第一章 大數

你最多能數到幾

有這樣一個故事。兩個匈牙利貴族決定玩一場游戲，看看誰能說出世界上最大的數。

一個人說：“你先說吧。”

經過幾分鐘的苦苦思索，第二個貴族終于說出了他能想到的最大的數。

“三。”他說。

現在輪到第一個人思考了。一刻鐘以后，他認輸了。

“你贏了。”他說。

當然，這兩個匈牙利貴族的智力水平表現堪憂，這個故事可能只是一種惡意污蔑。不過，類似對話在霍屯督人之中可能的確發生過。根據非洲探險家的說法，許多霍屯督部落的語言中沒有表示三以上數字的詞語。當你向那里的原住民詢問他有多少兒子或者殺死過多少敵人時，如果這個數字大于三，他會回答“很多”。所以，就計數而言，只能數到十的美國幼兒園兒童完全可以輕松擊敗兇猛的霍屯督戰士。

現在，只要在某個數字右邊寫下足夠多的零，我們就可以寫出我們希望表示的任意大數——不管這個大數表示的是以美分為單位的戰爭支出，還是以英寸為單位的恒星距離。我們已經習慣了這種做法。你可以不停地畫圈，直到你的手感到疲憊。你會不知不覺寫下一個比宇宙中原子總數還要大的數。順便說一句，宇宙中的原子總數是300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, 000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。

你也可以使用更加簡潔的形式記錄這個數：3×1074。

在這里，數字10右上角那個小小的74意味著你必須寫出74個零。換句話說，3必須乘以74次10。

不過，這種“簡易算術”系統在古代并不為人所知。實際上，它是某個不知名的印度數學家在不到兩千年前發明的。在他的偉大發現之前——這在當時的確是一項偉大發現，盡管我們通常沒有意識到這一點——人們在計數時會使用特殊符號，我們今天的每一個十進制單位對應于一個特殊符號。十進制單位上的數是幾，這個符號就重復幾次。例如，下面是古埃及人記錄的8732：

而愷撒衙門里的職員則會把8732寫成下面的形式：

MMMMMMMMDCCXXXII

你一定對后一種計數法感到熟悉，因為今天的人們有時仍然會使用羅馬數字——用于表示一本書的卷數或章節，或者在莊重的紀念碑上記錄歷史事件的日期。不過，由于古代的記錄需求不會超過四位數，因此表示更高十進制單位的符號并不存在。如果你讓古羅馬人寫下“一百萬”，不管他在算術方面接受過多么良好的教育，他都會陷入極為尷尬的境地。對他來說，要想滿足這個要求，最好的辦法就是連續寫下一千個M，這需要幾個小時的辛勤勞動（圖1）。

對古代人來說，天上的星星、海里的魚或者沙灘上的沙粒這類非常大的數是“無法計算的”，正如“五”對霍屯督人來說是無法計算的。霍屯督人只會將“五”看作“很多”。

公元前3世紀，具有偉大頭腦的著名科學家阿基米德（Archimedes）指出，人們可以寫出非常大的數。阿基米德在著作《數沙者》中寫道：

 

一些人認為沙粒的數量是無限的；我所說的沙粒不是指存在于敘拉古附近和西西里其他地方的沙粒，而是指地球上有人居住和無人居住的所有地區的所有沙粒。還有一些人認為這個數字不是無限的，但是他們認為超過地球沙粒數量的數字是寫不出來的。顯然，對于持有這種觀點的人來說，如果他們想象出一個與地球大小相等的沙球，上面與地球上所有海洋和所有洼地相對應的位置都被填充到最高山峰的高度，那么他們可以更加肯定地說，表示這些沙粒的數字和比它還要大的數字是表示不出來的。不過，我會努力說明，我所寫出的一些數不僅超過了按照上述方法填充的與地球一樣大的沙球中的沙粒數量，而且可以等同于與宇宙一樣大的沙球中的沙粒數量。

 

阿基米德在這本著作中提出的大數表示方法與現代科學的大數表示方法類似。他從古希臘算術中最大的數入手，這個數是一萬。接著，他引入了一個新數，即一萬萬，他稱之為“億”或“二級單位”。“億億”被稱為“三級單位”，“億億億”被稱為“四級單位”，依此類推。

