2.1　狀態(tài)空間描述的概念

2.1.1　狀態(tài)空間描述的基本概念

（1）狀態(tài)變量　能夠完整地、確定地描述動力學(xué)系統(tǒng)時域行為的最小個數(shù)的一組變量稱為狀態(tài)變量。變量之間最大線性無關(guān)組即為最小變量組，這一組變量是線性無關(guān)的。一個用n階微分方程描述的系統(tǒng)，就有n個獨立變量，當這n個獨立變量的時間響應(yīng)都求得時，系統(tǒng)的運動狀態(tài)也就被揭示無遺了。

一個系統(tǒng)，究竟選取哪些變量作為獨立變量，這種選擇不是唯一的，但重要的是這些變量應(yīng)該是相互獨立的，且其個數(shù)應(yīng)等于微分方程的階數(shù)。由于微分方程的階數(shù)唯一地取決于系統(tǒng)中獨立儲能元件的個數(shù)，因此狀態(tài)變量的個數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)獨立儲能元件的個數(shù)。從理論上說，并不要求狀態(tài)變量在物理上一定是可以測量的量，但在工程實踐上，選取那些容易測量的量作為狀態(tài)變量為宜，因為在狀態(tài)反饋控制中，往往需要將狀態(tài)變量作為反饋量。

n階微分方程式要有唯一確定的解，必須知道n個獨立的初始條件。很明顯，這n個獨立的初始條件就是一組狀態(tài)變量在初始時刻t0的值。如果給定了t=t0時刻這組變量的值和t≥t0時系統(tǒng)輸入的時間函數(shù)，那么系統(tǒng)在t≥t0的任何瞬時的行為就完全確定了，這樣的一組變量稱為狀態(tài)變量。

（2）狀態(tài)向量　以n個獨立狀態(tài)變量為元素所組成的向量，稱為狀態(tài)向量。如果x1（t），x2（t），…，xn（t）是系統(tǒng)的一組n個獨立狀態(tài)變量，則狀態(tài)向量就是以這組狀態(tài)變量為分量的向量x（t），即

（3）狀態(tài)空間　以n個獨立狀態(tài)變量x1，x2，…，xn為兩兩正交的坐標軸所構(gòu)成的n維正交空間，稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)空間中的每一點都代表了狀態(tài)變量的唯一的、特定的一組值。在經(jīng)典控制理論中，分析非線性系統(tǒng)所采用的相平面就是一個特殊的二維狀態(tài)空間。

（4）狀態(tài)軌線　在特定時刻t，控制系統(tǒng)的狀態(tài)向量x（t）在狀態(tài)空間中是一點。已知初始時刻t0的狀態(tài)x（t0），就得到狀態(tài)空間中的一個初始點。隨著時間的推移演化，x（t）將在狀態(tài)空間中描繪出一條軌線，稱為狀態(tài)軌線。

（5）狀態(tài)方程　由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。它反映了系統(tǒng)狀態(tài)以及系統(tǒng)輸入對系統(tǒng)狀態(tài)變化的影響。

（6）輸出方程　在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量以及系統(tǒng)輸入之間的函數(shù)關(guān)系，稱為系統(tǒng)的輸出方程。它反映了系統(tǒng)狀態(tài)以及系統(tǒng)輸入對系統(tǒng)輸出的影響。

（7）狀態(tài)空間表達式　狀態(tài)方程和輸出方程聯(lián)合起來，構(gòu)成對一個系統(tǒng)完整的動態(tài)描述，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。

2.1.2　控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述舉例

下面通過兩個例子，說明列寫線性系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程的步驟，得出被控系統(tǒng)狀態(tài)空間描述即狀態(tài)空間表達式的形式與規(guī)律。

【例2-1】 設(shè)有如圖2-1所示的RLC網(wǎng)絡(luò)，u為輸入變量，uC為輸出變量。試求其狀態(tài)空間描述。

解

①確定狀態(tài)變量。選擇電容兩端電壓uC（t）和電感通過的電流i（t）作為系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量。

②列寫微分方程并化為一階微分方程組。根據(jù)基爾霍夫電壓定律，列方程

　　（2-1）

消去中間量i（t），得到該電路系統(tǒng)的微分方程

　?。?-2）

根據(jù)式（2-1）得到由兩個一階微分方程構(gòu)成的一階微分方程組，即狀態(tài)方程

　?。?-3）

因為電路的輸出為電容兩端電壓uC（t），故輸出方程為

uC=uC　（2-4）

③列出狀態(tài)空間描述。式（2-3）和式（2-4）分別用向量矩陣形式表示

　?。?-5）

令，輸出變量y=uC。

因此，該電路的狀態(tài)空間描述即狀態(tài)空間表達式可表示為狀態(tài)方程與輸出方程，即

在此RLC電路中，若已知電流初值i（t0）、電壓初值uC（t0）以及t≥t0時的輸入電壓u（t），則t≥t0時的狀態(tài)可完全確定。因此i（t）、uC（t）是這個系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量。

【例2-2】 RLC網(wǎng)絡(luò)如圖2-2所示。其中e（t）為輸入變量，為輸出變量，試求其狀態(tài)空間描述。

解

①確定狀態(tài)變量。此網(wǎng)絡(luò)uC和iL可構(gòu)成最小變量組，當給定uC和iL的初始值及e（t）后，網(wǎng)絡(luò)各部分的電流、電壓在t≥0的動態(tài)過程就完全確定了。所以可以選擇uC和iL作為狀態(tài)變量，由它們組成的狀態(tài)向量為。

