第2章 三角學回顧

學習微積分必須要了解三角學．說實話，我們一開始不會碰到很多有關三角學的內容，但當它們出現的時候，會讓我們感覺不容易．因此，我們不妨針對三角學最重要的一些方面進行一次全面的回顧：

· 用弧度度量的角與三角函數的基本知識；

· 實軸上的三角函數（不只是介于0?和90?的角）；

· 三角函數的圖像；

· 三角恒等式。

準備開始回憶吧……

2.1 基本知識

首先要回憶的是弧度的概念．旋轉一周，我們說成2π弧度而不是360?．這似乎有點古怪，但這里也有一個理由，那就是半徑為1個單位的圓的周長是2π個單位．事實上，這個圓的一個扇形的弧長就是這個扇形的圓心角的弧度，如圖2-1所示。

上圖表示了一般情況，但要緊的還是一些常用角的度和弧度表達．首先，你應該確實掌握，90?和π/2弧度是一樣的．類似地，180?和π弧度是一樣的，270?和3π/2弧度是一樣的．一旦掌握了這幾個角，就試著將圖2-2中所有的角在度與弧度之間來回轉換吧。

更一般地，如果需要的話，也可以使用公式

用弧度度量的角=×用度度量的角。

例如，要想知道5π/12弧度是多少度，可求解

你會發現5π/12弧度就是（180/π）×（5π/12）=75?．事實上，可以將弧度和度的轉換看成是一種單位的轉換，如英里和公里的轉換一樣．轉換因數就是π弧度等于180?.

到目前為止，我們僅僅研究了角，現在來看看三角函數吧．顯然，你必須知道如何由三角形來定義三角函數．假設我們有一個直角三角形，除直角外的一角被記為θ，如圖2-3所示．那么，基本公式為

當然，如果變換了角θ，那么也必須變換其對邊和鄰邊，如圖2-4所示．毫不奇怪，對邊就是對著角θ的邊，而鄰邊則是挨著角θ的邊．不過，斜邊始終保持不變：它是最長的那條邊，并始終對著直角。

我們也會用到余割、正割和余切這些倒數函數，它們的定義分別為

如果你有計劃要參加一次微積分的考試（或者即便你沒有），我的一點建議是：請熟記常用角0, π/6, π/4, π/3, π/2的三角函數值．例如，你能不假思索化簡sin（π/3）嗎？tan（π/4）呢？如果你不能，那么最好的情況下，你通過畫三角形來尋找答案，從而白白浪費時間；而最壞的情況下，由于總是沒有化簡你的回答，你白白丟掉分數．解決的方法就是要熟記下表。

表中的星號表示tan（π/2）無定義．事實上，正切函數在π/2處有一條垂直漸近線（從圖像上看會很清楚，我們將在2.3節對此進行研究）．無論如何，你必須能夠熟練地說出該表中的任意一項，而且來回都要掌握！這意味著你必須能夠回答兩類問題．這兩類問題的例子是：

（1）sin（π/3）是什么？（使用該表，答案是.）

（2）介于0到π/2，其正弦值為的角是什么？（顯然，答案是π/3.）當然，你必須能夠回答該表中的每一項所對應的這兩類問題．就算我求大家了，請背熟這張表！數學不是死記硬背，但有些內容是值得記憶的，而這張表一定位列其中．因此，無論是制作記憶卡片，讓你的朋友來測驗你，還是每天抽一分鐘記憶，不管用什么辦法，請背熟這張表。

2.2 擴展三角函數定義域

上表（你背熟了嗎？）僅僅包括介于0到π/2的一些角．但事實上，我們可以取任意角的正弦或者余弦，哪怕這個角是負的．對于正切函數，我們則不得不小心些．例如，上面我們看到的tan（π/2）是無定義的．盡管如此，我們還是能夠對幾乎每一個角取正切。

讓我們首先來看看介于0到2π（記住，2π就是360?）的角吧．假設你想要計算sin（θ）（或cos（θ）或tan（θ）），其中θ是介于0到π/2的角．為了看得更清楚，我們先來畫一個帶有一點古怪標記的坐標平面，如圖2-5所示。