大數的表示似乎是一個微不足道的話題，不值得花費幾頁紙的篇幅。不過，在阿基米德的時代，大數的表示方法是一個偉大發現，是數學科學的一項重要進步。

為了計算填充整個宇宙所需要的沙粒數量，阿基米德需要知道宇宙有多大。在那個時代，人們認為宇宙是一個水晶球，固定的恒星附著在球面上。薩摩斯人阿利斯塔克（Aristarchus）是與阿基米德同時代的著名天文學家，他估計地球與天球邊緣的距離是10,000,000,000斯塔德，約為1,000,000,000英里。

阿基米德比較了天球和沙粒的大小，完成了一系列復雜到足以成為高中生噩夢的計算，最終得出了下面的結論：

 

顯然，阿利斯塔克估計的恒星天球包裹的空間可以容納的沙粒數量不超過一千萬個八級單位。注1

注1在我們現在的表示法中，這個數是

 

你可能會注意到，阿基米德使用的宇宙半徑估計值比現代科學家的估計值小得多。十億英里的距離只比太陽系中地球到土星的距離稍微多一點。我們稍后將會看到，現在的望遠鏡對宇宙的探測距離已經達到了5,000,000,000,000,000,000,000英里。所以，填充整個可見宇宙所需要的沙粒數量應該超過：

10100（1后面100個零）。

當然，這比本章開頭提到的宇宙中的原子總數3×1074大得多。然而，我們一定不要忘了，宇宙并非充滿了原子。實際上，每立方米空間平均只有大約一個原子。

不過，要想獲得非常大的數，我們根本不需要做出用沙子填充宇宙這樣極端的事情。實際上，大數常常出現在看似非常簡單的問題中，你甚至不會想到這些問題中會出現超過四位的數。

大數的受害者之一是印度舍罕王（King Shirham）。根據古老的傳說，總理大臣西薩·本·達希爾（Sissa Ben Dahir）發明了國際象棋，并且獻給了國王。國王想要獎勵他。聰明的總理大臣似乎沒有太大的欲望。他跪在國王面前，說道，“陛下，請在棋盤第一格為我擺上一粒小麥，第二格擺上兩粒小麥，第三格擺上四粒小麥，第四格擺上八粒小麥，每一格的數量如此加倍。哦，國王，請為我提供足以擺滿64格棋盤的小麥。”

“哦，愛卿，你要的并不多。”國王叫道。他覺得為神奇游戲發明者提供禮物并不會使他失去太多財富，因此感到有些欣喜。“你的愿望一定會得到滿足。”他命人把一袋小麥帶到寶座前。

計數開始了。第一格一粒小麥，第二格二粒，第三格四粒，依此類推。還沒有算到第二十格，袋子已經空了。更多袋小麥被帶到國王面前。不過，每一格麥粒數的增長極為迅速。人們很快意識到，即使交出印度所有糧食，國王也無法滿足他對西薩·本的承諾。他需要向西薩提供18,446,744,073,709,551,615個麥粒！

這個數沒有宇宙中的原子總數那么大，但它仍然非常大。假設1蒲式耳小麥含有大約5,000,000個麥粒，要想滿足西薩·本的要求，你需要大約4萬億蒲式耳。全球小麥每年的平均產量約為2,000,000,000蒲式耳，因此總理大臣的要求相當于全球小麥大約兩千年的總產量！

1+2+22+23+24+…+262+263.

在數學上，每個數增長相同倍數（這里的倍數是2）的數列叫作幾何級數。可以證明，這種級數所有項之和等于恒定倍數（這里是2）的級數項數（這里是64）次冪減去第一項（這里是1）并除以上述恒定倍數與1之差。它可以表示成：

其數值為

18,446,744,073,709,551,615。

因此，舍罕王欠了總理大臣很大一筆財富。他有兩個選擇，一是接受總理大臣持續不斷的要求，二是砍下他的頭。我們懷疑他選擇了后者。

另一個由大數扮演主要角色的故事同樣來自印度，它與“世界末日”問題有關。喜歡數學的歷史學家W. W. R．鮑爾（W. W. R. Ball）講述了下面的故事：

貝那拉斯大神殿穹頂下方是世界中心，那里有一塊銅板，上面固定著三個鉆石針柱，每個針柱高一腕尺（1腕尺約為20英寸），粗細與蜜蜂的身體相同。在創造這些針柱時，上帝在其中一根針柱上放置了64個純金圓盤，最大的圓盤放在銅板上，接下來的圓盤越來越小，直到頂端的圓盤。這就是梵天塔。值班僧侶日夜不停地將圓盤從一根針柱移到另一根針柱上。根據固定不變的梵天法則，僧侶一次只能移動一個圓盤，而且永遠不能讓小圓盤位于大圓盤下方。當所有64個圓盤按照這種方式從上帝最初放置的針柱轉移到另一根針柱上時，梵天塔、廟宇和婆羅門都會化為塵土，世界也會在霹靂聲中消失。

