1.4.1 第一重要極限
為了更好地理解第一重要極限，先給出如下夾逼定理.
定理（夾逼定理） 如果
，
，且
G（x）≤f（x）≤F（x），
則
從直觀上可以看出，該定理是很明顯的.當x→x0時，f（x）的左、右函數G（x）和F（x）的極限都同時無限趨近于常數A，則會“逼迫”中間函數f（x）也無限趨近于常數A.
下面根據該定理證明第一重要極限.
作單位圓，如圖1-22所示，取圓心角∠AOB=x，令x→0+，不妨假設
2.由圖可看出，S△AOB<S扇AOB<S△AOD，即
圖 1-22
從而有
取倒數
因為
，根據本節定理，證得
又因為cosx和
x均是偶函數，所以當x→0-，即對于
，結論仍成立，
由§1.2節定理2，有
第一重要極限公式（1-1）在極限運算中有重要的作用，要較好地掌握它，必須認清它的特點.
發現：（1）極限是 
型，且含有正弦函數；
（2）極限為類型 
或x→∞時，□→0，其本質為：
例1 求
例2 求
例3 求
例4 求
例5 證明
證明 令arcsinx=t，則x=sint，當x→0時，t→0，則
發現：（1） 
；（2） 
；（3） 
；（4）sinkx≠ksinx.