第二節 利率風險的衡量

利率風險衡量的主要方法有：利率期限結構、持續期和凸性。

一、利率期限結構

（一）利率期限結構概述

1．利率期限結構的定義

利率期限結構是指具有同樣信用級別而期限不同的債券收益率的關系，用坐標圖曲線來表達便形成了收益率曲線，即期限與收益率之間的關系。

2．利率期限結構的意義

（1）利率期限結構為債券定價提供基準。各種債券的價格等于按未來市場利率把各期利息及本金進行貼現的現值，而其中市場利率的預測就是以利率期限結構為基準的。

（2）為衍生產品定價提供基準。各種衍生產品的價格其實就是未來現金流的貼現，而其中使用的貼現利率就是以利率期限結構為基準的。

3．構造利率期限結構債券的選擇

（1）國債：過去人們一般選用國債來構造利率期限結構，優點是沒有信用風險，不包含信用風險溢酬，可以直接比較；沒有流動性風險，利率中不包含流動性溢酬。缺點是融資問題導致的收益率偏低。國債利率期限結構不是反映收益率和期限的最佳衡量工具，主要原因是具有相同期限的債券實際上不一定有相同的收益率。

（2）零息債券：零息債券的收益率，一般稱為即期利率，描述即期利率和期限關系的曲線稱為即期利率曲線，又由于零息債券的期限一般短于一年，其他期限的即期利率必須要通過國債實際的收益率推導出來，因此它又稱為理論即期收益率曲線。

4．確定利率期限結構的幾種方法

（1）息票剝離法（bootstrap method）：適用于債券市場比較發達、債券種類比較齊全的國家。后面會有應用實例。

（2）貼現因子函數估計：①線性方法：包括多項式估計和樣本估計；②非線性方法：包括指數樣本估計等。

（3）Carleton和Cooper的離散估計。

5．利率期限結構自身形態的微觀分析

利率期限結構從形態上看可能有水平、向下凹、向上凸等。利率期限結構從變動上看可以是平行移動和非平行移動。

（1）水平因素：在利率期限結構變動中發揮主導作用。

（2）傾斜因素：影響長短收益率朝著不同方向變化。

（3）曲度因素：影響因素復雜。

（二）關于利率期限結構的主要理論

關于利率期限結構主要有兩種理論，即預期理論和市場分割理論，用來為不同形狀的利率期限結構提供解釋。傳統的利率期限結構（靜態）理論：

（1）預期理論：遠期利率代表著對未來利率的預期。

（2）市場分割理論：遠期利率由債券的供求決定。

現在有很多理論對利率期限結構曲線的形態進行了理論解釋和數學構建。

1．預期理論

預期理論（pure expectation theory，PE），也稱期望理論。它的基本內容：當前利率期限結構代表了對未來利率變化的一種預期，即遠期利率代表著預期的未來利率。根據遠期利率是否受其他因素影響，預期理論又分純預期理論和偏好預期理論。純預期理論認為遠期利率只受預期的未來利率的影響，而偏好預期理論則認為遠期利率除了主要受預期的未來利率影響外，還受到其他因素的影響。

（1）純預期理論

純預期理論的基本假設：投資者希望持有債券期間收益最大；投資者對特定期限無特殊偏好，他們認為各種期限都是可以完全替代的；買賣債券沒有交易成本，一旦投資者察覺到收益率差異即可變換期限；絕大多數投資者都可以對未來利率形成預期，并根據這些預期指導投資行為。

純預期理論的基本內容：認為遠期利率只代表預期的未來利率。因此，給定時間的完整期限結構反映了對各種未來短期利率的市場當期預期。

純預期理論的理論解釋：根據該理論，利率期限結構曲線向上傾斜表明市場預期短期利率上升；利率期限結構曲線平坦則表明市場預期短期利率幾乎是不變的；利率期限結構曲線向下傾斜時表明市場預期短期利率下降。

純預期理論的評價：學者們認為純預期理論作為一種精巧的理論，可以較好地解釋用收益率曲線表示的利率期限結構在不同時期變動的原因，但它最大的缺陷是忽視了投資的風險。如果遠期利率是未來利率的完全反映，則債券的價格完全確知，因此投資債券是完全無風險的，這與實際顯然不符。

