第1章函數、圖像和直線

不借助函數卻想去做微積分，這無疑會是你所能做的最無意義的事情之一．如果微積分也有其營養成分表，那么函數肯定會排在最前面，而且是占一定優勢．因此，本書的前兩章旨在讓你溫習函數的主要性質．本章包含對下列主題的回顧：

· 函數，其定義域、上域、值域和垂線檢驗；

· 反函數和水平線檢驗；

· 函數的復合；

· 奇函數與偶函數；

· 線性函數和多項式的圖像，以及對有理函數、指數函數和對數函數圖像的簡單回顧；

· 如何處理絕對值。

下一章會涉及三角函數．好啦，就讓我們開始吧，一起來回顧一下到底什么是函數。

1.1 函數

函數是將一個對象轉化為另一個對象的規則．起始對象稱為輸入，來自稱為定義域的集合．返回對象稱為輸出，來自稱為上域的集合。

來看一些函數的例子吧。

· 假設你寫出f（x）=x2，這就定義了一個函數f，它會將任何數變為自己的平方．由于你沒有說明其定義域或上域，我們不妨假設它們都屬于R，即所有實數的集合．這樣，你就可以將任何實數平方，并得到一個實數．例如，f將2變為4、將-1/2變為1/4，將1變為1．最后一個變換根本沒有什么變化，但這沒問題，因為轉變后的對象不需要有別于原始對象．當你寫出f（2）=4的時候，這實際上意味著f將2變為4．順便要說的是，f是一個變換規則，而f（x）是把這個變換規則應用于變量x后得到的結果．因此，說“f（x）是一個函數”是不正確的，應該說“f是一個函數”.

· 現在，令g（x）=x2，其定義域僅包含大于或等于零的數（這樣的數稱為非負的）．它看上去好像和函數f是一樣的，但它們實際不同，因為各自的定義域不同．例如，f（-1/2）=1/4，但g（-1/2）卻是沒有定義的．函數g會拒絕非其定義域中的一切．由于g和f有相同的規則，但g的定義域小于f的定義域，因而我們說g是由限制f的定義域產生的。

· 仍然令f（x）=x2,f（馬）會是什么呢？這顯然是無定義的，因為你不能平方一匹馬呀．另一方面，讓我們指定“h（x）=x的腿的數目”，其中h的定義域是所有動物的集合．這樣一來，我們就會得到h(馬)=4,h(螞蟻)=6,h(鮭魚)=0．因為動物腿的數目不會是負數或者分數，所以h的上域可以是所有非負整數的集合．順便問一下，h（2）會是什么呢？當然，這也是沒有定義的，因為2不在h的定義域中．“2”究竟會有幾條腿呢？這個問題實際上沒有任何意義．你或許也可以認為h(椅子)=4，因為多數椅子都有四條腿，但這也沒有意義，因為椅子不是動物，所以“椅子”不在h的定義域中．也就是說，h(椅子)是沒有定義的。

· 假設你有一條狗，它叫Junkster．可憐的Junkster不幸患有消化不良癥．它吃點東西，嚼一會兒，試圖消化食物，可每次都失敗，都會吐出來．Junkster將食物變成了……我們可以令“j（x）=Junkster吃x時嘔吐物的顏色”,其中j的定義域是Junkster所吃的食物的集合，其上域是所有顏色的集合．為了使之有效，我們必須認為如果Junkster吃了玉米面卷，它的嘔吐物始終是一種顏色（假設是紅色的吧）．如果有時候是紅色的，而有時候是綠色的，那就不太好了．一個函數必須給每一個有效的輸入指定唯一的輸出。

現在我們要來看看函數值域的概念．值域是所有可能的輸出所組成的集合．你可以認為函數轉變其定義域中的一切，每次轉變一個對象；轉變后的對象所組成的集合稱作值域．可能會有重復，但這也沒什么。

那么，為什么值域和上域不是一回事呢？值域實際上是上域的一個子集．上域是可能輸出的集合，而值域則是實際輸出的集合．下面給出上述函數的值域。

· 如果f（x）=x2，其定義域和上域均為R，那么其值域是非負數的集合．畢竟，平方一個數，其結果不可能是負數．那你又如何知道值域是所有的非負數呢？其實，如果平方每一個數，結果一定包括所有的非負數．例如，平方（或），結果都是2.