②列寫微分方程并化為一階微分方程組。取兩個回路，根據(jù)基爾霍夫定律可得

　　（2-6）

　　（2-7）

因為iC不是所確定的狀態(tài)變量，所以需將代入式（2-6）和式（2-7）中消去iC，即

　　（2-8）

　?。?-9）

由式（2-9）可得

即

　?。?-10）

由式（2-8）可得

將式（2-10）代入上式可得

即

　?。?-11）

③列出狀態(tài)空間描述。將式（2-10）和式（2-11）用向量矩陣形式表示

　　 （2-12）

輸出方程為

寫成向量矩陣形式為

　　 （2-13）

式（2-12）和式（2-13）即為系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程，它們構(gòu)成了被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述即狀態(tài)空間表達式。

令，

輸入變量u=e（t），輸出變量。

則該電路系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述的狀態(tài)空間表達式可表示為狀態(tài)方程與輸出方程，即

2.1.3　線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述的一般形式

設(shè)單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為x1，x2，…，xn，則狀態(tài)方程的一般形式為

輸出方程則有如下一般形式，即

y=c1x1+c2x2+…+cnxn+du

因此單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)，用向量矩陣形式表示時的狀態(tài)空間表達式為

式中　x——n維狀態(tài)向量，；

A——系統(tǒng)矩陣（或狀態(tài)矩陣），反映了系統(tǒng)狀態(tài)的內(nèi)在聯(lián)系，為n×n方陣，；

b——輸入矩陣（或控制矩陣），反映了輸入對狀態(tài)的作用，此處為n×1的列矩陣，；

c——輸出矩陣（或觀測矩陣），反映了系統(tǒng)狀態(tài)對輸出的影響和作用，此處為1×n的行矩陣，；

d——直接傳遞系數(shù)（或前饋系數(shù)），反映了輸入對輸出的直接作用，此處為1×1的標量。

對于一個多輸入多輸出的線性定常復(fù)雜系統(tǒng)，假設(shè)具有r個輸入、m個輸出，此時狀態(tài)方程的一般形式為

其輸出方程，不僅是狀態(tài)變量的組合，而且在特殊情況下，還可能有輸入向量的直接傳遞，因而有如下的一般形式，即

因而多輸入多輸出的線性定常系統(tǒng)，用向量矩陣形式表示時的狀態(tài)空間表達式的一般形式為

式中　x——n維狀態(tài)向量；

A——n×n系統(tǒng)矩陣；

u——r維輸入向量，；

y——m維輸出向量，；

B——n×r輸入矩陣，；

C——m×n輸出矩陣（或測量矩陣），；

D——m×r直接傳遞矩陣，D=。

系數(shù)矩陣A、B、C、D完整地表征了系統(tǒng)的動態(tài)特性，故把一個指定系統(tǒng)簡記為系統(tǒng)∑（A，B，C，D）。本書除特別說明外，在輸出方程中，均不考慮輸入向量對輸出向量的直接傳遞作用，即令D=0。

對于線性時變系統(tǒng)，系數(shù)矩陣A、B、C、D中至少有一個元素與時間t有關(guān)，所以狀態(tài)空間描述為

狀態(tài)空間描述用結(jié)構(gòu)圖表示，如圖2-3所示。

2.1.4　狀態(tài)空間描述的特點

通過以上對狀態(tài)空間描述的闡述，可總結(jié)出如下特點。

①狀態(tài)空間描述刻畫了“輸入→狀態(tài)→輸出”這一信息傳遞過程，其中它考慮了被經(jīng)典控制理論的輸入→輸出描述所忽略的狀態(tài)，因此它揭示了系統(tǒng)運動的本質(zhì)，即輸入引起狀態(tài)的變化，而狀態(tài)決定了輸出。

②輸入引起狀態(tài)的變化是一個動態(tài)過程。數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為向量的微分方程，即狀態(tài)方程。狀態(tài)決定輸出是一個變換過程，數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為變換方程，即代數(shù)方程。

③從物理意義來說，系統(tǒng)的狀態(tài)變量個數(shù)僅等于物理系統(tǒng)包含的獨立儲能元件的個數(shù)，因此一個n階系統(tǒng)僅有n個狀態(tài)變量可以選擇。

④一般來說，對于給定的n階系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選樣不是唯一的。如果x是系統(tǒng)的一個狀態(tài)向量，只要矩陣P是非奇異的，那么也是一個狀態(tài)向量。

⑤一般來說，狀態(tài)變量不一定是物理上可測量的量，但從便于控制系統(tǒng)的狀態(tài)反饋可實現(xiàn)的角度來說，把狀態(tài)變量選為可測量的量更為合適。

⑥對于結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知的系統(tǒng)，建立狀態(tài)方程的步驟是：首先選擇狀態(tài)變量；其次根據(jù)物理機理或定律列寫微分方程，并將其化為狀態(tài)變量的一階微分方程組；最后將一階微分方程組化為向量矩陣形式，即得狀態(tài)空間描述，即狀態(tài)空間表達式。對于結(jié)構(gòu)和參數(shù)未知的系統(tǒng)，通常只能通過系統(tǒng)辨識的途徑建立狀態(tài)方程。

⑦系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法是時域內(nèi)的一種矩陣運算方法，特別適合于用電子計算機來計算。