注意到坐標軸將平面分成了四個象限，標記為I到IV，且標記的走向為逆時針方向．這些象限分別被稱為第一象限、第二象限、第三象限和第四象限．下一步是要畫一條始于原點的射線（就是半直線）．那么究竟是哪一條射線呢？這取決于角θ.來想象一下，你自己站在原點上，面向x軸的正半軸．現在沿著逆時針方向轉動角θ，然后你沿著一條直線向前走．你的足跡就是你要找的那條射線了。

現在，圖2-5（以及圖2-2）中的其他標記就說得通了．事實上，如果你轉動了角π/2，你將正面向上并且你的足跡將是y軸的正半軸．如果你轉動了角π，你將得到x軸的負半軸．如果你轉動了角3π/2，你將得到y軸的負半軸．最后，如果你轉動了角2π，那么就又會回到了你起始的那個位置，即面向x軸的正半軸．這就好像你根本沒轉動過！這就是為什么圖中會有0≡2π．對于角度而言，0和2π是等價的。

好了，讓我們取某個角θ并以恰當的方式畫出它．或許它就在第三象限的某個地方，如圖2-6所示。

注意到我們將這條射線標記為θ，而不是這個角本身．不管怎樣，現在在這條射線上選取某個點并從該點畫一條垂線至x軸．我們對三個量感興趣：該點的x坐標和y坐標（當然它們被稱為x和y），以及該點到原點的距離，我們稱為r．注意，x和y可能會同時為負（事實上，在圖2-7中它們均為負）．然而，r總是正的，因為它是距離．事實上，根據畢達哥拉斯定理（即勾股定理），不管x和y是正還是負，我們總會有.（平方會消除任何負號．）

有了這三個量，我們就可以定義如下的三個三角函數了：

將量x、y和r分別解釋為鄰邊、對邊和斜邊，這些函數恰好就是2.1節中的固定公式了．不過等一下，如果你在那條射線上選取了另外一個點，那會是什么樣子呢？這不要緊，因為你得到的新的三角形和原來的那個三角形是相似的，而上述比值不會受到任何影響．事實上，為方便起見，我們常常假設r=1，這樣得到的點（x,y）會落在所謂的單位圓（就是以原點為中心，半徑為1的圓）上。

現在來看一個例子．假設，我們想求sin（7π/6）．首先，7π/6會在第幾象限呢？我們需要決定7π/6會出現在列表0, π/2, π,3π/2,2π的哪個地方．事實上，7/6大于1但小于3/2，故7π/6在π和3π/2之間．事實上，圖2-8看起來很像前面的例子。

因此，角7π/6在第三象限．然后，我們選取了該射線上的一點，該點至原點的距離r=1，并從該點至x軸做了一條垂線．由前述公式可知，sin（θ）=y/r=y（因為r=1），因此，我們還是要求出y．好吧，那個小角，就是在7π/6處的射線和x軸的負半軸（其為π）之間的角一定是這兩個角的差，即π/6．這個小角被稱為參考角．一般來說，θ的參考角是在表示角θ的射線和x軸之間的最小的角，它必定介于0到π/2．在我們的例子中，到x軸的最短路徑是向上，所以參考角如圖2-9所示．因此，在那個小三角形中，我們知道r=1，以及角為π/6．似乎答案就是y=sin（π/6）=1/2，但這是錯的！由于在x軸的下方，y一定為負值．也就是說，y=-1/2．因為sin（θ）=y，我們也就證明了sin（7π/6）=-1/2．對于余弦來說，也可以重復這個過程，求出x=-cos（π/6）=．畢竟，由于點（x, y）在y軸的左側，因此x必須為負．這樣就證明了，并且識別出點（x,y）即為點.

2.2.1 ASTC方法

上例中的關鍵是將sin（7π/6）和sin（π/6）聯系起來，其中π/6是7π/6的參考角．事實上，并不難看出任意角的正弦就是其參考角正弦的正值或負值！這就使問題縮小到兩種可能性上，而且沒有必要再糾纏于x, y或r如此這般麻煩．因此，在我們的例子中，只需要求出7π/6的參考角，即π/6；這就會立即可知sin（7π/6）等于sin（π/6）或-sin（π/6），而我們只需從中選出正確的結果．我們發現，結果是負的那個，因為y是負的。

