習題一

（注：做本章的習題必須按照以下要求：只能用這道題之前講過的內容和做過的題去做，而不許用這道題以后講的內容.這是為了更好地理解理論體系的邏輯結構.）

1.設k₀是給定的整數，P（n）是關于整數n的一種性質或命題.如果

（i）當n=k₀時，P（k₀）成立；

（ii）由P（n）成立可推出P（n+1）成立，

那么P（n）對所有整數n≥k₀成立.

2.在上題的條件下，如果

（i）當n=k₀時，P（k₀）成立；

（ii）對n＞k₀，由對所有的m（k₀≤m＜n），P（m）成立可推出P（n）成立，

那么P（n）對所有正整數n≥k₀成立.

3.設T是一個由整數組成的集合.若T中有正整數，則T中必有最小正整數.

4.設T是一個由整數組成的集合，若T有下界，即存在整數a使對所有的t∈T，有t≥a，那么，必有t₀∈T，使對所有的t∈T，有t≥t₀.

5.設M是一個由整數組成的集合.若M有上界，即存在整數a，使對所有的m∈M有m≤a，那么，必有m₀∈M，使對所有的m∈M，有m≤m₀.

6.設a≥2是給定的正整數.證明：

（i）對任一正整數n，必有n<aⁿ；

（ii）對任一正整數n，必有唯一的整數k≥0，使a^k≤n＜a^k+1.

可以做IMO的問題（見附錄四）：［8.1］，［16.1］，［16.4］，［22.3］，［22.6］，［23.1］，［31.5］，［36.4］以及［28.3］，［32.6］.