3.5　精餾塔塔板數的計算

板式精餾塔設計的一個重要內容便是確定所需要的塔板數。要計算實際塔板數，首先要求出理論塔板數；其次根據不同類型的板式塔確定塔板效率；最后根據理論塔板數和塔板效率求取實際塔板數。

而理論塔板數的確定是交替應用相平衡關系和物料平衡的操作線關系進行計算的。所以要首先確定汽液相平衡關系，其次確定回流比，進而找出操作線方程，最后再進行塔板數的計算。

3.5.1　汽液相平衡關系

汽液相平衡是精餾塔計算的理論依據，下面簡單介紹一下汽液相平衡關系。

假設組分A和B形成理想液態混合物，組分A的平衡分壓pA由于被組分B稀釋而降低，依據拉烏爾定律，pA可用下式表示：

　　 （3-20） 　　

式中，表示純液體A的蒸氣壓；xA表示溶液中組分A的摩爾分數。

同理，將上述關系應用于組分B，則有：

　　 （3-21） 　　

式中，表示純液體B的蒸氣壓；xB表示溶液中組分B的摩爾分數。

依據道爾頓分壓定律，混合液的汽相總壓可表示為：

　　 （3-22） 　　

又由于xB=1-xA，上式中若省略下標A，液相組成用易揮發組分A的摩爾分數x表示，式（3-22）可寫成：

　　 （3-23） 　　

式（3-23）也可整理為：

　　 （3-24） 　　

在一定的總壓p下，對于某一指定溫度t，可查得蒸氣壓數據、，則可通過式（3-24）計算液相組成x。

又由道爾頓分壓定律，易揮發組分A的汽相組成可用分壓表示如下：

y=pA/p　　（3-25）

則組分B的汽相組成也便可知。

　　 此處若引入相對揮發度的概念， 　　 　　 （3-26）

則依然由道爾頓分壓定律，式（3-26）可寫成：

　　 （3-27） 　　

又二元物系可用單一變量表示相組成，此處用易揮發組分A的組成表示汽液相組成，且省略下標A，式（3-27）可寫成：

　　 （3-28） 　　

式（3-28）表示互成平衡的汽液兩相組成y與x的關系，稱為理想溶液的汽液平衡方程式。當α值已知，便可由x（或y）求出平衡時的y（或x）。

圖3-10給出了苯-甲苯物系在總壓為1atm下的相平衡相圖。在精餾操作中，廣泛應用到汽液平衡組成的相圖，又稱x-y相圖。由于汽相中易揮發組分的含量比液相中多，即y>x，所以，x-y汽液相平衡曲線與對角線相比，向上突出。x-y曲線突出得離對角線越遠，說明易揮發組分的揮發度越大，越有利于在精餾過程中進行分離。

3.5.2　物料衡算及操作線

為了計算離開各層塔板的組成，除了應用式（3-28）進行汽液相平衡計算以外，還需要計算自任一塔板下降的液相組成與其下層塔板上升的汽相組成之間的關系。由于在加料塔板上有物料進入，使得精餾段與提餾段的汽、液相流量有所不同。現分別就精餾段與提餾段分別進行分析。

（1）精餾段操作線

精餾段的操作過程如圖3-11所示。

塔板序號自上而下數，離開各層塔板的汽、液相組成分別以y1，x1，y2，x2，…，yn，xn表示。自第一層塔板上升的蒸氣若全部冷凝，冷凝液的組成y1與給定的產品組分xD相等。基于理論塔板的概念，離開各層塔板的汽、液相達到平衡，則可根據汽液平衡關系式（3-28）計算出x1。

計算自第二層塔板上升蒸氣的組成y2，則需要尋求其他關系。精餾段上升蒸氣經冷凝后的冷凝液一部分（D）作為產品流出，另一部分（L）回流至塔內。基于恒摩爾流假定，離開各層塔板的液體流量均為L，氣體流量均為V。對圖3-11所示虛線范圍進行物料衡算則有：

