§3.5　多元回歸模型的設定偏誤

一、正確的多元回歸模型

在前面的討論中，我們假定所用回歸模型是正確設定的，正確設定的回歸模型應具有如下特點：

（1）模型中只包含關鍵變量，也就是說所選定的模型是最簡便的。

模型是對現實經濟系統的抽象。一個模型應盡量簡單，我們應在設定模型時只引進抓住現實本質的關鍵變量，把影響微弱的變量放到干擾項u中去。

（2）模型參數可識別。對于給定的一組數據，估計的參數具有唯一值。

（3）較高的擬合優度。

要用解釋變量X解釋被解釋變量Y, X對Y的解釋能力就應該較高，就要求有盡可能高的R2。

（4）估計的回歸系數與經濟理論一致。

如果回歸模型中估計的參數的符號是錯誤的，那么回歸模型也是不成立的。

一個正確的回歸模型的判定并沒有一個統一的標準，在計量經濟分析實踐中，我們會使用各種檢驗方法去判斷回歸模型的性質，第四章會重點闡述這些內容。

多元回歸模型的設定偏誤主要包括以下三種：

（1）回歸模型中包含了無關解釋變量；

（2）回歸模型中遺漏了重要解釋變量；

（3）回歸模型中的函數形式設定偏誤。

下面將分別予以討論。

二、回歸模型中包含了無關解釋變量

多元回歸模型中包含了無關解釋變量，即對模型進行了過度設定。就是說，我們把一個在總體回歸模型中對Y沒有影響的解釋變量放到了樣本回歸模型中。假定真實模型為：

而我們設定的回歸模型為

解釋變量X3對Y沒有影響，X3在總體回歸模型（3.91）中的參數β3=0。在模型（3.92）中，X3是一個與被解釋變量Y無關的變量。引入X3將導致如下結果：

（1）有誤模型（3.92）的參數最小二乘估計量均無偏，即E（）=β1，E（）=β2和E（）=β3=0。

（2）的方差非最小，都大于正確模型（3.91）中的方差。也就是說，在模型（3.92）中，X3的引入將使，的方差無必要地增大，降低估計的精度。

三、回歸模型中遺漏了重要解釋變量

在多元回歸模型中，遺漏了一個實際上應該包括在總體模型中的解釋變量，稱為對模型設定不足。就是說，我們遺漏了一個對被解釋變量有顯著影響的解釋變量。

假定真實模型為

而我們設定的回歸模型為

X3是對Y有顯著影響的變量，而在模型（3.94）中卻將其漏掉了。遺漏X3將導致如下后果：

（1）如果遺漏的變量X3與包含的變量X2相關，則和是有偏誤的，且非一致。就是說，E（）不等于β1，E（）不等于β2，而且不論樣本多大，偏誤都不會消失。

（2）如果X3與X2不相關，則是有偏誤的，而則是無偏的。

（3）σ2不能正確地估計。

（4）根據所估計的參數的統計顯著性，容易導出錯誤的結論。

例3.10　在例3.8中，為了說明線性到對數回歸模型的應用，使用了一元回歸模型，但這很可能是一個有誤的設定。因為影響經濟增長的因素除了能源消費量外還有勞動投入、資本投入、技術進步、制度、金融等非能源類因素的影響，在此我們用時間變量t代表這些因素。則回歸模型應為

其中Y是國內生產總值（億元），X為能源消費總量，t是時間（t=1，2，……，15）。

時間變量t的使用是計量經濟分析中的常用手段。第一，當我們研究的興趣僅僅在于變量的時間特性時，我們就使用時間t作解釋變量。例如，研究GDP、就業率、股票價格隨時間變化的規律性。第二，有時要選擇的解釋變量是無法觀測的或難以獲得數據，我們就用t變量作為它們的替代變量。此時，我們假定這個無法測定的變量是時間變量t的函數。

在本例中，我們用時間變量t代表所有除能源消費量外影響經濟增長的因素，設定其他影響因素是時間變量t的函數。

利用表3.4中的數據，設定t=1，2，……，15，使用普通最小二乘法，得到回歸模型

對比式（3.85）和式（3.96）可知：

（1）一元回歸模型中，能源消費量每增加1%，GDP平均增長2306.05億元。而在引入時間變量t的多元回歸模型中，能源消費量每增加1%，GDP平均增長574.71億元。一元回歸模型中由于設定偏誤，高估了能源消費量對經濟增長的影響。由于遺漏了時間趨勢變量，能源消費量就承擔了遺漏變量對GDP的影響，因而無法準確測定能源消費量對GDP的真實影響。

（2）兩個模型的標準誤也是不同的。

（3）多元回歸模型中擬合優度要優于一元回歸模型。

由此可見，如果在回歸分析中遺漏了重要解釋變量，將會帶來較嚴重的后果。所以在建立回歸分析模型時，就必須深入了解建模的有關經濟理論，將影響被解釋變量的重要變量引入到回歸模型中。

四、回歸模型的函數形式設定偏誤

如果回歸模型的函數形式設定有誤也會產生設定誤差。

經濟理論只能告訴我們經濟系統中各經濟變量之間的相互關聯性，并不能闡明變量之間關聯的函數形式。

例如，使用生產函數時，根據經濟理論我們只能知道產出是投入要素的函數，并未告訴我們具體的函數形式。我們可以用線性函數也可以用對數線性函數去研究它：

式（3.97）中β2，β3為斜率；式（3.98）中α2，α3為彈性，兩者意義不同。在線性函數中，彈性為β2（X2/Y），β3（X3/Y），是一個變彈性模型，而式（3.98）的彈性α2，α3為常數，是一個不變彈性模型。只有選擇了正確的函數形式，才能得到有效估計和正確的經濟解釋。

為了研究的方便，我們通常將非線性模型用線性模型去近似表達，這種近似必然存在誤差，從而影響參數估計的效果。

例如，當變量真實關系為多項式模型：

而我們在研究中使用了線性模型

則線性模型（3.100）中，遺漏了變量X2和X3，且遺漏變量與X相關，用普通最小二乘法估計參數是有偏誤的。

函數形式的設定偏誤有多種多樣，我們在選擇模型的函數形式時必須謹慎小心，而這又是一個探索和改進的過程，我們只能通過不斷的嘗試來找到最恰當的函數形式。