§1.5　無窮小量與無窮大量

1.5.1　無窮小量

1.無窮小量的定義

觀察下列極限的特點：

給出如下定義：

定義1　如果，那么函數(shù)f（x）稱為在x→x0（或x→∞）時的無窮小量，簡稱無窮小.

發(fā)現(xiàn)：（1）無窮小定義也適用于當(dāng)x→ ，x→ ，x→-∞，x→+∞時.

（2）一般地，無窮小要指明其自變量的變化趨勢.例如，當(dāng)x =0，所以函數(shù)x-2是當(dāng)x→2時的無窮小，而當(dāng)x→3時 ，所以x-2不是x→3時的無窮小.

（3）不要把無窮小與很小的數(shù)混為一談，無窮小是一個過程，一個變量；一般說來，無窮小表達(dá)的是量的變化狀態(tài)，而不是量的大小.故絕對值很小的常數(shù)及負(fù)無窮大都不是無窮小，而零是常數(shù)中唯一的無窮小量.

2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系

定理1　

的充分必要條件是f（x）=A+α（x）且.

證明　僅就x→x0的情形來證，其他情形同理.

必要性　設(shè)，則.令α（x）=f（x）-A，即當(dāng)x→x0時，α（x）=f（x）-A是無窮小，則f（x）=A+α.

充分性　設(shè)f（x）=A+α，其中α（x）是x→x0時的無窮小，則

3.無窮小的性質(zhì)

（1）有限個無窮小的代數(shù)和仍然是無窮小.

（2）有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小.

推論常數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小.

（3）有限個無窮小量乘積仍是無窮小.

例1　求下列極限.

解　（1）由于不存在，所以不能利用極限運算法則求此極限，但因為，且，即為有界函數(shù)，則由性質(zhì)（2），推得

（2）當(dāng)x→∞時，，，都是無窮小，所以由性質(zhì)（1）推得

例2　求極限

發(fā)現(xiàn)：無窮多個無窮小的和不一定是無窮小.