第二章　隨機(jī)變量的分布

第一節(jié)　隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

在第一章中，我們討論了隨機(jī)事件及其概率，為了更全面、系統(tǒng)地研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，找到隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，有必要將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化.為此，人們引入了隨機(jī)變量及其分布的概念.隨機(jī)變量及其與之相關(guān)的一系列概念的引入，使概率論的研究能夠借助數(shù)學(xué)分析工具，為概率論的研究獲得了飛速發(fā)展.

一、隨機(jī)變量

人們對(duì)隨機(jī)事件的興趣常常在其結(jié)果表現(xiàn)的數(shù)量.我們可以在隨機(jī)試驗(yàn)中引入變量用來描述隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.

比如：擲一顆均勻的骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

若記骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X，則X的可能值為1，2，3，4，5，6，每擲一次X取1～6中的一個(gè)，X的取值是隨試驗(yàn)結(jié)果變化的，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果確定后，X的值就相應(yīng)確定，稱X這樣的變量為隨機(jī)變量.

若研究某超市一位顧客購買的商品件數(shù)和顧客付款時(shí)等待的時(shí)間，可記Y表示顧客購買的商品件數(shù)，Y可能取值為0，1，2，3或其他自然數(shù).Y的取值為隨機(jī)的，是一個(gè)隨機(jī)變量，事件“Y<3”即“顧客購買的商品件數(shù)少于3件”.若記Z表示顧客付款的等待時(shí)間，則Z為隨機(jī)變量，事件“Z>5”即“顧客付款等待的時(shí)間超過5分鐘”.

可以看出，隨機(jī)變量是研究隨機(jī)現(xiàn)象的一個(gè)重要工具，也是概率論的一個(gè)基本概念，它的一般定義如下：

［定義1］　設(shè)S為某隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，若對(duì)于S中任意一個(gè)樣本點(diǎn)ω都有唯一的確定的實(shí)數(shù)X（ω）與之對(duì)應(yīng)，即存在一個(gè)定義于S的單值實(shí)函數(shù)X=X（ω），則稱X為隨機(jī)變量.

本書中，一般用大寫英文字母X、Y、Z等表示隨機(jī)變量，其取值用小寫字母x、y、z等表示.

隨機(jī)變量X作為樣本點(diǎn)的一個(gè)函數(shù)，它的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而定.該變量究竟取何值在試驗(yàn)之前是無法確定的，只有在試驗(yàn)之后才知道它的確切值；而試驗(yàn)的各種結(jié)果出現(xiàn)有一定的隨機(jī)性，因此隨機(jī)變量的取值具有隨機(jī)性，這是隨機(jī)變量和普通變量之間的差異.

如果一個(gè)隨機(jī)變量?jī)H取數(shù)軸上的有限個(gè)或可列個(gè)點(diǎn)，則稱此隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量.如果一個(gè)隨機(jī)變量的可能取值充滿數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間，則稱此隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.

【例2-1-1】　區(qū)分以下隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，還是連續(xù)型隨機(jī)變量.

（1）拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面出現(xiàn)的次數(shù)X是可能取0與1兩個(gè)值的隨機(jī)變量.“X=0”表示“出現(xiàn)反面”，“X=1”表示“出現(xiàn)正面”.類似地，檢查一件產(chǎn)品，不合格品數(shù)Y也是一個(gè)僅能取0與1兩個(gè)值的隨機(jī)變量，“Y=0”表示“合格品”，“Y=1”表示“不合格品”.

（2）盒子中裝有6個(gè)紅球、4個(gè)白球，從中任取3個(gè)球，取到的白球數(shù)X是可能取0，1，2，3等四個(gè)值的隨機(jī)變量.

（3）記錄一個(gè)十字路口1小時(shí)通過的汽車數(shù)X，隨機(jī)變量X可能取到的值為0，1，2，…等一切非負(fù)整數(shù).類似地，一本書上的錯(cuò)別字個(gè)數(shù)、單位時(shí)間內(nèi)某個(gè)站臺(tái)上候車的人數(shù)都可以看作取一切非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量.

以上都是離散型隨機(jī)變量，離散型隨機(jī)變量常常與計(jì)數(shù)的過程聯(lián)系在一起，而連續(xù)型隨機(jī)變量則常常與測(cè)量過程聯(lián)系在一起，以下的隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.

（4）電視機(jī)的使用壽命X（單位：小時(shí)）是（0，+∞）上取值的隨機(jī)變量，“X>10000”表示“電視機(jī)的使用壽命超過1萬小時(shí)”.

（5）若某路公共汽車在某站每隔5分鐘通過一次，則某位乘客候車的時(shí)間X（單位：分鐘）是在［0，5］上取值的隨機(jī)變量.

二、分布函數(shù)

研究隨機(jī)變量首先要解決以下兩個(gè)問題：

①隨機(jī)變量可能取哪些值，或取值范圍是什么？

②隨機(jī)變量取值的規(guī)律性如何？

下面定義的分布函數(shù)是為了描述隨機(jī)變量取值規(guī)律性而引入的一個(gè)概念.

［定義2］　設(shè)X為一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，事件“X≤x”的概率為x的函數(shù)，記為

F（x）=P{X≤x}

稱F（x）為X的分布函數(shù).

在有多個(gè)隨機(jī)變量的場(chǎng)合，為了區(qū)分，X的分布函數(shù)也可記為FX（x）.

如果將隨機(jī)變量X看作數(shù)軸上“隨機(jī)點(diǎn)”的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F（x）的函數(shù)值就表示隨機(jī)點(diǎn)X落在區(qū)間［-∞，x］內(nèi)的概率.對(duì)于任意的x1，x2∈R（x1<x2）有

P{x1<X≤x2}=F（x2）-F（x1）　　（2-1-1）

即

P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F（x2）-F（x1）

在上述定義中并沒有限定隨機(jī)變量X是離散的或是連續(xù)的，不論離散型隨機(jī)變量還是連續(xù)型隨機(jī)變量都可以有分布函數(shù).從分布函數(shù)的定義可得到它的以下基本性質(zhì)：

①F（x）是不減函數(shù)且0≤F（x）≤1；

②；

③；

④F（x）是右連續(xù)函數(shù).

【例2-1-2】　向半徑為r的圓內(nèi)任意投擲一點(diǎn)，求此點(diǎn)到圓心的距離X的分布函數(shù)F（x）.

解：因?yàn)?span id="2eyfjyu" class="italic">x<0時(shí)，事件“X≤x”為不可能事件，所以F（x）=P{X≤x}=0；

當(dāng)x≥r時(shí)，事件“X≤x”為必然事件，所以F（x）=P{X≤x}=1；

當(dāng)0≤x<r時(shí)，由幾何概型可知

因此有

【例2-1-3】　設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

（1）求系數(shù)A、B；

（2）計(jì)算P{X≤2}，.

解：（1）根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)，有

得 　　

因此

（2）P{X≤2}=F（2）=1-e-2≈0.8647