第3章 一種高效的弧長(zhǎng)參數(shù)化路徑系統(tǒng)

作者：王清源

摘要

2015年在某跑酷類游戲中想要實(shí)現(xiàn)一些創(chuàng)意玩法，需要一個(gè)路徑系統(tǒng)，人物的移動(dòng)靠路徑引導(dǎo)，并且在路徑上有簡(jiǎn)單的物理運(yùn)動(dòng)（走、跑、跳和碰撞反饋）。當(dāng)時(shí)考察了一系列Unity與路徑相關(guān)的插件，它們均不能滿足需求。特別是弧長(zhǎng)參數(shù)化的特性，即令曲線的參數(shù)t與曲線的長(zhǎng)度L為線性關(guān)系，從而將參數(shù)t的線性變化映射到長(zhǎng)度的線性變化上，實(shí)現(xiàn)曲線上的勻線速度運(yùn)動(dòng)，這一點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)路徑上物理運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)[1]。個(gè)別插件實(shí)現(xiàn)了類似的功能，但是其原理為暴力的線性插值，根據(jù)設(shè)定的精度將曲線拆成折線段組成的查找表，需要序列化和緩存大量的數(shù)據(jù)，對(duì)內(nèi)存和包量并不友好。

該路徑系統(tǒng)的主要流程如下：

（1）使用最小二乘法，用多項(xiàng)式擬合路徑曲線的長(zhǎng)度函數(shù)的反函數(shù)，利用擬合的反函數(shù)實(shí)現(xiàn)弧長(zhǎng)參數(shù)化，這樣只需要保存少數(shù)的多項(xiàng)式系數(shù)，運(yùn)行時(shí)對(duì)多項(xiàng)式求值即可，無(wú)須保存一個(gè)巨大的查找表和進(jìn)行查表操作，而可以直接求解。

（2）根據(jù)實(shí)際需求，沒(méi)有使用常見(jiàn)的三次多項(xiàng)式曲線，而是構(gòu)造了一條二次多項(xiàng)式樣條曲線，目的是簡(jiǎn)化各種曲線的求交計(jì)算，同時(shí)維持C1連續(xù)。

（3）在弧長(zhǎng)參數(shù)化的基礎(chǔ)上，把普通的運(yùn)動(dòng)計(jì)算映射到曲線上，以曲線的局部切空間標(biāo)架為基準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)了曲線上的簡(jiǎn)單物理運(yùn)動(dòng)，在曲線上也有可信的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)。