1.3.1　數(shù)制的基本概念

日常生活中使用的數(shù)制很多，如1年有12個(gè)月（十二進(jìn)制），1斤等于10兩（十進(jìn)制），1分鐘等于60秒（六十進(jìn)制）等。計(jì)算機(jī)科學(xué)中經(jīng)常使用十進(jìn)制、二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制。但在計(jì)算機(jī)內(nèi)部，一般使用二進(jìn)制編碼形式來表示。

1.進(jìn)位計(jì)數(shù)制

數(shù)制也稱計(jì)數(shù)制，是人們利用符號來計(jì)數(shù)的科學(xué)方法，指用一組固定的符號和統(tǒng)一的規(guī)則來表示數(shù)值的方法。

如何表示一個(gè)“數(shù)”，最為人們所接受的是“進(jìn)位計(jì)數(shù)制”。例如大家非常熟悉的十進(jìn)制數(shù)，它用0～9共10個(gè)數(shù)字符號及其進(jìn)位來表示數(shù)的大小。下面我們利用它引出進(jìn)位計(jì)數(shù)制的有關(guān)概念：

（1）0～9這些數(shù)字符號稱為“數(shù)碼”。

（2）全部數(shù)碼的個(gè)數(shù)稱為“基數(shù)”。十進(jìn)制數(shù)的基數(shù)為10。

（3）用“逢基數(shù)進(jìn)位”的原則進(jìn)行計(jì)數(shù)，稱為“進(jìn)位計(jì)數(shù)制”。例如，十進(jìn)制數(shù)的基數(shù)是10，所以它的計(jì)數(shù)原則就是“逢十進(jìn)一”。

（4）進(jìn)位以后的數(shù)字，按其所在位置的前后，將代表不同的數(shù)值，表示各位有不同的“位權(quán)”，又稱“權(quán)值”。

（5）位權(quán)與基數(shù)的關(guān)系是：位權(quán)的值等于基數(shù)的若干次冪。

在十進(jìn)制數(shù)中，各個(gè)位的權(quán)值分別是：10i（i=-m～n，其中n，m為整數(shù)）。

例如：

13651.78=1×104+3×103+6×102+5×101+1×100+7×10-1+8×10-2

式中104、103、102、101、100、10-1、10-2即為各個(gè)位的權(quán)值，每一位上的數(shù)碼與該位權(quán)值的乘積，就是該位的數(shù)值。

（6）任何一種數(shù)制表示的數(shù)都可以寫成按位權(quán)展開的多項(xiàng)式之和。

設(shè)一個(gè)R進(jìn)制的數(shù)A=（anan-1an-2an-3…a1a0.a-1a-2…a-m），則

A=an×Rn+an-1Rn-1+an-3×Rn-3+…+a1×R1+a0×R0+a-1×R-1+…+a-m×R-m

=Σai×Ri（i=n～-m）

2.常用的進(jìn)位計(jì)數(shù)制

計(jì)算機(jī)中常用的進(jìn)位計(jì)數(shù)數(shù)制除了前面介紹的十進(jìn)制以外還有二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制。

（1）二進(jìn)制數(shù)

與十進(jìn)制相似，二進(jìn)制數(shù)也遵循兩個(gè)規(guī)則：

①僅有兩個(gè)不同的數(shù)碼，即0，1。

②進(jìn)/借位規(guī)則為：逢二進(jìn)一，借一當(dāng)二。

如：（11001.101）2=1×24+1×23+0×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3。

（2）八進(jìn)制數(shù)

八進(jìn)制數(shù)也遵循兩個(gè)規(guī)則：

①有八個(gè)不同的數(shù)碼，即0，1，2，3，4，5，6，7。

②進(jìn)/借位規(guī)則為：逢八進(jìn)一，借一當(dāng)八。

如：（21064.271）8=2×84+1×83+0×82+6×81+4×80+2×8-1+7×8-2+1×8-3。

（3）十六進(jìn)制數(shù)

二進(jìn)制數(shù)在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中處理很方便，但當(dāng)位數(shù)較多時(shí)，比較難記憶和書寫，為此，通常將二進(jìn)制數(shù)用十六進(jìn)制數(shù)表示。

十六進(jìn)制是計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中除二進(jìn)制之外使用較多的進(jìn)制，其遵循的兩個(gè)規(guī)則為：

①其有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F(xiàn)共16個(gè)數(shù)碼，分別對應(yīng)十進(jìn)制數(shù)的0～15；

②進(jìn)/借位規(guī)則為：逢十六進(jìn)一，借一當(dāng)十六。

十六進(jìn)制數(shù)同二進(jìn)制數(shù)及十進(jìn)制數(shù)一樣，也可以寫成展開式的形式。

如：（C1A4.BD）16=12×163+1×162+10×161+4×160+11×16-1+13×16-2。

3.書寫規(guī)則

為了區(qū)分各種計(jì)數(shù)制的數(shù)，常采用如下表示方法：

（1）在數(shù)字后面加寫相應(yīng)的英文字母作為標(biāo)識：

B（Binary）表示二進(jìn)制數(shù)。二進(jìn)制數(shù)的1001011可寫成1001011B。

O（Octonary）表示八進(jìn)制數(shù)。八進(jìn)制數(shù)的2513可寫成2513O。但為了避免字母O與數(shù)字0相混淆，常用Q代替O。八進(jìn)制數(shù)的2513又可寫成2513Q。

D（Decimal）表示十進(jìn)制數(shù)。十進(jìn)制數(shù)的6597可寫成6597D。一般約定D可省略，即無后綴的數(shù)字為十進(jìn)制數(shù)字。

H（Hexadecimal）表示十六進(jìn)制數(shù)，十六進(jìn)制數(shù)3DE6可寫成3DE6H。

（2）在括號外面加數(shù)字下標(biāo)：

（1001011）2——表示二進(jìn)制數(shù)的1001011。

（2513）8——表示八進(jìn)制數(shù)的2513。

（6597）10——表示十進(jìn)制數(shù)的6597。

（3DE6）16——表示十六進(jìn)制數(shù)的3DE6。

常用的不同計(jì)數(shù)制數(shù)值的表示方法如表1-1所示。