1.6　圖形變換技術和三維投影

圖形變換技術包括圖形變換基本原理和圖形基本變換。三維投影有平行投影和透視投影。

1.6.1　圖形變換基本原理

通過圖形變換，可以實現圖形大小、位置、方向等的變化，可以實現圖形的投影和透視，甚至可以由簡單的圖形生成復雜的圖形。

在二維圖形中，用一對坐標值（x，y）來表示一個點在平面內的確切位置，即用一個向量（x y）來表示一個點的位置。同樣，在三維圖形中，也是用一個向量（x y z）來表示一個點的位置。對頂點的位置變換，也就是對向量的運算，必須用矩陣的運算來完成。

若變換前點的坐標為（x，y），變換后點的坐標為（x*，y*），則變換過程可寫為公式：

[x*y*]=[x y]·T　　（1-1）

式中，等號的左、右兩邊都是變量的一次項，是一個線性變換，T為線性變換矩陣。

二維線性變換的一般形式也可以寫成下面的代數形式。

x*＝t11x+t21y　　y*＝t12x+t22y　　（1-2）

現把上兩式統一起來，即把（1-2）式改寫成矩陣運算的形式。

式（1-3）與式（1-2）等價。與式（1-1）相比，式（1-3）只是把原來的二維向量（x y）變成了一個第三維為常數1的三維向量（x y 1）。對于向量（x y 1），它在幾何上可以理解為第三維為常數的平面上的一個二維向量。

這種用三維向量表示二維向量，或者擴展為用n+1維向量表示n維向量的方法，稱為齊次坐標（Homogeneous Coordinates）表示法。在該方法中，n維向量的變換是在n+1維的空間中進行的，變換后的n維結果被返回到特定的n維空間內。

采用齊次坐標表示法，就可以把二維線性變換表示成下面的規范化形式。

式中的3×3矩陣是二維變換矩陣。

因用頂點描述圖形的幾何關系，用連邊描述圖形的拓撲關系（連邊規則），故對圖形變換，只要獲得對應于原圖形各頂點變換后的頂點坐標表，就可以描述變換后的圖形。這里，圖形的原連邊規則（拓撲關系）保持不變。圖形變換前后有下述關系：

P*=P·H

式中：P*為變換后的新頂點表；

　　　P為變換前的頂點表；

　　　H為線性變換矩陣。

1.6.2　圖形基本變換

圖形基本變換有比例變換、對稱變換、旋轉變換、平移變換和錯切變換，如圖1-10所示。變換后圖形的點的坐標都是乘上一個各不相同的線性變換矩陣H。所謂各不相同，就是t12，t21，t22不同。

上述是二維圖形變換的情況。三維圖形的變換也是同樣的道理，線性變換矩陣將在二維圖形的基礎上增加一維，成為4行4列的矩陣。

如果幾個基本變換矩陣相乘，則得到一個復雜的變換，稱為級聯變換。

1.6.3　三維投影

為了將三維圖形表示在二維平面上，需要進行投影變換。

投影變換有平行投影和透視投影。平行投影是投影中心處于無窮遠時（即射向物體的光線為平行光）所形成的投影。透視投影是投影中心距物體有限遠時（即射向物體的光線為非平行光）所形成的投影。這兩種投影還可以細分，具體情況見表1-1。

正投影與斜投影是根據投影線是否垂直于投影平面劃分的。若垂直，則為正投影；反之則為斜投影。

三視圖投影如圖1-11所示，軸測投影如圖1-12所示，透視投影如圖1-13所示。

三維投影的情況雖然很復雜，但是思路和上面二維的情況一致，投影點的坐標都是原形體點的坐標乘上一個變換矩陣T。不過該變換矩陣T較復雜，或者是三維圖形的若干基本變換矩陣的乘積，或者是經過數學推導得出的變換矩陣。雖然如此，T仍然是4行4列的矩陣。