§3.4　回歸模型的函數形式

在前面所用的回歸分析中，除工資模型外，被解釋變量與解釋變量的關系均為線性關系，即被解釋變量對解釋變量的一階導數均為常數。但是在經濟系統中，這種線性關系并不能滿足要求，我們要用到許多變量間非線性關系的回歸模型。例如，工資決定模型的被解釋變量就是對數形式。對于多數非線性模型，我們都可以通過重新定義被解釋變量和解釋變量把非線性模型轉換為線性回歸模型。

在此，我們主要討論如下四種形式的回歸模型：（1）對數線性模型；（2）半對數模型；（3）雙曲線模型；（4）多項式模型。

一、對數線性模型

1.雙對數線性模型

在進行某商品的市場需求分析時，我們知道價格是影響需求量的重要因素，故設定如下模型：

其中Yi為需求量，Xi為價格，e≈2.718為自然對數的底。對（3.68）式取對數可得

式中ln表示以e為底的自然對數。

令α=lnβ1，則式（3.69）可表達為

該模型中lnYi對α，β2是線性關系，lnYi對lnXi也是線性關系。該模型可稱為雙對數線性模型，簡稱為對數線性模型。

令則式（3.70）可表達為

如果式（3.71）滿足經典假定，我們就可以使用普通最小二乘法估計參數α和β2，并且得到的估計量和分別是α和β2的最佳線性無偏估計量。

對數線性模型的優點在于：斜率系數β2度量了Y對X的彈性，也就是當解釋變量X變化1%時，Y變化的百分比。模型中X代表價格，Y代表需求量，預期價格彈性β2＜0。因此，β2就代表當價格X上漲或下調1%時，需求量下降或上漲的百分比。在式（3.71）中，取lnY對lnX的導數可得

由于在線性回歸模型中，β2是一個常數，因此，對數線性模型假定Y與X之間的彈性數β2在整個研究范圍內保持不變，所以稱為不變彈性模型。如果X=1%，即解釋變量變1%，則Y的變化為β×1%=β%。

對數線性模型的多元回歸模型為

其中β2，β3，……，βk分別為Y對X2，X3，……，Xk的彈性。

在回歸分析中使用對數線性模型的優點和規則：

對數線性模型的優點

（1）對數線性模型中斜率系數度量了一個變量（Y）對另一個變量（X）的彈性。

（2）斜率系數與變量X, Y的測量單位無關，其結果值與X, Y的測量單位無關。

（3）當Y＞0時，使用對數形式lnY比使用水平值Y作為被解釋變量的模型更接近經典線性模型。大于0的變量，其條件分布常常是有異方差性或偏態性；取對數后，雖然不能消除這兩方面的問題，但可大大弱化這兩方面的問題。

（4）取對數后會縮小變量的取值范圍。使得估計值對被解釋變量或解釋變量的異常值不會很敏感。

對數線性模型的經驗法則

對于何時取對數并不存在一個固定模式，但有一些經驗法則：

（1）對于大于0的數量變量，通常均可取對數。例如，需求量、價格、工資等。

（2）以年度量的變量，如受教育年數、工齡、年齡等則通常以其原有形式出現。

（3）以比例或百分比度量的變量，如失業率、通貨膨脹率、犯罪率等變量即可使用原形式也可使用對數形式。但兩種使用方法中參數的意義不同。

（4）使用對數時，變量不能取0或負值。

例3.6　美國咖啡需求函數（1970—1980年）。

表3.2給出了美國1970—1980年的咖啡需求量和實際價格水平資料。

表3.2　1970—1980年美國咖啡需求量（Y）和實際價格（X）

在該需求函數中，我們要用需求的價格彈性來解釋價格對需求量的影響，因此，我們采用對數線性模型：

使用普通最小二乘法，得到如下的樣本回歸模型：

其中Yt為咖啡消費，Xt為咖啡實際價格。

從樣本回歸模型可以看出，咖啡需求的價格彈性為-0.25。就是說，在1970—1980年的樣本期內，咖啡每磅實際價格每增加1%，咖啡需求量（每日飲用咖啡的杯數）平均減少0.25%。因為咖啡價格彈性的絕對值小于1，所以說咖啡的需求是價格非彈性的。

