1.1.1　集合的概念

1.集合的概念

在初中數(shù)學(xué)中，我們已經(jīng)接觸過“集合”一詞.

在初中代數(shù)學(xué)習(xí)數(shù)的分類時，就用到“正數(shù)的集合”“負數(shù)的集合”等.此外，對于一元一次不等式

2x+3>5

所有大于1的實數(shù)都是它的解.我們也可以說，這些數(shù)組成這個不等式的解的集合，簡稱為這個不等式的解集.

在初中幾何里學(xué)習(xí)圓時，說圓是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合.一般地，幾何圖形都可以看成是點的集合.

一般地，某些指定的對象集中在一起就成為一個集合，簡稱集.集合中的每個對象叫做這個集合的元素.例如，“我院足球隊的隊員”組成一個集合，每一個隊員都是這個集合的元素；又如，“大于3的整數(shù)”組成一個集合，每個大于3的整數(shù)都是這個集合的一個元素.

通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示集合，小寫拉丁字母a，b，c，…表示元素.

2.集合分類

把含有有限個元素的集合叫做有限集.例如，所有大于2且小于10的奇數(shù)組成的集合；含有無限個元素的集合叫做無限集.例如，所有大于5的偶數(shù)組成的集合；不含任何元素的集合叫做空集，記為?，例如，方程x2+1=0的所有實數(shù)解組成的集合.

例1　下列集合中哪些是空集？哪些是有限集？哪些是無限集？

（1）由26個英文字母組成的集合；

（2）由小于8的正整數(shù)組成的集合；

（3）由大于10的奇數(shù)組成的集合；

（4）由平方等于-1的實數(shù)組成的集合.

分析　判斷集合是有限集、無限集、空集的關(guān)鍵是看集合中元素的個數(shù).

解　（1）因為集合的元素分別為A，B，C，…26個英文字母，所以這個集合為有限集；

（2）因為集合的元素分別為1，2，3，4，5，6，7，共有7個元素，所以這個集合為有限集；

（3）因為集合的元素分別為11，13，15，17，…有無數(shù)多個元素，所以這個集合為無限集；

（4）因為集合中沒有元素，所以這個集合是空集.

練一練

指出下列集合中哪些是空集？哪些是有限集？哪些是無限集？

（1）由小于5的自然數(shù)組成的集合；

（2）由大于11且小于100的整數(shù)組成的集合；

（3）由等邊三角形組成的集合；

（4）由a，b，c，d，e，f，g組成的集合；

（5）由0組成的集合.

3.集合中元素的特性

根據(jù)上述多個例子我們看到：

（1）對于給定的集合，它的元素是確定的.也就是說給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.例如，由我院足球隊的隊員組成的集合，它的元素是確定的.

（2）對于給定的集合，它的元素是互不相同的，每個元素不能重復(fù)出現(xiàn).例如，由平方等于4的數(shù)組成的集合，它的元素只有兩個，分別是2和-2.

（3）對于給定的集合中的元素之間沒有順序關(guān)系，即集合中的元素相互交換順序所得的集合與原來的集合是同一個集合.例如，由1，2，3組成的集合與由2，1，3組成的集合是同一個集合.

綜上所述，集合中的元素具有確定性、互異性、無序性.

例2　下列各題中所指的對象是否能組成集合？并說明理由.

（1）大于3且小于11的偶數(shù)；

（2）我國的小河流；

（3）中國的直轄市；

（4）學(xué)校里的高個子學(xué)生；

（5）非常大的數(shù).

分析　根據(jù)集合中元素具有確定性的特點，判斷指定的對象能不能構(gòu)成集合，關(guān)鍵是能否找到一個明確的標準.

解　（1）（3）都能組成集合，因為每個對象都是確定的.

（2）（4）（5）都不能組成集合，因為沒有確切的標準用來判斷一條河流的“大小”；在“高個子”與“不是高個子”之間，沒有規(guī)定身高界限；數(shù)目大小的程度也沒有明確的標準.

練一練

（1）舉出兩個能構(gòu)成集合的實例，再舉出兩個不能構(gòu)成集合的實例.

（2）下列各組對象是否能夠成集合？

①著名的數(shù)學(xué)家；

②方程x2-4=0的實數(shù)根；

③質(zhì)量好的洗衣機；

④一次函數(shù)y=4x+1圖像上的所有點；

⑤數(shù)軸上1～5之間所有的點；

⑥所有整數(shù).

4.常用數(shù)集

（1）全體非負整數(shù)組成的集合稱為非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；

（2）全體正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N+（或N*）；

（3）全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；

（4）全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；

（5）全體實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集，記作R.

如果上述數(shù)集中的元素僅限于正數(shù)，就在集合記號的右下角標以“+”號；若數(shù)集中的元素僅限于負數(shù)，就在集合記號的右下角標以“-”號.例如，Q+表示正有理數(shù)集，Z-表示負整數(shù)集.