1.6.3　初等函數的連續性

1.連續函數的和、差、積、商的連續性

定理2　如果函數f（x），g（x）均在點x0處連續，則它們的和、差、積、商在點x0處連續，即f（x）±g（x），f（x）·g（x），在點x0處均連續.

2.復合函數的連續性

定理3　函數y=f（u）在點u0連續，函數u=φ（x）在x0處連續，即，且u0=φ（x0），那么復合函數y=f（φ（x））在x0處連續，即有

發現：只要復合函數連續，則極限符號與函數符號可以交換次序.同理，這個結論可以適用于x的其他幾種趨勢.

3.反函數的連續性

定理4　如果函數y=f（x）在區間Ix單調遞增（或單調遞減）且連續，則它的反函數x=φ（y）在對應的區間Iy上單調遞增（或單調遞減）且連續.

例如，由于y=sinx在閉區間上單調遞增且連續，它的反函數y=arcsinx在閉區間[-1，1]上也是單調遞增且連續.

4.初等函數的連續性

運用連續的定義可以證明，基本初等函數在其定義域內都是連續的.再根據前面的學習會推得，一切初等函數在其定義區間（指定義域）內都是連續的.

發現：（1）在初等函數定義區間內求函數在點x0處的極限，可直接代入其函數值，即

（2）求初等函數的連續區間就是求定義區間.

例6　求極限.

解　（1）因為初等函數在x=2處連續，故有

（2）因為初等函數y=ln（sinx）在處連續，故有

例7　求極限

例8　求極限

解　令ex-1=t，則x=ln（1+t），x→0時t→0，于是