· 如果g（x）=x2，其定義域僅為非負數，但其上域仍是所有實數R，那么其值域還是非負數的集合．當平方每一個非負數時，結果仍然包括所有的非負數。

· 如果h（x）是動物x的腿的數目，那么其值域就是任何動物可能會有的腿的數目的集合．我可以想到有0、2、4、6和8條腿的動物，以及一些有更多條腿的小動物．如果你還想到了個別的像失去一條或多條腿的動物，那你也可以將1、3、5和7等其他可能的數加入其值域．不管怎樣，這個函數的值域并不是很清晰．要想了解真實的答案，你或許得是一位生物學家。

· 最后，如果j（x）是Junkster吃x時嘔吐物的顏色，那么其值域就會包含所有可能的嘔吐物的顏色．我很怕去想它們會是什么樣的，但或許亮藍色不在其中吧。

1.1.1 區間表示法

在本書剩余部分，函數總有上域R，并且其定義域總會盡可能和R差不多（除非另有說明）．因此，我們會經常涉及實軸的子集，尤其是像{x:2≤x<5}這樣的連通區間．像這樣寫出完整的集合有點兒煩，但總比說“介于2和5之間的所有數，包括2但不包括5”要強．使用區間表示法會讓我們做得更好。

我們約定，[a, b]是指從a到b端點間的所有實數，包括a和b．所以[a, b]指的是所有使得a≤x≤b成立的x的集合．例如，[2, 5]是所有介于2和5之間（包括2和5）的實數的集合．（它不僅僅包括2、3、4和5，不要忘記還有一大堆處于2和5之間的分數和無理數，比如5/2、和π.）像[a, b]這種形式表示的區間我們稱作閉區間。

如果你不想包括端點，把方括號變為圓括號就行了．所以（a, b）指的是介于a和b之間但不包括a和b的所有實數的集合．這樣，如果x在區間（a, b）中，我們就知道a<x<b．集合（2, 5）表示介于2和5之間但不包括2和5的所有實數的集合．像（a, b）這種形式表示的區間稱作開區間。

你也可以混和匹配：[a,b）指的是介于a和b之間、包括a但不包括b的所有實數的集合；（a,b]包括b，但不包括a．這些區間在一個端點處是閉的，而在另一個端點處是開的．有時候，像這樣的區間稱作半開區間．上述的{x:2≤x<5}就是一個例子，也可以寫成[2,5）.

還有一個有用的記號就是（a,∞），它是指大于a但不包括a的所有數；[a,∞）也一樣，只是它包括a．此外還有三個涉及-∞的可能性．總而言之，各種情況如下。

1.1.2 求定義域

有時候，函數的定義中包括了定義域．（例如，1.1節中的函數g就是如此．）然而在大多數情況下，定義域是沒有給出的．通常的慣例是，定義域包括實數集盡可能多的部分．例如其定義域就不可能是R中的所有實數，因為不可能得到一個負數的平方根．其定義域一定是[0,∞），就是大于或等于0的所有實數的集合。

好了，我們知道取負數的平方根會出問題．那么還有什么會把問題搞糟呢？以下是三種最常見的情況。

（1）分數的分母不能是零。

（2）不能取一個負數的平方根（或四次根，六次根，等等）.

（3）不能取一個負數或零的對數．（還記得對數函數嗎？若忘了，請看看第9章！）

或許你還記得tan（90?）也是一個問題，但這實際上是上述第一種情況的特例．你看，

tan（90?）之所以是無定義的，實際上是因為其隱藏的分母為零．這里還有一個例子：如果定義

那么f的定義域是什么呢？當然，為了使f（x）有意義，以下是我們必須要做的。

· 取（26-2x）的平方根，所以這個量必須是非負的．也就是說，26-2x≥ 0.這可以寫成x≤13.

· 取（x+8）的對數，所以這個量必須是正的．（注意對數和平方根的區別：可以取0的平方根，但不能取0的對數．）不管怎么說，我們需要x+8>0,所以x >-8．到現在為止，我們知道-8< x≤ 13，所以其定義域最多是（-8,13].

· 分母不能為0，這就是說（x-2）= 0且（x+19）= 0．換句話說，x= 2且x=-19．最后一個條件不是問題，因為我們已經知道x處于（-8,13]內，所以x不可能是-19．不過，我們確實應該把2去掉。

這樣就找到了其定義域是除了2以外的集合（-8, 13]．這個集合可以寫作（-8, 13]\{2}，這里的反斜杠表示“不包括”.

1.1.3 利用圖像求值域

讓我們來定義一個新的函數F，指定其定義域為[-2,1]，并且F（x）=x2在此定義域上．（記住，我們看到的任何函數的上域總是所有實數的集合．）同時又是對于所有的實數x, f（x）=x2．那么F和f是同一個函數嗎？回答是否定的，因為兩個函數的定義域不相同（盡管它們有相同的函數規則）．正如1.1節中的函數g，函數F是由限制f的定義域得到的。

現在，F的值域又是什么呢？如果你將-2到1之間（包括-2和1）的每一個實數平方的話，會發生什么呢？你應該有能力直接求解，但這是觀察如何利用圖像來求一個函數的值域的很好機會．基本思想是，畫出函數圖像，然后想象從圖像的左邊和右邊很遠的地方朝向y軸水平地射入兩束亮光．曲線會在y軸上有兩個影子，一個在y軸的左側，另一個在y軸的右側．值域就是影子的并集；也就是說，如果y軸上的任意一點落在左側或右側的影子里，那么它處于函數的值域中．我們以函數F為例來看一下這是怎么運作的吧。