圖3展示了故事中的情景，但是圖中的圓盤數量沒有畫夠。你可以用紙板圓盤代替印度傳說中的黃金圓盤，用長鐵釘代替鉆石針柱，親自制作一個謎題玩具。你不難找到移動圓盤的一般規則。當你找到這個規則時，你會發現，轉移每個圓盤所需要的移動次數是前一個圓盤的兩倍。第一個圓盤只需要移動一次，但是接下來每個圓盤的移動次數會以幾何級數增長。當第64個圓盤完成轉移時，你的移動次數將與西薩·本·達希爾索要的麥粒數量一樣多！注2

注2如果你只有七個圓盤，你需要移動的次數是

1+21+22+23+… 或者

27-1=2×2×2×2×2×2×2-1=127.

如果你在不犯錯的情況下迅速移動圓盤，完成這項任務需要大約一個小時。對于64個圓盤，需要移動的總次數是

264-1=18,446,744,073,709,551,615

這與西薩·本·達希爾索要的麥粒數量相同。

將梵天塔的所有64張圓盤從一根針柱轉移到另一根針柱需要多長時間？假設僧侶們夜以繼日地工作，沒有節假日休息，每秒鐘移動一次。一年大約有31,558,000秒，因此完成這項工作需要58萬億年多一點。

我們可以將這個純屬臆測的宇宙壽命預測與現代科學的預測進行比較。根據目前關于宇宙演化的理論，恒星、太陽以及包括地球在內的行星是在大約3,000,000,000年前由沒有形狀的物質形成的。我們還知道，為太陽和其他恒星提供能源的“原子燃料”還可以持續10,000,000,000或15,000,000,000年（見“創造之日”一章）。因此，宇宙的總壽命一定小于20,000,000,000年，它并沒有印度傳說預測的58萬億年那么長。不過，這畢竟只是一個傳說！

著名的“打印行問題”中出現的數可能是文獻中提到過的最大的數。假設我們制造了一臺印刷機，可以一行接一行地連續打印，并且可以自動為每一行選擇字母和其他打印符號的不同組合。這種機器由許多不同的圓盤組成，每個圓盤的邊緣排滿了字母和符號。圓盤之間的齒輪機關與汽車里程表上的數字圓盤相同。如果一個圓盤轉滿一圈，旁邊的圓盤就會前進一位。圓盤每移動一次，來自滾筒的紙張就會朝著打印機自動前進一次。制造這種自動印刷機不會有太大困難。圖4是這種印刷機的示意圖。

讓我們啟動機器，檢查由它不斷打印出來的一行行文字。大多數的打印行沒有任何意義。它們看上去是這樣的：

“aaaaaaaaaaa...”

或者

“boobooboobooboo...”

或者

“zawkporpkosscilm...”

不過，由于這臺機器可以打印出字母和符號的所有可能組合，因此我們可以在毫無意義的垃圾之中找到各種有意義的句子。當然，許多句子是沒有用的，比如：

“horse has six legs and...”（馬有六條腿）

“I like apples cooked in terpentin...”（我喜歡松節油炒蘋果）

不過，你也可以在查找中發現莎士比亞寫下的每一行文字，包括被他丟進垃圾筒的文字！

實際上，這種自動印刷機可以打印出人類自從學會書寫以來寫出的一切事物：每一行散文和詩歌，報紙上的每一篇社論和廣告，每一本沉悶的科學專著，每一封情書，每一張寫給送奶工的便條……

此外，這臺機器還可以打印出人類在未來幾個世紀將會打印出的一切。在圓筒旋轉出的紙張上，我們可以找到30世紀發表的詩歌、未來的科學發現、美國第500屆國會上的發言以及2344年的行星內部交通事故報告。你會發現人類目前從未寫過的一頁頁短篇和長篇小說。在地下室里擁有這種機器的出版商只需要從一堆垃圾中選擇和編輯優秀的段落——這也是他們目前正在做的事情。