V=L+D　　（3-29）

Vy2=Lx1+DxD　　（3-30）

由以上兩式可得，

　　 （3-31） 　　

由此便可計算出上升蒸氣的組成y2。

同理，若是對整個精餾段做物料衡算，則可得

　　 （3-32） 　　

若引入回流比的概念，則式（3-32）可寫成：

　　 （3-33） 　　

式（3-32）、式（3-33）均稱為精餾段操作線方程，表示精餾段中相鄰兩層塔板之間的上升蒸汽組成yn+1與下降液體組成xn之間的關系。

精餾段操作線方程對應的曲線稱為精餾段操作線，是一條斜率為（或）的直線。精餾段相鄰兩層塔板之間的組成點（xn，yn+1）均在精餾段操作線上，如圖3-12所示。

交替應用相平衡關系以及精餾段操作線關系可求得精餾段各個塔板上的汽液相組成。此種計算方法被稱為逐板計算法，較為煩瑣，但對于理解精餾過程至關重要。

在圖3-12中再做出相平衡曲線，就可以用所謂的x-y圖解法求取汽、液相的組成以及理論塔板數。對于給定的塔頂產品含量要求xD，在操作線上選定點a（xD，xD），由于自第一層塔板上升的汽相組成為y1，對于全凝器有y1=xD，從a點向相平衡曲線作平行線交相平衡曲線于點E1（x1，y1），依據點E1可確定x1。再從點E1（x1，y1）向操作線作垂線交點為A1，由于點A1在操作線上，所以該點的坐標應為A1（x1，y2）。依此類推，再從點A1（x1，y2）向相平衡曲線作平等線交點為E2（x2，y2），這樣可以逐步求得離開各層塔板的汽、液相組成，直到加料板為止。

一般情況下，并不需要詳細知道離開每層塔板的汽、液相組成，而只要求達到指定的分離效果的理論板數。為此，只需要數一數平衡線上的梯級數即可確定理論板數。這種方法稱為x-y圖解法，其理論基礎仍然是交替應用物料平衡與相平衡關系。

（2）提餾段操作線

提餾段的操作過程如圖3-13所示。

自m層塔板下降的液相組成與自其下層塔板上升的汽相組成仍然符合相平衡關系。而對于物料平衡，由于在加料板上有進料的影響，使得提餾段的汽、液相流量與精餾段不同，此處假定汽、液相流量分別為L'、V'，則對圖3-13中虛線所示范圍做物料衡算有：

L'=V'+W　　（3-34）

L'xm=V'ym+1+WxW　　（3-35）

由以上兩式可得，

　　 （3-36） 　　

式（3-36）代表操作線上點（xm，ym+1）之間的關系。

省略下標，可得提餾段操作線方程：

　　 （3-37） 　　

式中，塔底產品產量W及其組成xW已知，但塔內的汽、液相流量V'、L'由于受進料的影響，需要根據進料狀況具體分析。可能的進料狀況有以下幾種：過冷液體進料、飽和液體進料、飽和汽液混合物進料、飽和蒸氣進料以及過熱蒸氣進料。

假設進料中液相所占的比例為q，則汽相所占的比例為1-q。如圖3-14所示。

對加料板做物料衡算，則有：

L'=L+qF　　（3-38）

V'=V-（1-q）F　　（3-39）

聯立求解式（3-37）、式（3-33）兩條操作線方程，可以求得兩條操作線的交點d，連接點d與點（xW，xW）便是提餾段操作線。

聯立式（3-38）、式（3-39）以及式（3-2），可求得：

　　 （3-40） 　　

該方程代表了兩條操作線交點d的軌跡，從該式可以看出它完全由進料狀況以及進料組成決定，稱為進料線方程。

根據精餾段操作線與提餾段操作線，利用x-y圖解法，便可求出整個精餾塔所需要的理論板數。

3.5.3　回流比的選擇與確定

（1）回流比的選擇

回流比R的選擇，關乎塔的制造費用與操作費用，選擇回流比R應當使總費用最小。但是對于課程設計而言，很難得到計算各項費用的準確數據，故常常取一個經驗數據，通常取回流R為最小回流比Rmin的1.1～2倍。