圖1-1中左側的影子覆蓋了y軸從0到4（包括0和4）的所有點，也就是[0,4]；另一方面，右側的影子覆蓋了從0到1（包括0和1）的所有點，也就是[0,1]．右側的影子沒有貢獻更多，全部的覆蓋范圍仍然是[0, 4]．這就是函數F的值域。

圖1-1

1.1.4 垂線檢驗

在上一節中，我們利用一個函數的圖像來求其值域．函數的圖像非常重要：它真正地展示了函數“看起來是什么樣子的”．在第12章，我們將會看到繪制函數圖像的各種技巧，但現在，我很想提醒你注意的是垂線檢驗。

你可以在坐標平面上畫任何你想畫的圖形，但結果可能不是一個函數的圖像．那么函數的圖像有什么特別之處呢？或者說，什么是函數f的圖像呢？它是所有坐標為（x,f（x））的點的集合，其中x在f的定義域中．還有另外一種方式來看待它．我們以某個實數x開始．如果x在定義域中，你就畫點（x,f（x）），當然這個點在x軸上的點x的正上方，高度為f（x）．如果x沒有在定義域中，你不能畫任何點．現在，對于每一個實數x，我們重復這個過程，從而構造出函數的圖像。

這里的關鍵思想是，你不可能有兩個點有相同的x坐標．換句話說，在圖像上沒有兩個點會落在相對于x軸的同一條垂線上．要不然，你又將如何知道在點x上方的兩個或多個不同高度的點中，哪一個是對應于f（x）的值呢？這樣就有了垂線檢驗：如果你有某個圖像并想知道它是否是函數的圖像，你就看看是否任何的垂線和圖像相交多于一次．如果是這樣的話，那它就不是函數的圖像；反之，如果沒有一條垂線和圖像相交多于一次，那么你的確面對的是函數的圖像．例如，以原點為中心，半徑為三個單位的圓的圖像，如圖1-2所示。

圖1-2

這么普通的對象應該是個函數，對嗎？不對，讓我們進行如圖所示的垂線檢驗．當然，在-3的左邊或3的右邊都沒有問題（垂線甚至都沒有擊中圖像），這很好．就連在-3或3上，垂線和圖像也僅僅有一次相交，這也很好．問題出在x落在區間（-3,3）上時．對于這其中的任意x值，垂線通過（x,0）和圓相交兩次，這就壞事了．你不知道f（x）到底是對應上方的點還是下方的點。

最好的解決方法是把圓分成上下兩個半圓，并只選擇上一半或者下一半．整個圓的方程是x2+y2=9，而上半圓的方程是，下半圓的方程是y =．這最后兩個就是函數了，定義域都是[-3, 3].你可以以不同的方式來分割．實際上，你不是必須要把它分成半圓（可以分割并改變上半圓和下半圓，只要不違反垂線檢驗就行了）．例如，圖1-3也是一個函數的圖像，其定義域也是[-3, 3].

圖1-3

垂線檢驗通過，所以這確實是一個函數的圖像。

1.2 反函數

我們假設一個函數f，你給了它一個輸入x．如果x在f的定義域中，你就能得到一個輸出，我們稱它為f（x）．現在，我們把過程倒過來，并問：如果你選一個實數y，那么應該賦予f什么樣的輸入才能得到這個輸出y呢？

用數學語言來陳述這個問題就是：給定一個實數y，那么在f定義域中的哪個x滿足f（x）=y？首先要注意的是，y必須在f的值域中．否則，根據定義，將不再有x的值使得f（x）=y成立了．如此在f定義域中將沒有這樣的x滿足f（x）=y,因為值域是所有的可能輸出。

另一方面，如果y在值域當中，也可能會有很多值都滿足f（x）=y．例如f（x）=x2（其定義域為R），我們的問題是x取何值時會輸出64．很顯然，有兩個x值：8和-8．另外，如果g（x）=x3，對于相同的問題，這時只有一個x值，就是4.對于任意一個我們賦予g去做變換的實數，結果都是如此，因為任何數都只有一個（實數）立方根。

所以這里的情形如下：給定一個函數f，在f的值域中選擇y．在理想狀況下，僅有一個x值滿足f（x）=y．如果上述理想狀況對于值域中的每一個y來說都成立，那么就可以定義一個新的函數，它將逆轉變換．從輸出y出發，這個新的函數發現一個且僅有一個輸入x滿足f（x）=y．這個新的函數稱為f的反函數，并寫作f-1．以下是使用數學語言對上述情形的總結。

（1）從一個函數f出發，使得對于在f值域中的任意y，都只有唯一的x值滿足f（x）=y．也就是說，不同的輸入對應不同的輸出．現在，我們就來定義反函數f-1.

（2）f-1的定義域和f的值域相同。

（3）f-1的值域和f的定義域相同。

（4）f-1（y）的值就是滿足f（x）=y的x．所以，

如果f（x）=y，那么f-1（y）=x.

變換f-1就像是f的撤銷按鈕：如果你從x出發，并通過函數f將它變換為y，那么你可以通過在y上的反函數f-1來撤銷這個變換的效果，取回x.