由于上述缺陷，經濟學家對純預期理論做了進一步解釋：即完全預期、局部預期和期限輪回預期。

完全預期理論：這是對純預期理論最寬泛的解釋，認為投資者對任何投資期內的收益預期是相同的，因而不必考慮所選擇的期限結構。

局部預期理論：這是對純預期理論最狹窄的解釋，認為不同的債券的收益在不長的投資期內是相同的。

期限輪回預期理論：這是有關純預期理論的最后一種解釋，認為投資者在其投資期內通過滾動投資短期債券所獲取的收益，與一次投資期限等同于投資期的零息債券所獲取的收益是相同的。

2）偏好預期理論

偏好預期理論認為遠期利率反映了市場預期的利率水平以及風險水平。根據對風險水平的不同理解，它又分為流動性偏好理論和產地偏好理論。

流動性偏好理論：它認為遠期利率包括市場預期的利率水平和風險水平，并且這一升水隨著期限的延長而上升。流動性偏好理論以純預期理論為基礎，加入了風險因素。它認為長期債券的利率一般要高于短期債券，是由于投資者普遍不喜歡風險，對高流動性債券的偏好將使得短期債券的利率水平低于長期債券。只有當長期利率減去平均預期利率的差額大于流動性風險升水時，投資者才會持有長期債券。長期利率取決于市場對未來短期利率預測的平均值加上該種債券由期限決定的流動性升水。

產地偏好理論：該理論與流動性偏好理論一樣，認為遠期利率包含市場預期的利率和風險水平，但并不認為風險升水隨著到期期限的延長而增加。產地偏好理論認為資金需求和供給在既定期間內是不匹配的，一些貸款人、借款人被引導去變換期限以均衡這種不匹配時，就需要給予他們適當的風險升水補償。那么利率期限結構曲線的形狀取決于風險升水的正負。當風險升水為正時，曲線上傾；為零時是平坦；為負時是下傾；或正或負，則呈拋物線。

2．市場分割理論

市場分割理論，又稱區間偏好理論，認為投資者有投資偏好。期限不同的債券市場是完全分離和獨立的，每一種債券的利率水平在各自的市場上，由對該種債券的供給和需求決定，不受其他期限債券的影響。由于不同市場之間的差異以及投資者面臨的眾多投資限制，比如風險水平的限制、頭寸的限制等，他們不會輕易地離開原先的市場而進入一個不同的市場，只有當另一種期限的債券預期收益率大于他們所偏好期限的債券預期收益率時，他們才愿意購買非偏好期限的債券，從而導致了不同市場之間的利率差異。

由于一般投資者對短期債券的偏好大于長期債券。為了讓投資者購買長期債券，必須向他們支付正值的期限升水。

（三）關于利率期限結構的模型

按模型中包含的隨機因子的個數可分為單因子模型和多因子模型。單因子模型中只含有一個隨機因子，多因子期限結構模型涉及多個隨機因子。由于多因子模型特別復雜，因此本課程主要介紹單因子模型。

在風險世界中，所有證券的預期收益率都等于無風險利率。因為風險中性的投資者并不需要額外的收益吸引他們承擔風險。因此，在風險世界中，所有現金流都可以通過無風險利率進行貼現求得現值。

1．現代利率期限結構均衡模型

（1）Rendleman-Bartter模型。Rendleman-Bartter模型認為利率變動遵循幾何布朗運動，與股票價格所遵循的過程類似。Rendleman-Bartter模型利率變動像股票價格一樣運動是不合理的，因為不符合利率均值回歸這種實際現象。

（2）Vasicek模型。Vasicek模型認為瞬時利率變動遵循一個均值回歸過程。瞬時利率有可能取負值，這與實際情況不相符。

（3）CIR模型。CIR模型認為瞬時利率變動圍繞一個平均值波動，如果利率偏離了均值，總要回到均值。CIR模型排除了利率取負值的可能性，但系數計算復雜。

2．現代利率期限結構無套利模型

（1）He-Lee模型。He-Lee模型認為瞬時利率變動遵循一個均值約等于遠期利率曲線斜率的一個過程。基本評價：He-Lee模型是一個比較簡便的利率模擬方法，但存在不足：一是假定債券價格的波動性獨立于時間與實際不符；二是利率存在負值的可能。

（2）Hull-White模型。Hull-White模型認為瞬時利率變動遵循一個均值依賴于時間的一個均值回歸過程。He-Lee模型和Vasicek都是Hull-White模型的特例。