為什么這種想法不能變成現實？

讓我們數一數這臺機器為了呈現字母和其他打印符號的所有組合需要打印的行數。

英文字母表中有26個字母。此外，還有十個數字（0,1,2, …, 9）和14個常用符號（空格、句號、逗號、冒號、分號、問號、感嘆號、破折號、連字符、引號、撇號、小括號、中括號、大括號），共50個符號。讓我們假設印刷機有65個輪子，對應一行文字通常包含的65個位置。一個打印行可以始于任何符號，因此第一個位置有50種可能性。對于其中的每一種可能性，打印行的第二個位置都有50種可能性。也就是說，兩個位置共有50×50=2500種可能性。對于前兩個字符的每一種給定組合，我們可以在第三個位置選擇50種符號，依此類推。整個一行可能的排列數量可以表示成：

即

5065

其數量級為

10110

為了感受這個數有多大，假設宇宙中的每個原子代表一臺單獨的印刷機。也就是說，我們有3×1074臺同時工作的機器。假設所有這些機器從宇宙誕生時起一直在連續工作，已經工作了30億年，即1017秒。假設它們以原子的振動速度打印文字，即每秒1015行。到目前為止，它們已經打印了大約

3×1074×1017×1015=3×10106

行——只占所需總數的大約三千分之一。

而且，對于所有這些自動打印出來的材料來說，任何選擇都需要花費很長的時間。

 

如何計數無窮

 

我們在前一節討論的是數，其中許多數非常大。雖然西薩·本索要的麥粒數量十分巨大，幾乎令人難以置信，但是這些數仍然是有限的。只要有足夠的時間，你就可以將它們寫到最后一位。

不過，有一些真正具有無窮性的數。不管我們花費多少時間，我們寫下的數都沒有這些數大。例如，“所有數的數量”顯然是無窮的，“一條線上所有幾何點的數量”也是如此。除了無窮性，這些數還有其他可以討論的地方嗎？比如說，我們能否比較兩個不同的無窮，看看哪一個“更大”？

如果你問“所有數的數量是否大于或小于一條線上所有點的數量”，這個問題是否有意義？著名數學家格奧爾格·康托（Georg Cantor）首先對這類看似荒誕的問題進行了思考。康托是名副其實的“無窮算術”之父。

要想談論無窮的大小，我們需要對無法命名且無法書寫的數進行比較。我們就像霍屯督人一樣，希望知道自己的財寶箱里有更多的玻璃珠還是更多的銅幣。不過，你應該記得，霍屯督人只能數到三。他是否會因此而放棄對于玻璃珠和銅幣數量的比較呢？答案是否定的。如果他足夠聰明，他可以一件一件地比較玻璃珠和銅幣，從而得到答案。他可以把一個玻璃珠放在一個銅幣旁邊，把另一個玻璃珠放在另一個銅幣旁邊，依此類推……如果玻璃珠用光了，銅幣還剩下一些，他就會知道他的銅幣多于玻璃珠。如果銅幣用光了，玻璃珠還剩下一些，他就會知道他的玻璃珠多于銅幣。如果二者完全匹配，他就會知道他的玻璃珠和銅幣一樣多。

康托在比較兩種無窮時提出了完全相同的方法：如果我們可以將兩個無窮集合中的對象進行配對，使一個無窮集合中的每個對象與另一個無窮集合中的每個對象匹配，而且兩個集合中都沒有剩余對象，那么兩種無窮就是相等的。如果這種安排無法實現，一個集合中剩下一些沒有配對的對象，我們說這個集合中對象的無窮多于或強于另一個集合中對象的無窮。

這顯然是比較無窮數量最合理的規則。事實上，它也是唯一可能的規則。不過，當我們真正開始使用它時，我們必須做好吃驚的心理準備。以所有偶數的無窮和所有奇數的無窮為例。你當然會本能地認為，偶數的數量和奇數相同。而且，這完全符合上述規則，因為你可以這樣安排它們的一一對應：