這會引發一些問題：你如何知道只有唯一的x值滿足f（x）=y呢？如果是這樣，如何求得反函數呢，其圖像又是什么樣子呢？如果不是這樣，你又如何挽救這一局面呢？在接下來的三個小節中我們會對這些問題做出回答。

1.2.1 水平線檢驗

對于第一個問題——如何知道對于f值域中的任意y，只有一個x值滿足f（x）=y——最好的方法也許是看一下函數圖像．我們想要在f值域中選擇y，并且希望只有一個x值滿足f（x）=y．這就意味著通過點（0,y）的水平線應該和圖像僅有一次相交，且交點為點（x,y）．那個x就是我們想要的．如果水平線和曲線相交多于一次，那將會有多個可能的對應x值，情況會很糟．如果是那樣，獲得反函數唯一的方法就是對定義域加以限制，我們很快會討論這一點．如果水平線根本就沒有和曲線相交，會怎樣呢？就是y根本沒有在值域當中，這樣也不錯。

這樣一來，就可以描述水平線檢驗：如果每一條水平線和一個函數的圖像相交至多一次，那么這個函數就有一個反函數．如果即使只有一條水平線和圖像相交多于一次，那么這個函數就沒有反函數．例如，我們來看一下圖1-4中f（x）=x3和g（x）=x2的圖像。

圖1-4

沒有一條水平線和y=f（x）相交多于一次，所以f有一個反函數．另一方面，一些水平線和曲線y=g（x）相交兩次，所以g沒有反函數．這里的問題在于：如果通過y=x2來求解x，其中y為正，那么就會出現兩個解：和.結果你不知道該取哪一個。

1.2.2 求反函數

現在來看第二個問題：如何求得函數f的反函數呢？其實只需寫下y=f（x）,然后試著解出x．在f（x）=x3的例子中，有y=x3，所以．這就意味著，．如果你覺得變量y刺眼，可以將它改寫為x，寫成當然了，求解x并不總是那么簡單．事實上，求解經常是不可能的．另一方面，如果你知道函數圖像是什么樣子的，反函數的圖像就會很容易畫出來．基本思想是，在圖像上畫一條y=x的直線，然后將這條直線假想為一個雙面的鏡子．反函數就是原始函數的鏡面反射．如果f（x）=x3，那么f-1的圖像如圖1-5所示。

圖1-5

原始函數f在y=x這面“鏡子”中被反射，從而得到反函數．注意：f和f-1的定義域和值域都是整個實軸。

1.2.3 限制定義域

最后要處理第三個問題：如果水平線檢驗失敗因而沒有反函數，那應該怎么辦呢？我們面臨的問題是，對于相同的y有多個x值．解決此問題的唯一方法是：除了這多個x值中的一個，我們放棄所有其他值．也就是說，必須決定要保留哪一個x值，然后放棄剩余的值．正如我們在1.1節中看到的，這稱為限制函數的定義域．實質上，我們刪去部分曲線，使得保留下來的部分能夠通過水平線檢驗．例如g（x）=x2，可以刪除左半邊的圖像，如圖1-6所示。

圖1-6

這條新的（實線的）曲線將定義域縮減為[0,∞），并且滿足水平線檢驗，所以它有反函數．更確切地說，定義在定義域[0,∞）上的函數h有反函數，其中h（x）=x2.讓我們用鏡面反射游戲來看一下它到底是什么樣子的，如圖1-7所示。

圖1-7

為了找到反函數的方程，我們必須在方程y=x2中解出x．很明顯，問題的解就是x=或x=，但是我們需要哪一個呢？我們知道反函數的值域和原始函數的定義域是相同的，而后者被限制為[0,∞），所以我們需要一個非負的數來作為答案，即．這就是說，．當然，也可以把原始圖像的右半邊刪除，將定義域限制為（-∞,0]．在那種情況下，我們得到一個定義域為（-∞,0]的函數j．它也滿足j（x）=x2，但只是在這個定義域上才成立．這個函數也有反函數，反函數是負的平方根，即.

順便說一下，如果你讓沒有通過水平線檢驗的、定義域為（-∞,∞）的原始函數g（x）=x2在鏡子y=x中反射，那么你會得到如圖1-8所示的圖像。

圖1-8

注意到這個圖像不會通過垂線檢驗，所以它不是函數的圖像．這說明了垂線檢驗和水平線檢驗之間的聯系，即水平線被鏡子y=x反射后會變成垂線。

1.2.4 反函數的反函數

有關反函數還有一點：如果f有反函數，那么對于在f定義域中的所有x,f-1（f（x））=x成立；同樣，對于在f值域當中的所有y，都有f(f-1（y）)=y.（記得，f的值域和f-1的定義域相同，所以對于f值域中的y，我們確實可以取到f-1（y），不會導致任何曲解．）

例如f（x）=x3,f的反函數由給出，所以對于任意的x,f-1（f（x））==x．不要忘記，反函數就像是撤銷按鈕．我們使用x作為f的輸入，然后給出輸出到f-1；這撤銷了變換并讓我們取回了x這個原始的數．類似地，．所以，f-1是f的反函數，且f是f-1的反函數．換句話說，反函數的反函數就是原始函數。