事實上，在第三或第四象限中的任意角的正弦必定為負，因為那里的y為負．類似地，在第二或第三象限中的任意角的余弦必定為負，因為那里的x為負．正切是比值y/x，它在第二和第四象限為負（由于x和y中的一個為負，但不全為負）,而在第一和第三象限為正。

我們來總結一下這些發現．首先，所有三個函數在第一象限（I）中均為正．在第二象限（II）中，只有正弦為正，其他兩個函數均為負．在第三象限（III）中，只有正切為正，其他兩個函數均為負．最后，在第四象限（IV）中，只有余弦為正，其他兩個函數均為負．具體如圖2-10所示。

事實上，你只需要記住圖表中的字母ASTC就行了．它們會告訴你在那個象限中哪個函數為正．“A”代表“全部”，意味著所有的函數在第一象限均為正．顯然，其余的字母分別代表正弦、正切和余弦．在我們的例子中，7π/6在第三象限，所以只有正切函數在那里為正．特別地，正弦函數為負，又由于我們已經把sin（7π/6）的可能取值縮小到1/2或-1/2了，因此結果一定是負的那個，即sin（7π/6）=-1/2.

ASTC圖唯一的問題在于，它沒有告訴我們該如何處理角0, π/2, π或3π/2,因為它們都位于坐標軸上．這種情況下，最好是先忘記所有ASTC的內容，然后以恰當的方式畫一個y=sin（x）（或cos（x），或tan（x））的圖像，并且從圖像中讀取數值．我們將在2.3節對此進行研究。

以下是用ASTC方法來求介于0到2π的角的三角函數值的總結。

（1）畫出象限圖，確定在該圖中你感興趣的角在哪里，然后在圖中標出該角。

（2）如果你想要的角在x軸或y軸上（即沒有在任何象限中），那么就畫出三角函數的圖像，從圖像中讀取數值（2.3節有一些例子）.

（3）否則，找出在代表我們想要的那個角的射線和x軸之間最小的角，這個角被稱為參考角。

（4）如果可以，使用那張重要的表來求出參考角的三角函數值．那就是你需要的答案，除了你可能還需要在得到的值前面添一個負號。

（5）使用ASTC圖來決定你是否需要添一個負號。

來看一些例子．如何求cos（7π/4）和tan（9π/13）呢？我們一個一個地看．對于cos（7π/4），我們注意到7/4介于3/2和2之間，故該角必在第四象限，如圖2-11所示。

為了求出參考角，注意到我們必須向上走到2π（注意！不是到0），因此，參考角就是2π和7π/4的差，即（2π-7π/4），或簡化為π/4．所以cos（7π/4）是正的或負的cos（π/4）．根據表，cos（π/4）是．但到底是正的還是負的呢？由ASTC圖可知，在第四象限中余弦為正，故結果為正的那個：cos（7π/4）=.

現在來看一下tan（9π/13）．我們發現9/13介于1/2和1之間，故角9π/13在第二象限，如圖2-12所示。

這一次，我們需要走到π以到達x軸，故參考角就是π和9π/13的差，即（π-9π/13），或簡化為4π/13．這樣，我們知道tan（9π/13）是正的或負的tan（4π/13）.哎呀，可是數4π/13沒有在我們的表里面，因此不能化簡tan（4π/13）．可我們還是需要確定它是正的還是負的．那好，ASTC圖顯示，在第二象限中只有正弦為正，故正切一定為負，于是tan（9π/13）=-tan（4π/13）．這就是不使用近似可以得到的最簡形式．在求解微積分問題的時候，我不建議取近似結果，除非題目中有明確要求．一個常見的誤解是，當你計算如同-tan（4π/13）這樣的問題時，由計算器計算出來的數就是正確答案．其實，那只是一個近似！所以你不應該寫

-tan（4π/13）=-1.448750113,

因為它不正確．就應該寫-tan（4π/13），除非有特別的要求，讓做近似．在那種情況下，使用約等號和更少的小數位數，并恰當化整近似（除非要求保留更多小數位數）：

-tan（4π/13）≈-1.449.