這個表格中的每個奇數對應一個偶數，每個偶數對應一個奇數。因此，偶數的無窮等于奇數的無窮。這看上去非常簡單和自然！

不過，請稍等。你覺得包括奇數和偶數在內的所有數的數量更大，還是偶數的數量更大？你當然會說所有數的數量更大，因為它不僅含有所有偶數，而且含有所有奇數。不過，這只是你的印象。為了得到正確答案，你必須用上述規則比較兩種無窮。當你使用這種規則時，你會吃驚地發現，你的印象是錯誤的。實際上，下表列出了所有數與偶數的一一對應：

根據比較無窮的規則，我們必須承認，偶數的無窮與所有數的無窮一樣大。這聽去當然很荒謬，因為偶數只是所有數的一部分。不過，我們必須記住，我們現在處理的是無窮數，我們必須做好面對不同性質的準備。

實際上，在無窮的世界里，部分可能等于整體！德國著名數學家戴維·希爾伯特（David Hilbert）的一個故事也許最能說明這一點。據說，在關于無窮的講座中，他如此講述了無窮數的奇怪性質：

 

讓我們想象一座擁有有限房間的酒店，假設所有房間住滿了人。一位新的顧客來到酒店，要求提供房間。‘對不起——店主說——所有房間都住了人。’現在，讓我們想象一座擁有無窮個房間的酒店，所有房間住滿了人。一位新的顧客來到這座酒店，要求提供房間。

“當然可以！”——店主叫道。他讓之前住在1號房的人搬到2號房，2號房的人搬到3號房，3號房的人搬到4號房，依此類推……這種調動使1號房空了下來，新的顧客住進了1號房。

現在，讓我們想象一座擁有無窮個房間的酒店，所有房間住滿了人。無窮個新顧客來到酒店，要求提供房間。

“當然可以，先生們，”店主說，“請稍等。”

他讓1號房的住戶搬到2號房，2號房的住戶搬到4號房，3號房的住戶搬到6號房，依此類推……

現在，所有奇數號房間都空了，無窮個新顧客可以輕松地入住酒店了。

 

人們恐怕也很難想象希爾伯特描述的情況。不過，這個例子清

晰表明，在處理無窮數時，我們會遇到與正常算術完全不同的性質。

根據康托比較兩種無窮的規則，我們還可以證明，像和這種普通分數的數量與所有整數的數量相同。實際上，我們可以根據下面的規則將所有普通分數排成一行：首先寫下分子和分母之和等于2的分數，這樣的分數只有一個，即；接著，寫下分子和分母之和等于3的分數：和；接著，寫下分子分母之和等于4的分數：,,……依此類推。通過這種程序，我們可以得到一個無窮的分數序列，其中包含了你能想到的每一個分數（圖5）。現在，在這個序列上方寫下整數序列，你就得到了分數無窮和整數無窮的一一對應。所以，二者的數量是相同的！

你可能會說，“這很好，但是這難道不意味著所有無窮全都相等嗎？如果是這樣，比較它們又有什么用呢？”

不，事實并非如此。你很容易找到比所有整數或所有算術分數的無窮更大的無窮。

實際上，如果我們考察本章之前提出的一條線上的點數與所有整數數量的比較問題，我們就會發現，這兩種無窮是不同的。一條線上的點數比整數或分數的數量多得多。為了證明這種說法，讓我們試著在一條線上的點與整數序列之間建立一一對應關系。假設這條線長1英寸。

線段上的每個點可以用它與線段一端的距離來表示。這個距離可以寫成無限小數的形式，比如0.7350624780056……或者0.38250375632……所以，我們需要比較所有整數的數量與所有可能存在的無限小數的數量。那么，上面給出的無限小數與和這樣的普通分數有什么區別呢？

你必須回憶起算術課上的知識：每個普通分數都可以轉換成無限循環小數。例如，23=0.66666……=0（. 6）,=0.4285714285714285714……=0.（428571）。我們剛剛已經證明，所有普通分數的數量等于所有整數的數量。所以，所有循環小數的數量一定也等于所有整數的數量。不過，一條線上的點不一定能表示成循環小數。在大多數情況下，我們得到的無限小數中的數位沒有任何周期性。我們很容易證明，在這種情況下，你無法建立起一一對應關系。