不過，對于限制定義域的情況一定要當心．令g（x）=x2，我們已經看到你需要對其定義域加以限制，方能取得反函數．設想我們把定義域限制為[0,∞），但由于粗心大意而把函數繼續看成是g而不是先前小節中那樣的h．我們便會說．如果你真要計算g(g-1（x）)，你就會發現它是，即等于x，只要x≥0.（當然，不是這樣的話，從一開始你就無法取得平方根．）

另一方面，如果你解出g-1（g（x）），你會得到，它不是總和x相同．例如，如果x=-2，那么x2=4,==2．所以一般而言，g-1（g（x））=x不成立．這里的問題在于，-2沒有在g的限制定義域當中．而且，從技術角度而言，你甚至不可能計算g（-2），因為-2不再屬于g的定義域了．我們確實應該使用h，而不是g，以便提醒自己要更加小心．不過在實踐中，數學家們在限制定義域時經常不會改變字母！所以把這種情形總結如下對大家是很有幫助的。

如果一個函數f的定義域可以被限制，使得f有反函數f-1，那么

· 對于f值域中的所有y，都有f(f-1（y）)=y；但是

· f-1（f（x））可能不等于x；事實上，f-1（f（x））=x僅當x在限制的定義域中才成立。

在10.2.6節，對于反三角函數，我們會再次提到這些要點。

1.3 函數的復合

假設有一個表達式為g（x）=x2的函數g．你可以將x替換成任何使函數有意義的對象，如g（y）=y2或g（x+5）=（x+5）2．后一個例子需要特別注意小括號，若寫成g（x+5）=x+52就是錯的，因為x+25并不等于（x+5）2．所以在替換過程中如果拿不準，可用小括號．也就是說，如果你需將f（x）寫成f（某表達式），可將每一個x替換成（某表達式），這時一定要加小括號．唯一不需要加小括號的情況是，當函數是指數函數時，如h（x）=3x，你可以寫成．不需要加小括號是因為你已經將x2+6寫成上標了。

現在考慮定義為f（x）=cos（x2）的函數f．若給定一個數x，如何計算f（x）呢？你會首先計算x的平方，然后計算平方值的余弦．鑒于我們可將f（x）的計算分解成前后相繼的兩個獨立的計算，我們也就可以將這些計算各描述成一個函數．因此，令g（x）=x2,h（x）=cos（x）．為了模擬函數f是如何作用于輸入值x的，你可先將x輸入到函數g進行求平方運算，接著不必返回g的結果而直接讓g將其結果作為函數h的輸入，然后h計算出一個最終的結果值，該結果值當然是由函數g計算出的x平方值的余弦值．這個過程恰恰模擬了f，故我們可以寫出f（x）=h（g（x））,也可表示為f=h?g，這里的圈表示“與……的復合”，即f是g與h的復合．換言之，f是g與h的復合函數．這里需要小心的是，我們把h寫在g的前面（像平常一樣從左向右讀），但計算時我們要先從g開始．我承認這確實容易讓人搞混，但我也沒辦法——你只能試著去接受。

練習求兩個或多個函數的復合是很有用的．例如，若g（x）=2x,h（x）=5x4, j（x）=2x-1，則函數f=g?h?j的表達式是什么？我們只需從j開始，將其代換到h，接著再將結果代換到g，可得

同樣，你需要練習該過程的逆過程．例如，假定你開始于函數

如何將f分解為幾個簡單函數呢？從函數式中找到x，首先需要加3，所以設g（x）=x+3；然后要對所得值取以2為底的對數，所以令h（x）=log2（x）；接著需乘5，則設j（x）=5x；再接著要求正切值，因此令k（x）=tan（x）；最后要取倒數，于是令m（x）=1/x．由上，驗證下式：

f（x）=m（k（j（h（g（x）））））.

利用復合符號，可以寫成

f =m?k?j?h?g.

這并不是函數f的唯一分解形式．例如，我們可以將函數h和j復合成另一個函數n，其中n（x）=5log2（x）．然后你應該驗證一下n=j?h和

f =m?k?n?g.

或許最初（包含j和h）的分解較好一點，因為它將f分解成更多的基本形式，但第二種（包含n）也沒錯，畢竟n（x）=5log2（x）仍是關于x的較為簡單的函數。

注意，函數的復合并不是把它們相乘．例如f（x）=x2sin（x）,f不是兩個函數的復合，因為對任意給定的x，計算f（x）的值需要求解x2和sin（x）（先求哪個值都沒關系，這與復合函數不同），然后將這兩個值乘起來．若令g（x）=x2,h（x）=sin（x）,則我們可以寫成f（x）=g（x）h（x）或f =gh．可將它與這兩個函數的復合函數j=g?h，即

j（x）=g（h（x））=g（sin（x））=（sin（x））2

或j（x）=sin2（x）比較一下．函數j完全不同于乘積x2sin（x），它同樣不同于函數k=h?g．函數k也是g和h的復合函數，不過是按另一個順序的復合：

k（x）=h（g（x））=h（x2）=sin（x2）.

