔ)工作，以實(shí)現(xiàn)事物的精準(zhǔn)度，但在如今這個(gè)充滿花言巧語(yǔ)、模因和“扔麥”的世界里，這項(xiàng)工作常常是不受歡迎的。事實(shí)證明，說(shuō)出有影響力的話往往比說(shuō)出真話更重要。但是，應(yīng)該存在一種方式，讓我們?cè)诒磉_(dá)真相的同時(shí)不會(huì)犧牲影響力，在具備影響力的時(shí)候又不會(huì)犧牲真實(shí)性。在我們這個(gè)充滿未知、情感、美好人類的復(fù)雜世界里，使用邏輯就是最好的方式。

在我的想象中，有一束明亮的燈光正在照向我們?cè)噲D理解的事物。如果我們把光源緊靠事物，光線就會(huì)很充足，但是照亮的區(qū)域很小。如果我們把光源移到更遠(yuǎn)的地方，就能照亮很大一片區(qū)域，但是光線會(huì)變得不那么明亮。最終，如果我們把光源放得太遠(yuǎn)，光線就會(huì)變得太分散，我們就看不到任何東西。但是，如果我們把光源恰好放在自己正在學(xué)習(xí)的事物上，那么我們同樣無(wú)法看到太多東西。

邏輯和抽象就像照亮事物的光源。當(dāng)我們變得更加抽象時(shí)，光源就像從地面上升起一樣。我們會(huì)看到更廣闊的背景，但細(xì)節(jié)不再那么明顯；然而，理解廣闊的背景可以幫助我們理解細(xì)節(jié)。在所有的情況下，我們的目標(biāo)都應(yīng)該是各種形式的闡釋。首先我們需要光源，然后我們可以決定讓光照向哪里，以及如何去照亮那個(gè)地方。