2.單對數模型

（1）對數到線性模型

在經濟系統中，人們用GDP、失業、進出口、投資、人口等指標的增長率來描述經濟系統的發展狀態。對數線性模型為我們提供了方便，該類對數線性模型為

其中Yt為要研究的經濟現象，t為時間變量。

時間變量t的使用，主要是研究被解釋變量在時間上的變動規律。例如，我們常常要研究GDP、就業、失業、股票價格等經濟現象在一定時期內的變化規律。

在式（3.76）中，被解釋變量為對數形式，解釋變量為線性形式，稱為對數到線性的單對數模型，簡稱對數到線性模型。式（3.76）的通用形式為

其中斜率系數β2的含義為：解釋變量X絕對量改變一個單位時，被解釋變量Y的相對改變量，即

對于式（3.78），當ΔX=1時，Y的相對變化當ΔX=1%時，即X增加1個百分點，Y的相對變化

對于式（3.78），如果Yt為國內生產總值，取Δt=1，則

很顯然，β2代表經濟增長率。

例3.7　利用表3.3中實際GDP數據，取時間變量t=1，2，……，15，得到中國2000—2014年的經濟增長模型為

式（3.80）的中國經濟增長模型說明在2000—2014年期間，中國實際GDP每年增長9.80%。

表3.3　2000—2014年中國實際GDP

注：表中數據來源于《中國統計年鑒2014》，實際GDP為2000年可比價指標。

（2）線性到對數模型

類似于對數到線性的單對數模型，如果我們想測度解釋變量的相對改變量對被解釋變量的絕對改變量的影響，就需要使用解釋變量是對數形式、被解釋變量是線性形式的回歸模型。

我們稱式（3.81）為線性到對數模型。模型中斜率系數β2的含義為解釋變量X相對量改變1個單位時，被解釋變量Y的絕對變化量，即

當ΔX/X=0.01=1%時，ΔY=0.01β2，即當解釋變量X增加1%時，被解釋變量Y增加的絕對量為0.01β2。

例3.8　中國能源消費對GDP的影響（2000—2014年）（見表3.4）。

表3.4　2000—2014年中國能源消費與GDP

注：表中數據來源于《中國統計年鑒》，實際GDP為2000年可比價指標。

為了研究能源增長的相對變化對經濟總量GDP增長的影響，可使用對數到線性模型（為了說明對數到線性回歸模型的應用，此處使用了也許不恰當的一元回歸模型）。

其中Y為國內生產總值（億元），X為能源消費總量（萬噸標準煤）。

利用表3.4中數據，使用普通最小二乘法，可得回歸模型：

回歸模型（3.85）中，斜率系數是高度顯著的，=230 605.1說明在2000—2014年期間，能源消費量每增加1%，國內生產總值平均增長2306.051億元。

二、倒數模型

當解釋變量以倒數形式出現時的模型稱為倒數模型或雙曲線模型，例如

式（3.86）中，Y對X是非線性，但對參數β1，β2而言是線性的，Y對也是線性的。此模型的特點為當X值趨向于無窮大時，β2趨向于0，Y趨向于β1.

雙曲線模型主要有以下三種形式，如圖3.1所示：

圖3.1（a）可用來描述平均總成本曲線，單位固定成本隨著產量X的增加而下降。

圖3.1（b）可用來描述宏觀經濟學中著名的菲利普斯曲線（Phillips curve）。在工資變化率Y隨失業率X的變化中，存在兩個明顯不同的階段。在失業率X低于自然失業率X0時，由失業率的單位變化引起的工資變化要快于當失業率高于自然失業率X0時由失業率的同樣的變化引起的工資變化。β1表示工資變化率的漸近底線。

圖3.1（c）可用來描述恩格爾支出曲線。如令Y為對某一商品的支出，X為收入，則某些商品具有如下特性：（1）收入上存在一個臨界水平。當收入低于此水平時，消費者就不會購買該商品，這個臨界水平就是圖3.1（c）中的-β2/β1；（2）消費上有一飽和水平，當消費達到這一水平時，無論消費者收入有多高，都不會多購買一點。這個飽和水平就是圖中的漸近線β1.

三、多項式模型

多項式模型在研究成本和生產函數的計量經濟分析中有較大的應用價值。邊際成本曲線和平均總成本曲線均為U形曲線，我們必須用二次曲線去描述它。

式（3.87）稱為二次函數或二次多項式。對于更加復雜的總產量曲線和總成本曲線，可使用三次多項式去描述，即

式（3.88）稱為三次函數或三次多項式。

例3.9　總成本函數。

表3.5給出了某產品的產量和總成本數據。

表3.5　產量與總成本

使用表3.5中的數據繪制散點圖，如圖3.2所示。由圖3.2可以看出，總成本與總產出之間的關系為一條拉長的S曲線，因此需要用三次多項式來描述它。

其中Y為總成本，X為產量。

利用表3.5中的數據，使用普通最小二乘法，得到如下的回歸模型：

模型中各偏回歸系數均顯著，擬合優度很高，是個較優良的總成本函數。