（2）最小回流比Rmin的確定

在設計條件下，如選用較小的回流比，兩操作線向平衡線移動，達到指定分離程度所需要的理論板數增多。當回流比減至某一數值時，兩操作線的交點落在平衡線上，此時理論板數為無窮多，此即為指定分離程度時的最小回流比。最小回流比的計算公式為：

　　 （3-41） 　　

式中　ye——操作線與平衡線相交時的汽相組成；

xe——操作線與平衡線相交時的液相組成。

【設計分析1】當回流比選的偏小，則所需理論板數多，在操作時能順利完成分離任務及要求，但設計出的塔板結構對蒸汽及液體負荷的彈性則降低；若回流比偏大，設計出的塔板結構能承擔較大的負荷，但理論板數少，在估算塔板效率時宜選偏小值來滿足分離任務及要求。一般來說，對于難分離或分離要求較高的混合物通常選用較大的回流比；而為了減少加熱蒸汽消耗量等從節能方面考慮則宜采用較小的回流比。統計表明，實際生產中的操作回流比以1.6～1.9倍最小回流比的范圍使用較多。

3.5.4　理論塔板數的計算

精餾塔理論塔板數的求取方法有多種，一般可選用逐板計算法、直角梯級圖解法、捷算法等，下面分別簡要加以介紹。

（1）逐板計算法

逐板計算法也叫解析法。根據理論塔板的概念，假定離開每層塔板的汽、液相組成達到平衡。如果采用全凝器，那么離開第一層塔板的汽相組成y1與塔頂產品組成xD相同，而塔頂組成往往是給定值，應用相平衡方程，可求得離開第一層塔板的液相組成x1，再應用操作線方程，由x1計算出由下層塔板上升的汽相組成y2。這樣依次交替應用相平衡關系與精餾段操作線方程逐板計算每層理論塔板的汽、液相組成，直至達到進料濃度，此處應為進料板。接下來，由精餾段操作線方程改為提餾段操作線方程，仍然交替應用平衡線方程與操作線方程進行逐板計算，直至液相組分小于塔底產品組分。此種計算方法概念清晰，結果準確，特別適用于相對揮發度較小難以分離的物系。但是，該方法的缺點是計算較為繁雜，不過可應用現代計算機技術，以幫助克服此困難。

（2）直角梯級圖解法

直角梯級圖解法本質原理上仍然是交替地應用相平衡關系及物料平衡關系，只是該方法是在x-y圖上交替應用兩個平衡關系，較為直觀地繪出梯級來代表理論塔板。其具體步驟如下。

①在x-y圖中作出待分離混合物系的相平衡曲線以及對角線，如圖3-15所示。

②在x軸上分別定出x=xD、xF、xW三個點，并通過這三個點依次向對角線作垂線分別交于點b、f、a。

③在y軸上定出yc=xD/（R+1）點c，連接ac，即為精餾段操作線。

④由進料狀態求出q線的斜率q/（q-1），通過點f作q線。

⑤q線與ac的交點設為點d，連接bd，即為提餾段的操作線。

⑥從a點開始，在相平衡線與精餾段操作曲線之間作直角梯級。當直角梯級跨過點d時，這個梯級就相當于加料板。然后改為在相平衡線與提餾段操作曲線之間作直角梯級，直至梯級跨過點b為止。根據理論塔板的概念，一個直角梯級代表一塊理論塔板，所有繪制的直角梯級數即為理論塔板數，同時也確定了進料板，最后一個直角梯級代表了再沸器。

該方法與逐板計算法相比，不太精確，為了得到較為準確的結果，可以采用適當的放大比例進行作圖求解。盡管沒有逐板計算法精確，但由于該方法簡單直觀，仍然得到了廣泛的應用。

