- 印度數學和孫子算經：讓你算得快算得準的古老法寶
- 夢遠編著
- 1866字
- 2019-11-01 20:18:57
第三式～第五式 ×：三類特殊的乘法運算
乘法運算是印度數學大顯神威的領域。接下來我們將看到另外三種印度數學簡算法，它們全部得益于補數思想的應用。
類型一：兩個乘數中間存在整十?整百?整千數
在乘法計算題中，如果兩個乘數的中間數是整十?整百或者整千數，這道題便可以減算了。舉個例子：乘法算題17×23，因為17和23的中間數是整十數20，我們能夠利用補數思想瞬間求計算結果。至于如何減算，等你完成了下面的“學前自測”題再揭曉。
·|學前自測|·
答案：
①391 ②896 ③1584 ④3575 ⑤6399 ⑥9984 ⑦12091 ⑧22496 ⑨999999 ⑩3999775
·印度數學第三式·
被乘數和乘數中間存在整十?整百或整千數的乘法運算：
步驟①：找到被乘數和乘數的中間數——也就是那個整十?整百或整千數，并將這個中間數乘二次方；
步驟②：求被乘數(或乘數)與中間數的差，并將其乘二次方；
步驟③：用步驟①的得數減去步驟②的得數。
·|例題解析|·
·|原理闡釋|·
想一想，這種簡算法合理嗎？
如果你了解平方差公式(a+b)×(a-b)=a2-b2，你就會發現印度數學第三式其實就是對平方差公式的完美應用。
如果你不熟悉平方差公式，那就畫個長方形，用求面積的方法檢驗一下吧！
長23?寬17的長方形，它的面積是：23×17=391。
將陰影部分移接到箭頭所示的位置后，新圖形是一個邊長為20的大正方形殘缺了一個邊長為3的小正方形。求這個新圖形的面積只需用大正方形的面積減去小正方形的面積：
·|練習|·
1 被乘數96和乘數104的中間數是100，將100乘二次方。
1002=100×100=10000
2 被乘數96(或乘數104)與中間數100的差是4，將4乘二次方。
42=4×4=16
3 用10000減去16。
10000-16=9984
最終答案：9984
1 被乘數148和乘數152的中間數是150，將150乘二次方。
1502=150×150=22500
2 被乘數148(或乘數152)與中間數150的差是2，將2乘二次方。
22=2×2=4
3 用22500減去4。
22500-4=22496
最終答案：22496
·|利用印度數學第三式，完成下面的計算|·
計算時蓋住右邊的答案，完成全部題目后再核對答案。提示：
類型二：至少有一個乘數接近100
進行兩位數乘法運算時，如果至少有一個乘數接近100，運算便能得到化簡。那么，什么數是接近100的數呢？這里，我們默認大于90的兩位數是接近100的。先用你自己的方法計算幾道這樣的題目。
·|學前自測|·
答案：
①8281 ②7544 ③6789 ④6016 ⑤5225 ⑥4416 ⑦3589 ⑧2744 ⑨1881
·印度數學第四式·
至少有一個乘數接近100的兩位數乘法：
步驟①：以100為基數，分別找到被乘數和乘數的補數；
步驟②：用被乘數減去乘數的補數(或者用乘數減去被乘數的補數)，把差寫下來；
步驟③：兩個補數相乘；
步驟④：將步驟③的得數直接寫在步驟②的得數后面。
提示：步驟②兩種計算方法結果相同，所以只用其中之一計算即可。為什么“被乘數-乘數的補數=乘數-被乘數的補數”呢？我們來證明一下，以a-b這個式子為例：
a的補數是：100-a
b的補數是：100-b
被乘數-乘數的補數=a-(100-b)=a-100+b
乘數-被乘數的補數=b-(100-a)=b-100+a
a-100+b=b-100+a
所以，被減數-減數的補數=減數-被減數的補數
1 以100為基數，被乘數和乘數同為91，它們的補數相同，都是9。
91→9
91→9
2 用被乘數91減去乘數91的補數9。
91-9=-82
3 兩個補數9相乘。
9×9=81
4 將81直接寫在82后面。
最終答案：8281
·|原理闡釋|·
用計算圖形面積的方式解析這種簡算法：
邊長為91的正方形，它的面積是91×91=8281。
將陰影部分移接到箭頭所示位置后，原正方形變成由兩部分組成的新圖形，這兩部分分別是：長100(91+9=100)?寬82(91-9=82)的長方形和邊長為9的小正方形。求新圖形的面積只需將這兩部分的面積相加。
提示：步驟①去哪呢？移接圖形的過程恰與步驟①對應。
·|練習|·
·|利用印度數學第四式，完成下面的計算|·
計算時蓋住右邊的答案，完成全部題目后再核對答案。提示：
類型三：當5遇上偶數
我們知道5×2=10?25×4=100?125×8=1000，利用5和偶數相乘得整十?整百?整千數的規律，我們可以化簡大量乘法題目。先以你常用的方法完成下列計算，之后你將領略“5”邂逅偶數的神奇。
·|學前自測|·
答案：
①330 ②540 ③700 ④1350 ⑤420 ⑥490 ⑦1350 ⑧2400 ⑨6500 ⑩41000
·印度數學第五式·
個位是5的數和偶數相乘：
步驟①：偶數除以2或者4或者8；
步驟②：個位是5的數相應地乘以2或者4或者8；
步驟③：將前兩步的結果相乘。
·|例題解析|·
提示：在這一式中，補數并沒有在解題過程中直接出現。個位是5的數通過乘以2或者4和8，使自己成為整十?整百或者整千數，這種“化零為整”的轉變恰恰是補數思想的核心。
·|練習|·
提示：為什么25×4而不乘以2呢？
25×2=50，而25×4=100，乘以4可以湊出更“整”的數。所以，要根據每道題的數據特征決定究竟乘以2?乘以4還是乘以8。
提示：對35來說，無論×2還是×4，對原式的簡化程度相差不大，因此這兩種方法可以任選其一。
·|利用印度數學第五式，完成下面的計算|·
計算時蓋住右邊的答案，完成全部題目后再核對答案。提示：
