第1章　函數、極限與連續

學習目標

·了解初等函數的一些基本知識以及在高等數學中的地位和作用，了解間斷點的概念、類型以及判斷方法.

·掌握鄰域的概念、復合函數的概念及其分解、函數極限的概念、連續函數的概念以及閉區間連續函數的性質.

·能運用極限概念觀察函數的變化趨勢，判斷函數是否為無窮小量或無窮大量，能判斷無窮小量和無窮大量二者的關系.

·能熟練運用極限性質、法則、公式等進行極限運算，能熟練運用極限思想解決有關問題，從而形成極限思想方法.

案例分析

案例　我國魏晉時期數學家劉徽于公元263年撰寫的《九章算術注》中，介紹了利用圓內接正多邊形來推算圓的面積的方法——割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣.”

設有一圓，首先將其分割成圓的內接正六邊形，把它的面積記為A1；接下來將其分割成圓的內接正十二邊形，其面積記為A2；再將其分割成圓的內接正二十四邊形，其面積記為A3；繼續下去，每次邊數增加一倍進行分割，一般把分割成的圓的內接正6×2n-1邊形的面積記為An（n∈N+）.這樣，就得到一系列圓的內接正多邊形的面積：

A1，A2，A3，A4，…，An，…

如此割了再割，越割越細，多邊形和圓面積的差越來越小.最后終于和圓合為一體，毫無差別了.其中的奧秘就是當n∈N+且無限增大時，考察正多邊形的面積An（n∈N+）是否有一個確定的趨向，顯然，此例有一個確定的趨勢，即圓的面積.那么，這個問題是否具有一般性和普遍意義？它蘊含著怎樣的解決問題的思想方法？本章就去探個究竟.

在許多情況下，經常會遇到上述這類問題，歸結為：對于給定的函數，除了研究變量之間的依賴關系外，還需要研究一個量按某種趨勢變化時，另一個量有沒有確定的變化趨勢，即當自變量的絕對值無限增大或無限趨近于某個確定的值時，相應的因變量是否也無限趨近于一個確定的常數.這類問題稱為極限問題，探尋這類問題的思想和方法稱為極限思想和方法.

極限是高等數學的重要概念之一，是學習、研究微積分學中導數、連續、微分、定積分等重要內容的基礎和工具.