1.3　集合之間的關系

本節重點知識

1.子集.

2.真子集.

3.集合的相等.

觀察下面兩組集合，并試著找出它們之間可能存在的關系.

（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.

（2）設A為本校一年級（a）班全體學生組成的集合，B為本校一年級全體學生組成的集合.

（3）C={x|x是三條邊相等的三角形}，D={x|x是等邊三角形}.

可以看出，在（1）中，集合A的任意一個元素都是集合B的元素，這時我們說集合A與集合B有包含關系，（2）中的集合A與集合B也有這種關系.

一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集，記作

A?B（或B?A），

讀作“A包含于B”（或B包含A）.

在數學中，我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖.這樣，上述集合A和集合B的包含關系，可以用圖1-1表示.

當集合B不包含于集合A，或集合A不包含集合B時，則記作

B?A（或A?B），

根據定義可知，任何一個集合A，都是它本身的子集，即A?A.

我們規定空集是任意一個集合的子集，也就是說，對于任意集合A，都有??A.

注意　符號“?”表示的是集合與集合之間的關系，符號兩邊都是集合.

例1　用“?”“?”“?”填空.

（1）{2，5}______{1，2，3，4，5}；

（2）{x|x是四邊形}______{x|x是菱形}；

（3）{x|x2-4=0}______?；

（4）{x|x>5}______{6，7，8}；

（5）{x|2<x<9，x∈R}______{x|x>0，x∈R}；

（6）N______Z-；

解　（1）?（2）?（3）?（4）?（5）?（6）?

想一想

符號“∈”與“?”的應用對象有什么不同？

練一練

用“?”“?”“?”填空.

（1）{8，9}______Z；　　（2）N______{-2，0，8}；

（3）Q______{0，2，π}；　　（4）{-5，0}______{-5，-3，0}；

（5） ______Q；　　（6）{0，-1}______{-1，2，3}；

（7）{2，3，6}______{x|x是6的正因數}；

（8）{x|x是8的正因數}______{0，1，2，4，8，10}；

（9）{x|2=9}______{-3}；　　（10）{-1，0，1}______{x|x2-1=0}；

（11）{x|x是等腰三角形}______{x|x是等邊三角形}；

（12）{x|x是四邊形}______{x|x是梯形}；

（13）{x|x>3，x∈R}______{x|x<5，x∈R}；

（14）{x|-4<x<0，x∈R}______{x|-1<x<0，x∈R}；

（15）{x|x≥-2，x∈R}______{x|x>-2，x∈R}；

（16）{0}______?.

例2　寫出集合A={0，1，2}的所有子集.

分析　集合A中有3個元素，那么任意1個，2個，3個元素組成的集合及空集都是集合A的子集.

解　集合A中所有子集分別是：{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，?.

練一練

寫出下列集合的所有子集：

（1）A={2，3}；　　（2）A={s，t}；

（3）A={0，2，3}；　　（4）A={a，b，c}；

（5）A={x|x2=1}；　　（6）{x|x-3=1}；

（7）A={x|-3<x<1，x∈Z}；　　（8）A={x|x≤2，x∈N}

在（3）中，由于“三條邊相等的三角形”是等邊三角形，因此，集合C，D都是由所有等邊三角形組成的集合.即集合C中任何一個元素都是集合D中的元素，同時，集合D中任何一個元素也都是集合C中的元素.也就是說，集合D的元素與集合C的元素是一樣的.

如果集合A是集合B的子集（A?B），且集合B是集合A的子集（B?A），此時，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作

A=B

如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我們稱集合A是集合B的真子集，記作

例3　指出下面各集合之間的關系，并用Venn圖表示.

A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等邊三角形}，D={等腰直角三角形}.

解　（1）；　　（2）.（見圖1-2）

例4　指出以下兩個集合之間的關系：

（1）A={1，3，5，7}，B={3，5}；

（2）P={x|x2=4}，Q={-2，2}；

（3）C={偶數}，D={整數}；

解　（1）　　（2）P=Q；　　（3）.

由上述集合之間的關系，可以得到下列結論：

（1）任何一個集合是它本身的子集，即A?A；

（2）對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.