1.2.3　數(shù)據(jù)的表示與數(shù)制

1.二進(jìn)制數(shù)據(jù)的表示

二進(jìn)制具有物理實(shí)現(xiàn)性價(jià)比高、運(yùn)算法則簡(jiǎn)單，容易存儲(chǔ)等優(yōu)點(diǎn)。計(jì)算機(jī)如何在物理上表示二進(jìn)制呢？主要的方法還是采用電信號(hào)表示，高電壓表示1，低電壓表示0，如圖1-24所示。

2.數(shù)制

數(shù)制不僅是計(jì)算機(jī)出現(xiàn)時(shí)才有的，實(shí)際上中國除了使用十進(jìn)制外，還有十六進(jìn)制，1949年以前使用的稱量衡器，就是十六兩等于一斤，所以才有“半斤八兩”這個(gè)成語。在時(shí)間上采用的是60進(jìn)制，60秒等于1分鐘。這些進(jìn)制的產(chǎn)生有著其歷史和客觀的原因，有些已經(jīng)形成習(xí)慣。

由于計(jì)算機(jī)內(nèi)部采用的是二進(jìn)制編碼，但計(jì)算機(jī)與外部的信息交流依然采用大家所熟悉和習(xí)慣的形式，通常采用十進(jìn)制數(shù)據(jù)來表示數(shù)值。這樣計(jì)算機(jī)和人之間就必須要通過“翻譯”。二進(jìn)制和十進(jìn)制之間的“翻譯”是需要損耗系統(tǒng)資源的，尤其是時(shí)間的代價(jià)。下面介紹幾個(gè)概念：

數(shù)制：按進(jìn)位的方法進(jìn)行計(jì)數(shù)，稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制，簡(jiǎn)稱數(shù)制。如果某個(gè)數(shù)制采用R個(gè)基本符號(hào)，則稱其為基R數(shù)制，R稱為數(shù)制的基數(shù)。不同的數(shù)制在基數(shù)規(guī)則、進(jìn)位規(guī)則、位權(quán)規(guī)則和運(yùn)算規(guī)則等方面也不相同。

基數(shù)：是指某種數(shù)制中可能用到的計(jì)數(shù)符號(hào)的個(gè)數(shù)。如十進(jìn)制數(shù)有0～9十個(gè)基數(shù)。

位權(quán)：不同位數(shù)上的計(jì)數(shù)符號(hào)所表示的數(shù)值大小是不同的，它的實(shí)際數(shù)值是計(jì)數(shù)符號(hào)乘以某一固定的常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為位權(quán)，簡(jiǎn)稱權(quán)。如25=2×101+5×100，101和00

分別為對(duì)應(yīng)位的位權(quán)。

進(jìn)位：如十進(jìn)制數(shù)是逢十進(jìn)一，二進(jìn)制數(shù)是逢二進(jìn)一，等等。

任何一種進(jìn)位制都可以用下面的規(guī)則來描述：基數(shù)規(guī)則、進(jìn)位規(guī)則、位權(quán)規(guī)則、運(yùn)算規(guī)則。常用的數(shù)制有十進(jìn)制、二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制。它們的特點(diǎn)如表1-2所示。

例如，（256.15）D=2×102+5×101+6×100+1×10-1+5×10-2

（1101）B=1×23+1×22+0×21+1×20

3.數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換

在計(jì)算機(jī)內(nèi)部的運(yùn)算采用二進(jìn)制數(shù)，但人們的習(xí)慣是十進(jìn)制數(shù)，為了方便，在輸入和輸出采用十進(jìn)制數(shù)，由計(jì)算機(jī)完成二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換。這就需要了解不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換問題。表1-3所示為常用計(jì)數(shù)制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（1）R進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制

方法：按權(quán)展開求和

基數(shù)為R的數(shù)值，只需將各位數(shù)字與相應(yīng)的權(quán)值相乘，再將其積相加后，各數(shù)就是對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制值。

【例1】二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制。

（110101.0101）B=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4

　　　　　　　　=（53.3125）D

【例2】八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制：

（3506.2）O=3×83+5×82+0×81+6×80+2×8-1=（1862.25）D

【例3】十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制。

（71.E）H=7×161+1×160+E×16-1=（113.875）D

各種數(shù)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的方法：按權(quán)展開。

（2）十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為R進(jìn)制

將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為基數(shù)為R的數(shù)制時(shí)，將其整數(shù)部分和小數(shù)部分分別加以轉(zhuǎn)換，然后再合并起來即可。

十進(jìn)制整數(shù)部分轉(zhuǎn)換為基數(shù)為R的數(shù)制的轉(zhuǎn)換方法為：“除R取余”；十進(jìn)制小數(shù)部分轉(zhuǎn)換為基數(shù)為R的數(shù)制轉(zhuǎn)換方法為：“乘R取整”。

當(dāng)對(duì)十進(jìn)制小數(shù)部分連續(xù)地乘以R時(shí)，若小數(shù)部分最后乘至為零，則轉(zhuǎn)換結(jié)束；小數(shù)部分也可能永遠(yuǎn)不能乘至為零，則達(dá)到所要求的精度即可。

【例4】將（215.3125）D轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。

得到：（215）D=（11010111）D。

得到：（0.3125）D=（0.0101）B

將整數(shù)部分和小數(shù)部分合并在一起，得到：（215.3125）D=（11010111.0101）B。

【例5】將十進(jìn)制數(shù)（125.275）D轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)。

方法：整數(shù)部分除16取余法，小數(shù)部分乘16取整法。

所以，（125.275）D=（7D.46）H。

（3）二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換

二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制之間的相互轉(zhuǎn)換在實(shí)際應(yīng)用中是需要加以掌握的。例如，計(jì)算機(jī)中的許多設(shè)備參數(shù)設(shè)置值往往是用十六進(jìn)制表示的，用戶便需要對(duì)其加以轉(zhuǎn)換才容易理解。

由于二、八、十六進(jìn)制三種數(shù)制的權(quán)值有以下的內(nèi)在聯(lián)系：23=8，24=16，也就是說3位二進(jìn)制相當(dāng)于1位的八進(jìn)制數(shù)，4位二進(jìn)制數(shù)相當(dāng)于1位16進(jìn)制數(shù)，因而它們之間的轉(zhuǎn)換便較容易實(shí)現(xiàn)。首先我們需要掌握表1-4中所列的各類進(jìn)制數(shù)中基數(shù)值的相互對(duì)應(yīng)關(guān)系。

二進(jìn)制、八進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換：

①八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制：每位八進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)于三位二進(jìn)制數(shù)。

②二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制：對(duì)二進(jìn)制整數(shù)部分從低位向高位分組，每三位一組；小數(shù)部分從高位向低位分組，每三位一組，不足補(bǔ)零。然后寫出每組對(duì)應(yīng)的八進(jìn)制基數(shù)即可。

【例6】八進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù)：（7123.63）O=（？）B

【例7】二進(jìn)制數(shù)化為八進(jìn)制數(shù)：（1101101110）B=（？）O

二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制的過程是相似的，也就是上例的逆向過程。

八進(jìn)制、十六進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換：

①十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制：每位十六進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)于四位二進(jìn)制數(shù)；

②二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制：對(duì)二進(jìn)制整數(shù)部分從低位向高位分組，每四位一組；小數(shù)部分從高位向低位分組，每四位一組，不足補(bǔ)零。然后寫出每組對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制基數(shù)即可。

【例8】十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)：（2C1D）H=（？）B

【例9】二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)：（1101101110）B=（？）H