10 優(yōu)雅的數(shù)

在對看不見的世界進行探索的過程中，方程式是一個關(guān)鍵的資源。它能將這個世界各個單獨的事物互相聯(lián)系在一起，并且為這些事物的表現(xiàn)提供新的見解——就像我們從波動方程那里得到了許多信息一樣。事實上，沒有其他地方比我們正行駛的道路更能體現(xiàn)方程式的有用了。因為麥克斯韋方程組是非常強力的新資源，所以它們值得被更深層次地探討，以尋求它們所具有的更深層次的內(nèi)涵。

麥克斯韋方程組適用于三維世界，它將指向不同方向的場聯(lián)系在一起。舉個例子，南北方向的電場的大小取決于東西方向的磁場大小。麥克斯韋將每一個向量的組成部分、每個方向在20個單獨的方程式里都羅列了出來。或許這也是為什么開爾文勛爵花了好一段時間才看完麥克斯韋的論文。

相比于20個單獨的方程式，麥克斯韋方程組還有一種更為優(yōu)雅的表達了相同信息的寫法，這種寫法同時揭露了它的一些重要特性，而這些特性將會成為我們在物理世界中不可或缺的導(dǎo)航工具。如果我們采用數(shù)學(xué)概念中的向量的話，麥克斯韋方程組可以被寫成短短的四行。

數(shù)值是基本的數(shù)學(xué)概念，它能被用來描述物體的尺寸、某種屬性等。比如，我們旅行中乘坐的車的重量，還有它在努力爬坡時引擎的溫度，都是數(shù)值。而像一支箭那樣同時含有大小和方向的物體，我們可以用另一種數(shù)學(xué)概念——向量來描述。舉例來說，速度是向量，要想說明我們汽車的行進狀況，我們不用說它在南北方向和東西方向分別行進得有多快，而僅僅提供一個向量就可以。該向量的大小為汽車的速率，指向角度為汽車的方向。同理，電場也同時有大小和方向，也能用向量來描述。

除了省墨水外，向量形式的麥克斯韋方程組明顯地展現(xiàn)了它內(nèi)涵的某種對稱性：像圓球似的，從任何角度看都一樣。假如我把公式中向量的方向旋轉(zhuǎn)一下，把北變成東或者西南，或者任意方向，只要我把所有的方向、坐標(biāo)軸一同旋轉(zhuǎn)，那么就不會有什么改變發(fā)生，方程組仍然成立。物理學(xué)家或數(shù)學(xué)家稱這個方程組在旋轉(zhuǎn)的條件下具有“不變性”。即使我們變換方向行駛，從往東開換成往北開，麥克斯韋方程組仍保持不變。

尋找類似的不變性和對稱性，能幫助我們在“看不見的地圖”上找到合適的行進路線，它是最為可靠的指導(dǎo)方法之一。除了旋轉(zhuǎn)不變性外，麥克斯韋方程組中還隱藏了另一種不變性，即如果速率改變，方程組仍保持不變。雖然速率不變性體現(xiàn)得沒有旋轉(zhuǎn)不變性那么明顯，但我們也可以從關(guān)聯(lián)了移動中電荷（電流）和其產(chǎn)生的磁場的方程式中看出端倪。如果我改變自身的移動速率，那我便會改變電流相對于我的表觀速度，我甚至能加速至電流速率，和它齊頭并進。這樣從我的角度來看，電流便不存在了！那么，在這種情況下，麥克斯韋方程組會給我們描述一個怎樣的磁場呢？

因為在我們不斷擴展的地圖上，相連的道路代表了電磁力，所以讓我們用道路和車流的概念來進行一次測試或一次思想實驗。假設(shè)，有一連串的汽車以50千米/小時的速率從我們身邊經(jīng)過，每輛車攜帶著一大盒電子，也就是說它們均攜帶了負(fù)電荷。車流可以被視作一道電流，而麥克斯韋方程組告訴我們，我們會感受到電流產(chǎn)生的磁場，還有電荷產(chǎn)生的電場。事實上我們也確實會看到這兩種力場的存在，并且能夠測量其具體強弱、大小。

現(xiàn)在，想象我們也將自身速率加速至50千米/小時，且行進方向與車流方向相同。我們現(xiàn)在便在和它們一起運動。因為，相對于我們而言，它們是靜止的，所以在我們的視角下，不會再有電流，也不會再存在磁場。

僅僅因為我們的速率增加了，物理事實就改變了嗎？從某個路邊行人的角度來看，電流仍然存在，所以依據(jù)麥克斯韋方程組，什么都沒有改變——磁場仍然存在。所以我們各自需要不同版本的麥克斯韋方程組嗎？那么，假如有以其他速度行進的第三個人，比如以50千米/小時的速率往反方向行進，他看到一道更強的電流嗎？

答案是，我們?nèi)允褂孟嗤姹镜柠溈怂鬼f方程組。最初的形式仍然管用，因為它在觀測者的速率的改變下保持不變。確實，對于我們來說，因為電流消失了，所以磁場會消失。但是由于電場會產(chǎn)生微妙的變化以補償消失的磁場，所以最后所有電荷的運動和力的關(guān)系仍保持一致。這看上去幾乎是一個奇跡，但卻是被麥克斯韋方程組完全限定好的。因此，電場和磁場被稱作具有“協(xié)變”關(guān)系——它們會以一種保持麥克斯韋方程組形式不變的方式一起變化。而對我們來說，無論我們和其他觀測者的相對運動速率差有多大，所有人只需要一個版本的物理法則就夠了。

麥克斯韋方程組的速率不變性有非常深遠(yuǎn)的影響。還記得嗎，麥克斯韋方程組可以被用來算出電磁波的波動方程，以及光的速度。無論我們作為觀測者的運動速度有多快，如果麥克斯韋方程組都是一樣的話，那么光的速度也是一樣的。光速具有不變性。

光速對于任何人、在任何時候都是一樣的，無論他們自身的速率是多少。這是奠定了愛因斯坦相對論的一個基本原理。在旅途中，我們將會遇到許多速度極快和能量極高的粒子。要想正確描述它們的運動狀態(tài)，我們必須使用相對論。相對論還將能量（E）和質(zhì)量（m）通過有名的等式E=mc2聯(lián)系在一起，其中c便是光速——最初我們從麥克斯韋方程組中得出的波的速度。

作為一組19世紀(jì)的方程，麥克斯韋方程組真的告訴了我們許多信息。它主宰的電磁力將電子束縛在原子核，將原子之地各個分散的部分連接在一起。所有帶電的粒子除了互相吸引或排斥外，都能將光子來回傳遞，這種傳遞組成了連接眾多知識島嶼的重要公路網(wǎng)絡(luò)。此外，方程式還向我們展示了一個裝著基本原則和重要概念的工具箱，比如不變性和相對性，幫助我們進行進一步的探索。