3.10　疊代模型

3.10.1　個(gè)人消費(fèi)和儲(chǔ)蓄的決定

1958年，薩繆爾森（Samuelson）在其經(jīng)典論文中探究了現(xiàn)收現(xiàn)付制對(duì)個(gè)人決策的影響。下面我們具體介紹薩繆爾森的疊代模型，該模型假定每一代人生活兩個(gè)時(shí)期，他們?cè)诘谝黄诠ぷ鳎诙谕诵荩丝诘脑鲩L(zhǎng)率為n。

如表3-2所示，每個(gè)時(shí)期都是由老年人和青年人構(gòu)成，本期老年人是上一期出生的青年人，本期青年人則是本期新出生人口。為了便于理解，我們假設(shè)在經(jīng)濟(jì)運(yùn)行第0期出生的人屬于第0代人，也即0期的青年人；0期前出身的人屬于-1代，為0期的老年人。以此類推，第n期出生的人屬于第n代人，也是n期的青年人和n+1期的老年人。

暫且先不考慮養(yǎng)老保險(xiǎn)制度，只考慮個(gè)人儲(chǔ)蓄，那么個(gè)體如何選擇最優(yōu)儲(chǔ)蓄水平使其一生效用最大化？[2]

假設(shè)效用函數(shù)為，其中下標(biāo)t表示第t期，上標(biāo)i取值1和2，分別表示年輕時(shí)期和老年時(shí)期。該效用函數(shù)滿足邊際效用大于0（u′＞0）和邊際效用遞減（u″＜0）。個(gè)體最優(yōu)化問(wèn)題可以表述為：

假定工資和利率對(duì)個(gè)體而言是外生的，不受其控制，則約束條件的含義是，t期出生的個(gè)體在年輕時(shí)通過(guò)勞動(dòng)獲得工資wt，第二期工資為0，因此個(gè)體通過(guò)選擇一個(gè)儲(chǔ)蓄水平st來(lái)決定兩期的消費(fèi)水平。當(dāng)選定儲(chǔ)蓄水平后，年輕時(shí)期的消費(fèi)水平就已經(jīng)給定，同時(shí)，老年時(shí)期的消費(fèi)水平也由外生的利率水平r決定。ρ為主觀貼現(xiàn)率，衡量人們對(duì)當(dāng)前消費(fèi)和遠(yuǎn)期消費(fèi)的偏好程度，也是外生給定。由于缺乏耐心或是未來(lái)存在不確定性等因素，人們總是傾向于“及時(shí)行樂(lè)”，對(duì)當(dāng)期效用評(píng)價(jià)更高，對(duì)未來(lái)的效用會(huì)“打個(gè)折扣”，因此，ρ通常大于0，這個(gè)值越大，說(shuō)明人們?cè)讲幌矚g延遲消費(fèi)。

個(gè)體通過(guò)選擇兩期的消費(fèi)，最大化自身效用：

對(duì)st求導(dǎo)數(shù)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)等于0時(shí)效用達(dá)到最大化，可得如下一階條件：

這個(gè)一階條件有如下幾點(diǎn)性質(zhì)：

（1）增加ρ會(huì)提高年輕時(shí)期的消費(fèi)，同時(shí)減少老年時(shí)期的消費(fèi)。

（2）增加r會(huì)提高老年時(shí)期的消費(fèi)，但對(duì)于年輕時(shí)期消費(fèi)水平的影響方向取決于消費(fèi)函數(shù)的具體形式。

（3）可以將ρ理解成主觀貼現(xiàn)率，將r理解成市場(chǎng)貼現(xiàn)率。

若主觀貼現(xiàn)率大于市場(chǎng)貼現(xiàn)率，他會(huì)在第一期借貸，用于第一期的消費(fèi)，第二期償還借貸，即第一期消費(fèi)多于第二期（此時(shí)假設(shè)第二期的收入不為0）。但如果存在信貸約束，則第一期的消費(fèi)不能超過(guò)收入，這時(shí)他會(huì)將第一期的收入全部消費(fèi)掉。

若主觀貼現(xiàn)率小于市場(chǎng)貼現(xiàn)率，他將在第一期儲(chǔ)蓄，用于第二期消費(fèi)。

此外，工資提高會(huì)同時(shí)提高兩期的消費(fèi)水平。

專欄　邊際效用

3.10.2　同時(shí)考慮養(yǎng)老保險(xiǎn)和儲(chǔ)蓄的疊代模型

在上一小節(jié)我們放松了假設(shè)，允許經(jīng)濟(jì)體存在金融市場(chǎng)和資本市場(chǎng)，個(gè)體可以通過(guò)儲(chǔ)蓄平滑跨期消費(fèi)。現(xiàn)在進(jìn)一步放松假設(shè)，政府會(huì)向青年人征收養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)，同時(shí)向老年人支付養(yǎng)老金。

個(gè)體年輕時(shí)消費(fèi)水平由工資、養(yǎng)老保險(xiǎn)繳費(fèi)和儲(chǔ)蓄水平三個(gè)因素決定：

=wt（1-τ）-st

老年時(shí)期消費(fèi)水平由儲(chǔ)蓄、利率及政府發(fā)放的養(yǎng)老金決定：

=bt+1+（1+r）st

t+1期的養(yǎng)老基金總收入為：

Tt+1=τwt+1Lt+1

養(yǎng)老基金總支出為：

Bt+1=bt+1Lt

收支平衡要求：

Tt+1=Bt+1

bt+1=τwt（1+g）（1+n）

將bt+1計(jì)算公式和st=wt（1-τ）-代入計(jì)算公式，可得：

式（3-25）左邊為個(gè)體一生消費(fèi)金額的貼現(xiàn)值，n+g為養(yǎng)老保險(xiǎn)收益率，r為市場(chǎng)利率。養(yǎng)老保險(xiǎn)的引入對(duì)個(gè)體的福利有何影響取決于市場(chǎng)利率和養(yǎng)老保險(xiǎn)收益率的相對(duì)大小。

（1）當(dāng)r＞n+g時(shí)，由公式可知，個(gè)體一生消費(fèi)數(shù)量小于其工資收入，意味著養(yǎng)老保險(xiǎn)的引入導(dǎo)致其福利下降。

（2）當(dāng)r=n+g時(shí)，個(gè)體消費(fèi)等于工資，福利和沒(méi)有養(yǎng)老保險(xiǎn)時(shí)相同。

（3）當(dāng)r＜n+g時(shí)，消費(fèi)大于工資，個(gè)體的福利水平因養(yǎng)老保險(xiǎn)的引入而提高。然而對(duì)于0時(shí)期的老年人而言，因?yàn)樵谄涔ぷ鲿r(shí)沒(méi)有繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)，但在老年時(shí)卻獲得了一筆養(yǎng)老保險(xiǎn)金，所以他們的福利的確定性會(huì)提高。

專欄　參加養(yǎng)老保險(xiǎn)各代人的收益