k是另一個完全不同的函數．這個例子說明，函數的乘積和復合是不同的，且函數的復合與函數順序有關系，而函數的乘積與函數順序無關。

復合函數另一個簡單但重要的例子是，將函數f和g（x）=x-a（a是常數）進行復合．對復合得到的新函數h（x）=f（x-a），需要關注的是新函數y=h（x）和函數y=f（x）的圖像是一樣的，只不過y=h（x）的函數圖像向右平移了a個單位．如果a是負的，那么就是向左平移．（一種理解方式是，向右平移-3個單位與向左平移3個單位是一樣的．）那么如何畫y=（x-1）2的圖像呢？就像畫y=x2的圖像一樣，只是用x-1來代替x．所以可將函數y=x2的圖像向右平移1個單位，如圖1-9所示．類似地，y=（x+2）2的圖像是將y=x2的圖像向左平移2個單位，可把（x+2）理解為（x-（-2））.

圖1-9

1.4 奇函數和偶函數

一些函數具有對稱性，這便于對它們進行討論．考慮定義為f（x）=x2的函數f，任選一個正數（我選3）作用于函數f（得到9）．現在取該數的負值，由我選擇的數可得-3，將其作用于函數f（又得到9）．不論你選擇的是幾，應該跟我一樣，兩次得到了相同的值．你可將這種現象表示為，對所有的x，有f（-x）=f（x）．也就是說，將x作為f的輸入和將-x作為輸入，會得到一樣的結果．注意到g（x）=x4和h（x）=x6同樣具有這種性質．事實上，當n是偶數時（n可以是負數）,j（x）=xn具有相同的性質．受以上討論的啟發，我們說，如果對f定義域里的所有x有f（-x）=f（x），則f是偶函數．這個等式對某些x值成立是不夠的，它必須對定義域里的所有x都成立。

現在，我們對函數f（x）=x3做相同的討論．選擇你喜歡的任一正數（我仍選3）作用于f（得到27）．用你選的數的負值再試一遍，我的數的負值是-3，得到-27,你同樣應該得到先前結果的負值．可以用數學方式將其表示為f（-x）=-f（x）．同樣地，當n是奇數時（n可以是負數）,j（x）=xn具有相同的性質．因此我們說，當對f定義域內所有x都有f（-x）=-f（x）時，f是奇函數。

一般而言，一個函數可能是奇的，可能是偶的，也可能非奇非偶．要記住這一點，大多數函數是非奇非偶的．另一方面，只有一個函數是既奇又偶的，它就是非常單調的對所有x都成立的f（x）=0（我們稱之為零函數）．它為什么是唯一的既奇又偶的函數呢？我們證明一下．若函數f是偶函數，則對所有x有f（-x）=f（x）；但如果同時它又是奇的，則對所有x有f（-x）=-f（x），用第一個等式減去第二個等式，得到0=2f（x），即f（x）=0，這對所有x成立，因此函數f一定是零函數．另一個有用的結論是，如果一個函數是奇的，并且0在其定義域內，則f（0）=0．為什么呢？由于對定義域里的所有x,f都有f（-x）=-f（x），我們用0試一下．我們得f（-0）=-f（0），但-0等于0，因此f（0）=-f（0），化簡得2f（0）=0，即f（0）=0.

不論如何，對于一個函數f，怎么來判定它是奇函數、偶函數或都不是呢？若是奇函數或偶函數又怎樣呢？我們先來看下第二個問題，然后再討論第一個問題．當知道一個函數的奇偶性之后，一個比較好的事情就是畫函數圖像比較容易了．事實上，如果你能將這個函數的右半邊圖像畫出來，那么畫左半邊圖像就是小菜一碟．我們先討論當f是偶函數時的情形．因f（x）=f（-x）, y=f（x）的圖像在x和-x坐標上方具有相同的高度，且對所有的x都成立，如圖1-10所示。

圖1-10

我們得到這樣的結論：偶函數的圖像關于y 軸具有鏡面對稱性．所以當你畫出偶函數的右半邊圖像后，就可以通過將其圖像關于y軸反射得到它的左半邊圖像．不妨用y=x2的圖像檢驗一下它的鏡面對稱性。

另一方面，假設f是奇函數．因f（-x）=-f（x）,y=f（x）圖像在x坐標上方和-x坐標下方具有相同的高度．（當然，若f（x）是負的，你可以調換一下“上方”和“下方”兩個詞．）不論如何，其圖像如圖1-11所示。

圖1-11

現在的對稱性是關于原點的點對稱，即奇函數的圖像關于原點有180?的點對稱性．這就意味著，如果你只有奇函數的右半邊圖像，你可按下面的方法得到其左半邊的圖像．想象該曲線是浮在紙面上，你能夠把它拿起來但不能改變它的形狀．不過，你沒有把它拿起來，而是用大頭針在原點處把曲線釘住（回想一下，奇函數若在0處有定義，它必定通過原點），然后將整個曲線旋轉半圈，這樣就得到左半邊圖像的樣子了．（如果曲線是不連續的，即不是連在一起的一條，這個方法就不那么好用了．）可驗證一下，上面的圖像和函數y=x3的圖像都具有這樣的對稱性。