順便說一下，你應該少用計算器．事實上，一些大學甚至不允許在考試中使用計算器！因此，你應該盡量避免使用計算器。

2.2.2 [0, 2π]以外的三角函數

還有一個問題，就是如何取大于2π或小于0的角的三角函數．事實上，這并不太難，簡單地加上或減去2π的倍數，直到你得到的角在0和2π之間．你看，它并不是在2π就完了．它是一直在旋轉．例如，如果我讓你站在一點面向正東，然后逆時針方向旋轉450?，一種自然的做法是，你旋轉一整周，然后再旋轉90?．現在你應該是面向正北．當然，另一種不那么頭暈目眩的做法是，你只逆時針方向旋轉90?,而你面向的是同樣的方向．因此，450?和90?是等價的角．當然，這對于弧度來說也一樣．這種情況下，5π/2弧度和π/2弧度是等價的角．但為什么要止步于旋轉一周呢？9π/2弧度又如何？這和旋轉2π兩次（這樣我們得到4π），然后再旋轉π/2是一樣的．因此，在得到最終的π/2之前，我們做了兩周徒勞的旋轉．旋轉周數無關緊要，我們再次得到9π/2和π/2等價．這個過程可以被無限地擴展下去，以得到等價于π/2的角的一個家族：

當然，這其中的每一個角都比前一個角多一個整周旋轉，即2π．但這仍然還沒算完．如果你做了所有這些逆時針旋轉，并感到頭暈目眩，或許你也會要求做一個或兩個順時針旋轉來緩和一下．這就相當于一個負角．特別地，如果你面向東，我讓你逆時針旋轉-270?，對我這個怪異要求唯一合理的解釋就是順時針旋轉270?（或3π/2）．顯然，你最終仍然會面向正北，因此，-270?和90?一定是等價的．確實，我們將360?加到-270?上就會得到90?．使用弧度，我們則看到，-3π/2和π/2是等價的角．另外，我們可以要求更多負的（順時針方向）整周旋轉．最后，以下就是等價于π/2的角的完全的集合：

這個序列沒有開端也沒有結束．當我說它是“完全的”時，我用前后兩頭的省略號代表了無窮多個角．為了避免這些省略號，我們可以使用集合符號{π/2+2πn}，其中n可以取所有整數。

來看一下是否可以應用它吧．如何求sec（15π/4）呢？首先，注意到如果我們能夠求出cos（15π/4），所要做的就是取其倒數以得到sec（15π/4）．因此，讓我們先求cos（15π/4）．由于15/4大于2，讓我們先試著消去2．這樣，15/4-2=7/4，現在它介于0和2之間，這看上去很有希望了．代入π，我們看到cos（15π 4）和cos（7π/4）是一樣的，并且我們已經求出其結果為．因此，．取其倒數，我們發現sec（15π/4）就是.

最后，sin（-5π/6）又如何呢？有很多方法來求解此問題，但上面提到的方法是試著將2π的倍數加到-5π/6上，直到結果是介于0到2π的．事實上，2π加上-5π/6得7π/6，因此，sin（-5 /6）=sin（7π/6），后者我們已經知道等于-1/2．另外，我們也可以直接畫圖2-13.

現在，你必須找出圖中的參考角．不難看出，它是π/6，然后一如前述。

2.3 三角函數的圖像

記住正弦、余弦和正切函數的圖像會非常有用．這些函數都是周期的，這意味著，它們從左到右反復地重復自己．例如，我們考慮y=sin（x）．從0到2π的圖像看上去如圖2-14所示。

你應該做到能夠不假思索就畫出這個圖像，包括0, π/2, π,3π/2和2π的位置．由于sin（x）以2π為單位重復（我們說sin（x）是x的周期函數，其周期為2π），通過重復該模式，我們可以對圖像進行擴展，得到圖2-15.

從圖像中讀值，可以看到sin（3π/2）=-1, sin（-π）=0．正如之前注意到的，你應該這樣去處理π/2的倍數的問題，而不用再找參考角那么麻煩了．另一個值得注意的是，該圖像關于原點有180?點對稱性，這意味著，sin（x）是x的奇函數．（我們在1.4節中分析過奇偶函數．）

y=cos（x）的圖像和y=sin（x）的圖像類似．當x在從0到2π上變化時，它看起來就像圖2-16.

現在，利用cos（x）是周期函數及其周期為2π這一事實，可對該圖像進行擴展，得到圖2-17.