（3）HJM模型。HJM模型認為遠期利率變動遵循一個均值和標準差都依賴于時間的一個過程，由此再來刻畫即期瞬時利率。HJM模型有一些不足之處：一是瞬時遠期利率不是直接可觀察的，因此要應用該模型就可能比較困難；二是HJM框架中，瞬時遠期利率的連續復合排除了出現對數正態過程的可能性。

二、持續期

持續期和凸性是衡量債券利率風險的重要指標。很多人把持續期簡單地視為債券的到期期限，其實是對持續期的一種片面的理解，而對凸性的概念更是模糊。在債券市場投資行為不斷規范、利率風險逐漸顯現的今天，如何用持續期和凸性量化債券的利率風險成為業內日益關心的問題。

麥考利持續期（Macaulay Duration）的概念，是美國經濟學家弗里德里克?麥考利于1938年首先提出來的。它是用來對債券進行具體的數值分析，以衡量其價格對利率（或收益率）變動的敏感程度的一個指標。它的計算方法是，將債券未來各部分現金流入量的到期時間分別加權后再匯總，權重是各個現金流入量的現值，然后用這個加權的總到期時間除以所有的現金流量現值之和（即債券的價格），得出的就是麥考利持續期的數值。這個數值表面上看是該債券收益的一種平均到期時間，而奇妙之處在于，它又是債券價格對收益率變化敏感性的比例系數。要知道利率（收益率）變動時債券價格的反應，只要用麥考利持續期數值來乘以收益率變化量就可以了。假定某種債券的麥考利持續期是10，該債券的收益率在瞬間要從9%升至9.10%，那么收益率的變化是0.10，10乘以0.10得1，這個數字就是該債券價格變動的百分比數值。也就是說，當某債券的收益率可能要上升10個基點（0.1個百分點）的時候，如果債券的麥考利持續期是10，那么它的價格將下降1%。上面提到過，債券的收益率與其價格總是反方向運動的，所以上述計算過程列成公式時必須加上一個負號。由此可見，債券的麥考利持續期越大，它的價格對收益率變動的敏感性就越強。

三、凸性

在實現生活中，債券價格變動率和到期收益率變動之間并不是線性關系，持續期只不過是用線性關系進行近似估計。在收益率變動較小，或者利率期限結構平行移動時，這種近似比較準確，如果收益變動比較大，或者利率期限結構發生了非平行移動，一階近似就會產生比較大的誤差，此時就需要進行二階項的調整。這個二階項就是凸性。

（一）債券凸性的定義與度量

凸性是對債券價格曲線彎曲程度的一種度量。凸性越大，債券價格曲線彎曲程度越大，用修正持續期度量債券的利率風險所產生的誤差越大。理論上說，持續期等于債券的價格-收益率曲線的斜率，凸性則衡量了曲線的彎曲程度，表示的是價格-收益曲線的斜率的變化，用數學表示則為債券價格方程對收益率的二階導數。嚴格地定義，凸性是指在某一到期收益率下，到期收益率發生變動而引起的價格變動幅度的變動程度。可以得出以下一些推論。

（1）對于沒有隱含期權的債券，凸度總是正的（大于0）。也就是說，當利率下降時，債券價格將以加速度上升；當利率上升時，債券價格將以減速度下降，這樣無論在利率上升還是下降的環境中，投資者都有好處。

（2）有隱含期權的債券的凸度一般為負。這表明價格將隨著利率的下降而以減速度上升，隨著利率上升以加速度下降。這對投資者而言是不利的。

（3）凸性具有可加性，債券組合的凸性為各債券凸性的加權平均值，權重為債券價值占組合價值的百分比。

（二）從收益率的一個基本點變動描述凸性

我們可以把凸性定義為：

G＝比例調整因素×（因收益率上升一個基本點所產生的資本虧損＋因收益率下降一個基本點所產生的資本利得）

（三）債券凸性的特性

（1）在息票率和收益率均保持不變的情況下，債券（或貸款）凸性隨到期期限的增加而提高。

（2）到期收益率和持續期相同的兩種債券，凸性越大，對投資者越有利。

（3）收益率和持續期保持不變，票面利率提高，凸性越大。這種情況產生于凸性公式中的貼現效應。

（4）當利率輕度變化時，對凸性的糾正是極小的，而當利率波動時，凸性被認為是最好的性質。