現在假設f定義為f（x）=log5（2x6-6x2+3），你怎么確定f是奇函數、偶函數，還是都不是呢？方法就是，將每個x替換為（-x）并計算f（-x），一定要記著給-x加上小括號，然后化簡結果．如果你得出了原始表達式f（x）,f就是偶的；如果得到原始表達式的負值-f（x）,f就是奇的；如果得到的結果一團糟，既不是f（x）也不是-f（x），則f就非奇非偶（或之前的化簡不充分）．由上例，可得

f（-x）=log5（2（-x）6-6（-x）2+3）=log5（2x6-6x2+3）,

本式實際上等于f（x）本身，因此函數f是偶的．那函數

的奇偶性又如何呢？對函數g，我們有

現在可把負號提到前面來，得到

注意到結果等于-g（x），即除了負號以外，剩下部分就是原始函數，因此g是奇函數．那函數h呢？我們有

我們再次把負號提到前面來，得到

嗯，看起來這不是原始函數的負值，因為分子上有個+1．它也不是原始函數本身，所以函數h是非奇非偶的。

我們再看一個例子．若想證明兩個奇函數之積是偶函數，該怎么做呢？先給事物命名比較利于討論，我們就定義有兩個奇函數f和g．我們需要看一下它們的乘積，因此定義它們的積為h，即定義了h（x）=f（x）g（x），而我們的任務是要證明h是偶的．像往常一樣，我們需要證明h（-x）=h（x）．因f和g都是奇的，注意到f（-x）=-f（x）,g（-x）=-g（x）會有所幫助．我們從h（-x）開始．由于h是f和g的乘積，有h（-x）=f（-x）g（-x）．再利用f和g的奇函數性質將等式右邊表示為（-f（x））（-g（x）），負號提到前面消掉，由此得到f（x）g（x），而它當然等于h（x）．我們可以（也應該）把上述過程用數學式表示為

h（-x）=f（-x）g（-x）=（-f（x））（-g（x））=f（x）g（x）=h（x）.

總之，由h（-x）=h（x）可得函數h是偶函數．現在你應該可以證明兩偶函數之積仍為偶函數，奇函數和偶函數之積是奇函數．馬上試一下吧！

1.5 線性函數的圖像

形如f（x）=mx+b的函數叫作線性函數．如此命名原因很簡單，因為它們的圖像是直線．直線的斜率是m．設想一下，此時此刻你就在這頁紙中，這條直線就像是座山，你從左向右開始登山，如圖1-12所示。

圖1-12

如果像左圖一樣，斜率m為正數，那么你正在上山．m越大，這段上坡就越陡．相反，如果m為負數，那么你正在下山．m的數值越小（即絕對值越大），這段下坡也就越陡．如果斜率為0，這段山路就是水平的，你既不在上山，也不在下山，僅僅是在沿一條水平直線前行。

你僅僅需要確認兩個點，就可以畫出線性函數的圖像，因為兩點確定一條直線．你所要做的就是把尺子放在這兩點上，筆輕輕一連就行了．其中一點很容易找，就是y軸的截距．設x=0，很顯然y=m×0+b=b．也就是說，y軸的截距為b，所以直線通過（0,b）這點．我們可以通過找x軸的截距來找另一點，設y為0，求x的值．不過，這種方法在兩種特殊情況下不適用。

情況一：b=0，這時函數變為y=mx．直線通過原點，x軸和y軸的截距都為零．為了求得另一點，可以把x=1代入，可得y=m．所以直線y=mx通過原點和（1, m）這兩點．例如，直線y=-2x通過原點和（1, -2），如圖1-13所示。

圖1-13

情況二：當m=0，這時函數變為y=b，是一條通過（0, b）的水平直線。

更有趣的例子，可考慮函數．很顯然，y軸截距為-1，斜率為1/2.為畫這條直線，我們還需要求出x軸的截距．通過設y=0可以得出,化簡后得出x=2．圖像如圖1-14所示。

圖1-14

現在假設你知道平面上有一條直線，但不知道它的方程．如果你知道這條直線通過某一固定的點以及它的斜率，那就能很容易地找到它的方程．你真的，真的，真的，很有必要去掌握這種方法，因為它經常出現．這個公式叫直線方程的點斜式，其文字表達如下：

如果已知直線通過點（x0, y0），斜率為m，則它的方程為y-y0=m（x-x0）.

如果已知一條直線通過（-2,5），斜率為-3，如何求它的方程？方程為y-5=-3（x-（-2）），化簡后結果為y=-3x-1.

有時你不知道直線的斜率，但知道它通過哪兩點．那怎樣求它的方程呢？技巧是，找出它的斜率，再用剛才的方法去求出方程．首先，你需要知道：

如果一條直線通過點（x1,y1）和（x2,y2），則它的斜率等于.