例如，如果你想要求cos（π），只需從圖像上讀取，你會看到結果是-1．此外，注意到該圖像關于y軸有鏡面對稱性．這說明，cos（x）是x的偶函數。

現在，y =tan（x）略有不同．最好是先畫出x介于-π/2到π/2的圖像，如圖2-18所示。

與正弦函數和余弦函數不同的是，正切函數有垂直漸近線．此外，它的周期是π，而不是2π．因此，上述圖樣可以被重復以便得到y =tan（x）的全部圖像，如圖2-19所示。

很明顯，當x是π/2的奇數倍數時，y=tan（x）有垂直漸近線（因而此處是無定義的）．此外，圖像的對稱性表明，tan（x）是x的奇函數。

y =sec（x）、y =csc（x）及y =cot（x）的函數圖像也值得我們去學習，它們分別如圖2-20、圖2-21及圖2-22所示。

從它們的圖像中，可以得到所有六個基本三角函數的對稱性的性質，這些也都值得學習。

因此，對于所有的實數x，我們有sin（-x）=-sin（x）, tan（-x）=-tan（x）, cos（-x）=cos（x）.

2.4 三角恒等式

三角函數間的關系用來十分方便．首先，注意到正切和余切可以由正弦和余弦來表示：

（有時，根據這些恒等式，用正弦和余弦來代替每一個正切和余切會有幫助，但這只是你被卡住時不得已而為之的下下策．）

所有三角恒等式中最重要的就是畢達哥拉斯定理了（用三角函數表示）,

這對于任意的x都成立．（為什么這是畢達哥拉斯定理呢？如果直角三角形的斜邊是1，其中一個角為x，自己驗證三角形的其他兩條邊長就是cos（x）和sin（x）.）

現在，讓這個等式兩邊同除以cos2（x）．你應該能夠得到以下結果：

該公式在微積分里也會經常出現．另外，你也可以將畢達哥拉斯定理等式兩邊同除以sin2（x），得到以下等式：

這個公式好像沒有其他公式出現得那么頻繁。

三角函數之間還有其他一些關系．你注意到了嗎？一些函數的名字是以音節“co”開頭的．這是“互余”（complementary）的簡稱．說兩個角互余，意味著它們的和是π/2（或90?）．可不是說它們相互恭維．好吧，不玩雙關了，事實是有以下一般關系：

三角函數（x）=co-三角函數.

特別地，有：

甚至當三角函數名中已經帶有一個“co”時，以上公式仍然適用；你只需要認識到，余角的余角就是原始的角！例如，co-co-sin事實上就是sin, co-co-tan事實上就是tan．基本上，這意味著我們還可以說：

最后，還有一組恒等式值得我們學習．這些恒等式涉及角的和與倍角公式．特別地，我們應該記住下列公式：

還應該記住，你可以切換所有的正號和負號，得到一些相關的公式：

sin（A-B）=sin（A）cos（B）-cos（A）sin（B）

cos（A-B）=cos（A）cos（B）+sin（A）sin（B）.

對于上述方框公式中的sin（A+B）和cos（A+B），令A=B=x，我們就會得到另一個有用的結果．很明顯，正弦公式是sin（2x）=2sin（x）cos（x）．但讓我們更仔細看一下余弦公式．它會變成cos（2x）=cos2（x）-sin2（x）；這本身沒錯，但更有用的是使用畢達哥拉斯定理sin2（x）+cos2（x）=1將cos（2x）表示成為2cos2（x）-1或1-2sin2（x）（自已驗證一下它們是成立的！）．綜上，倍角公式為：

那么如何用sin（x）和cos（x）來表示sin（4x）呢？我們可以將4x看作兩倍的2x，并使用正弦恒等式，寫作sin（4x）=2sin（2x）cos（2x）．然后應用兩個恒等式，得到

sin（4x）=2（2sin（x）cos（x））（2cos2（x）-1）=8sin（x）cos3（x）-4sin（x）cos（x）.

類似地，

cos（4x）=2cos2（2x）-1=2（2cos2（x）-1）2-1=8cos4（x）-8cos2（x）+1.

你不用記這后兩個公式；相反，你要確保理解了如何使用倍角公式來推導它們。

如果你能夠掌握本章涉及的所有三角學內容，就能夠很好地學習本書的剩余部分了．因此，抓緊時間消化這些知識吧．做一些例題，并確保你記住了那張很重要的表格和所有方框公式。