假設某人宣稱做出了這種排列，它看上去是這樣的：

當然，由于我們無法寫出無窮個具有無窮數位的數，因此上述說法意味著表格作者在制作表格時使用了某種普通規則（類似于我們排列普通分數時使用的規則），這個規則確保了你能想到的每一個小數遲早都會出現在表格中。

不難證明，任何此類說法都是不合理的，因為我們總是可以寫出一個不存在于這個無窮表格中的無限小數。怎樣寫呢？哦，這很簡單。你只需要讓這個小數的第一位與表格中第一個小數的第一位不同，讓這個小數的第二位與表格中第二個小數的第二位不同，依此類推。你得到的數應該是這樣的：

不管你在表格中查找多少行，你都找不到這個數。實際上，如果表格作者告訴你，你寫出的這個小數在表格中排在第137位（或者其他任意位置），你可以立即回答他：“不，這兩個小數是不同的，因為你那個小數的第137位與我想出的小數的第137位不一樣。”

因此，你無法為一條線上的點與整數建立一一對應關系，這意味著一條線上的點的無窮大于或強于所有整數或分數的無窮。

我們討論的是“1英寸長”的線段上的點。不難證明，根據我們的“無窮算術”規則，同樣的結論適用于任意長度的線段。實際上，1英寸、1英尺和1英里長的線段上的點數是相同的。為了證明這一點，你只需要看一看圖6，這張圖比較了AB和AC兩條長度不同的線段上的點數。為了在兩條線段的點之間建立一一對應，我們在AB上的每一個點上畫了一條與BC平行的線，并將交點成對標記，比如D和D′, E和E′, F和F′，等等。AB上的每個點在AC上有一個對應點，反之亦然。因此，根據我們的規則，二者的無窮是相等的。

更加驚人的無窮分析結果是：一個平面上所有點的數量等于一條線上所有點的數量。為證明這一點，讓我們考慮1英寸長的線段AB上的點以及正方形CDEF內部的點（圖7）。

假設線段上某個點的位置由某個數指定，比如0.75120386……。我們可以選擇這個數的奇數數位和偶數數位，將其組合在一起，構造出兩個不同的數。我們可以得到

0.7108……

和

0.5236……

現在，在正方形的橫縱兩邊上分別度量出這兩個數代表的長度，將其對應于正方形內部的一個點，將這個點稱為之前線段上那個點的“對應點”。反過來，如果正方形中某個點的位置可以由

0.4835……

和

0.9907……

來描述，我們可以將這兩個數合并，得到線段上“對應點”的位置：

0.49893057……

顯然，這個做法可以在兩組點之間建立一一對應關系。線段上的每個點在正方形中都有對應點，正方形中的每個點在線段上都有對應點，而且沒有未匹配的點。因此，根據康托的標準，正方形中所有點的無窮等于線段上所有點的無窮。

類似地，不難證明，正方體中所有點的無窮等于正方形或線段內部所有點的無窮。在證明時，我們只需要將原始小數分為三部分，用得到的三個小數定義正方體中“對應點”的位置。與兩條不同長度的線段類似，正方形或正方體內部的點數與它們的大小無關。

雖然所有幾何點的數量大于所有整數和分數的數量，但它并不是數學家已知的最大的數。實際上，人們發現，包括形狀最為罕見的曲線在內，所有可能曲線的數量大于所有幾何點的數量，因而需要由無窮序列中的第三個數（即后文的?2）來描述。

“無窮算術”的創造者格奧爾格·康托用希伯來字母?（阿列夫）來表示無窮數，用右下角的小數字表示無窮級別。至此，數的序列（包括無窮數！）可以寫成：

1,2,3,4,5, …, ?1, ?2, ?3, …

我們會說“一條線上有?1個點”或者“有?2條不同的曲線”，就像我們說“世界有七大洲”或者“一副牌中的52張牌”一樣。

在結束無窮數的討論之前，我們要指出，前幾個阿列夫數足以

0.735106822548312……

得到

0.71853……

0.30241……

0.56282……

囊括人類能夠想到的任意集合。我們知道，?表示所有整數的數量，?1表示所有幾何點的數量，?2表示所有曲線的數量，但是還沒有人想到應該用?3描述的明確的無窮對象集合。前三個無窮數似乎足以計數我們能夠想到的任何事物。此時，我們與之前提到的霍屯督人處于完全相反的狀態，因為他們可能有許多兒子，但卻無法計數超過三的數字！