例如，通過（-3,4）和（2, -6）的直線方程是什么？首先，求它的斜率：

我們現在知道該直線通過（-3,4），斜率為-2，所以它的方程為y-4=-2（x-（-3））,化簡后為y=-2x-2．同樣，我們也可以使用另一點（2, -6）和斜率為-2，得出方程為y-（-6）=-2（x-2），化簡后為y=-2x-2．你會發現，無論使用哪一個點，最后得到的結果都是相同的。

1.6 常見函數及其圖像

下面是你應該知道的最重要的一些函數。

（1）多項式有許多函數是基于x的非負次冪建立起來的．你可以以1、x、x2、x3等為基本項，然后用實數同這些基本項做乘法，最后把有限個這樣的項加到一起．例如，多項式f（x）=5x4-4x3+10是由x4的5倍加x3的-4倍加10而形成的．你可能也想加中間的基本項x2和x，但由于它們沒有出現，所以我們可以說零倍的x2和零倍的x．基本項xn的倍數叫作xn的系數．例如，剛才的多項式x4、x3、x2、x和常數項的系數分別為5、-4、0、0和10.（順便提一下，為什么會有x和1的形式？這兩項看上去與其他項不同，但它們實際上是一樣的，因為x=x1,1=x0.）最大的冪指數n（該項系數不能為零）叫作多項式的次數．例如上述多項式的次數為4，因為不存在比4大的x的冪指數．次數為n的多項式的數學通式為

p（x）=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0,

其中an為xn的系數，an-1為xn-1的系數，以此類推，直到最后一項1的系數為a0.

由于xn是所有多項式的基本項，因而你應該知道它們的圖像是什么樣的．偶次冪的圖像之間是非常類似的；同樣，奇次冪的圖像之間也很類似．圖1-15是從x0到x7的圖像。

圖1-15

一般的多項式的圖像是很難畫的．除非是很簡單的多項式，否則連x軸的截距都經常很難找到．不過，多項式的圖像左右兩端的走勢倒是容易判斷．這是由最高次數的項的系數決定的，該系數叫作首項系數．an就為上述多項式通式的首項系數．例如，我們剛才提到的多項式5x4-4x3+10,5為它的首項系數．實際上，我們只需考慮首項系數正負以及多項式次數的奇偶就能判斷圖像兩端的走勢了．所以圖像兩端的走勢共有如下四種情況，如圖1-16所示。

圖1-16

上述圖像的中間部分是由多項式的其他項決定的．上圖僅僅是為了顯示圖像左右兩端的走勢．在這個意義上，多項式5x4-4x3+10的圖像同最左邊的圖像類似，因為n=4為偶數，an=5為正數。

我們再稍微討論一下次數為2的多項式，又叫二次函數．不寫成+a1x+a0，而把系數分別寫成a、b、c會更簡單些，即我們有p（x）=ax2+bx+c．根據判別式的符號可以判斷二次函數到底有兩個、一個還是沒有實數解．通常我們用希臘字母?來表示判別式?=b2-4ac．它共有三種可能性．如果?>0，有兩個不同的解；如果?=0，只有一個解，也可以說有兩個相同的解；如果?<0，在實數范圍內無解．對于前兩種情況，解為

注意到該表達式根號下為判別式．二次函數的一個重要技術是配方．下面舉例說明.考慮二次函數2x2-3x+10．第一步把二次項的系數提出來，多項式變為了.這時就得到一個二次項系數為1的多項式．接下來的關鍵一步是把x的系數，這里是，除以2，再平方．我們得到．我們多希望常數項是,而不是5，所以我們開動腦筋：

為什么要加一次，又減一次呢？因為這樣的話，前三項為平方形式.這時我們得到

接下來，只剩最后一小步，．最后恢復系數2，我們有

事實證明，這個形式在許多情形中更為便利．你一定要學會如何配方，因為我們要在第18章和第19章大量運用這個技巧。

（2）有理函數形如，其中p和q為多項式的函數，叫作有理函數．有理函數變化多樣，它的圖像根據p和q兩個多項式的變化而變化．最簡單的有理函數是多項式本身，即q（x）為1的有理函數．另一個簡單的例子是1/xn，其中n為正整數．圖1-17是一些有理函數的圖像。

圖1-17

奇次冪的圖像之間類似，偶次冪的圖像之間也很類似．知道這些圖像長什么樣子是有幫助的。

（3）指數函數和對數函數你需要知道指數函數的圖像長什么樣．例如，圖1-18是y=2x的圖像。

圖1-18

y=bx（b>1）的圖像都與這圖類似．有幾點值得注意．首先，該函數的定義域為全體實數；其次，y軸的截距為1并且值域為大于零的實數；最后，左端的水平漸近線為x軸．再強調一下，該圖像非常接近于x軸，但永遠不會接觸到x軸，無論在你的圖形計算器上多么接近．（在第3章中，我們會再次碰到漸近線．）y=2-x的圖像是y=2x關于y軸的對稱，如圖1-19所示。