2.1.3　函數可導與連續的關系

函數連續與可導是函數的兩個重要性態，那么它們關系如何？先觀察函數y=|x|和在原點的連續性與可導性，其圖像分別如圖2-2和圖2-3所示.

直觀上觀察到兩個函數在定義域區間內的任何點處都是連續的.由于導數的幾何意義是曲線切線的斜率，顯然它們在坐標原點處不存在切線，所以它們在原點處不可導.因此，函數在某點處連續，在該點處不一定可導.那么，函數在該點處可導就一定連續嗎？下面用定理來回答.

定理2　如果函數y=f（x）在點x0處可導，則f（x）在點x0處一定連續.

證明　函數y=f（x）在點x0處可導，則存在，因為

所以函數y=f（x）在點x0處連續.

下面舉例說明函數在點x0處連續，但在此點不可導.

例6　討論函數y=|x|在點x0=0處的連續性與可導性.

所以y=|x|點x0=0處連續.

在x0=0處左、右導數不相等，所以 不存在，故在x0=0處函數y=|x|不可導.

發現：若函數在某點可導，則其在該點一定連續；若函數在某點連續，則其在該點不一定可導；若函數在某點不連續，則其在該點一定不可導.