第四節　隨機變量函數的分布

在討論正態分布與標準正態分布的關系時，有如下結論：若隨機變量X～N（μ，σ2），則隨機變量

可以看出，Y是隨機變量X的函數，對X的每一個可能取值，Y根據函數關系有唯一確定的值與之對應.因此，Y也是隨機變量，這里稱隨機變量Y是隨機變量X的函數，一般表示為Y=g（X）.

對于隨機變量函數，我們研究的是如何根據Y=g（X）的關系，由隨機變量X的分布得到隨機變量Y的分布，下面就隨機變量X為離散型和連續型兩種情況來討論.

一、離散型隨機變量函數的分布

如果隨機變量X為離散型隨機變量，則它的函數Y=g（X）也必然是離散型隨機變量，可以由X的概率分布求出Y的概率分布.

【例2-4-1】　設隨機變量X的概率分布為

求Y=2X+1和Z=X2的概率分布.

解：

其中，對于Z=X2，P{Z=0}=P{X=0}=0.2

　　　　　P{Z=1}=P{“X=-1”∪“X=1”}=0.15+0.25=0.4

　　　　　P{Z=4}=P{“X=-2”∪“X=2”}=0.05+0.2=0.25

　　　　　P{Z=9}=P{X=3}=0.15

一般地，若隨機變量X的概率分布為

P{X=xk}=pk（k=1，2，…）

則Y=g（X）的全部可能取值為{yk=g（xk）k=1，2，…}，由于其中可能有重復的，所以在求Y的概率分布即計算P{Y=yi}時，要將使g（xk）=yi的所有xk所對應的概率P{X=xk}累加起來，即

二、連續型隨機變量函數的分布

若X為連續型隨機變量，已知其概率密度為fX（x），我們按照分布函數及其性質來求隨機變量函數Y=g（X）的概率密度.

【例2-4-2】　設X～e（λ）和a>0，求Y=aX的概率密度.

解：由于X為連續型隨機變量，則Y=aX也是連續型隨機變量，現已知X的分布函數和概率密度分別為

現求Y=aX的分布函數FY（y）或概率密度fY（y）.

由于X不可能取負值，因此Y也不可能取負值，所以有

當y≤0時　　　　FY（y）=P{Y≤y}=0

　　 當y>0時 　　

因此得到Y的分布函數

對FY（y）求導即得到Y的概率密度

【例2-4-3】　設X～U［0，1］，求Y=-lnX的概率分布.

解：由題可知X的分布函數與概率密度分別為

X僅在［0，1］上取值，因此Y=-lnX只可能在（0，+∞）上取值，所以

當y≤0時，FY（y）=0

當y>0時，FY（y）=P{Y≤y}=P{-lnX≤y}

　　　　　　　　=P{lnX≥-y}=P{X≥e-y}

　　　　　　　　=1-P{X<e-y}=1-FX（e-y）=1-e-y

因此Y的分布函數

對其求導得Y的概率密度

可見，當X服從［0，1］上的均勻分布時，Y=-lnX服從參數λ=1的指數分布.

按照以上例題的思路，不難得到以下定理

定理　設已知隨機變量X的分布函數FX（x）和密度函數fX（x），又設Y=g（X），其中g（x）為嚴格單調函數，且導數存在，則Y的密度函數為

fY（y）=fX（h（y））｜h'（y）｜

其中h（y）是y=g（x）的反函數，h'（y）是其導數.

證略.

【例2-4-4】　設X～N（μ，σ2），求Y=aX+b（a≠0）的概率密度.

解：由題可知，X的取值范圍為（-∞，+∞），g（x）=ax+b在（-∞，+∞）內嚴格單調且反函數為，導數為.則由定理1可得

可見Y=aX+b～N（aμ+b，a2σ2），即正態隨機變量的線性函數仍為正態隨機變量.