（3）捷算法

通過分析理論塔板數N與回流比R之間的關系可知，當回流比R從最小回流比Rmin增大至適當的回流比時，理論塔板數N隨之從無窮大減小至一個適當的值，當全回流時，理論塔板數向某一有限值Nmin逼近。如果能夠找出R、Rmin、Nmin、N之間的定量關系，便能確定所需要的理論塔板數。依據這一想法，前人曾對多種二元和多元物系在不同的精餾條件下的數值進行整理，得知以上四個數據之間的確實存在著近似的定量關系，用該關系作圖便被稱為吉利蘭關聯圖，如圖3-16所示。

圖中以X=（R-Rmin）/（R+1）為橫坐標，以Y=（N-Nmin）/（N+1）為縱坐標。應用該圖時，可以根據已知條件求算出橫坐標X的值，從圖上查出對應縱坐標Y的值，從而可以求得理論塔板數N。吉利蘭關聯圖中的曲線也可以近似用其擬合的關系式代替：

Y=0.75（1-X0.567）　　（3-42）

捷算法求解理論塔板數的步驟：

①先按設計條件求出最小回流比Rmin，并選擇操作回流比R。

②計算全回流下的最小理論板數Nmin。

③利用吉利蘭關聯圖，計算全塔理論板數N。

④用精餾段的最小理論板數Nmin1代替全塔的Nmin，確定適宜的進料板位置。

最小理論塔板數Nmin、Nmin1可按以下兩個公式確定：

　　 （3-43） 　　

　　 （3-44） 　　

式中，a表示物系的平均相對揮發度，可用求解。式（3-43）計算所得的最小理論塔板數不包括塔底再沸器。

該方法與逐板計算法相比，較為粗略，適用于設計過程的初步估算。

3.5.5　實際塔板數的計算及塔板效率

在實際的精餾操作過程中，由于汽液相接觸時間有限、液沫夾帶等原因，汽液相通過塔板接觸進行傳熱、傳質后離開塔板，一般情況下不能達到理想的平衡狀態。用塔板效率來表示汽液接觸時的傳質完善程度。

通常用全塔的總板效率來表示塔板效率。總板效率是指在一定的分離要求與回流比下所需要的理論塔板數NT與實際塔板數Np之比，即

ET=NT/Np　　（3-45）

通過上式，若得知總板效率便可求得所需要的實際塔板數。

但是，塔板效率與塔板的結構、需要分離的物料性質以及操作狀況等眾多因素有關。事實上，在板式塔設計中，將所有影響傳質過程的動力學因素全部歸結到塔板效率上了，很難從理論上定量考察塔板效率，至今未獲得令人滿意的解決方法。通常基于經驗數據來確定塔板效率，工業上測定值通常為0.3～0.7。一般有如下方法來確定塔板效率。

①參考使用過程中的同類型的塔板、物系性質相同或相近的塔板效率的經驗數據。

②在生產現場對同類型塔板、類似物系的塔進行實際測定，可得出可靠的塔板效率數據。

③在沒有可靠的經驗數據或實測數據作參考時，可采用奧康爾的蒸餾塔效率關系圖來估算全塔效率，見圖3-17。此圖是經過對幾十個生產中的泡罩塔與篩板塔實際測定的結果，實踐證明此圖也可用于浮閥塔的效率估計。圖中ET、a、μL分別表示全塔效率、平均塔溫下的相對揮發度以及進料液在塔頂和塔底平均溫度下的黏度。圖中曲線也可以用多種關聯式表示，應用較廣泛的關聯式包括：O'Connell關聯式ET=0.49（aμL）-0.245；Eduljee關聯式ET=51-32.5lg（aμL）以及其他眾多關系式。

【設計分析2】其他常用計算塔板效率的方法：

（1）Drickaner-Bradford方法

從大量烴類及非烴類工業裝置的精餾塔實際數據歸納而成。

ET=0.17-0.616lgμ　　（3-46）

式中　μ——塔進料液體平均摩爾黏度，cP（1cP=1mPa·s）。

（2）O'connell方法

在32個工業塔和5個實驗塔的基礎上，得到計算公式：

ET=49（μα）-0.25　　（3-47）

式中　μ——塔進料液體平均摩爾黏度，cP。