2.2　實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的基本方法

數(shù)據(jù)處理是化學(xué)工程與工藝專業(yè)實(shí)驗(yàn)報(bào)告的重要組成部分，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理就是將實(shí)驗(yàn)測得的一系列數(shù)據(jù)經(jīng)過計(jì)算整理后用最適宜的方式表示出來，在化學(xué)工程與工藝專業(yè)實(shí)驗(yàn)中常用列表法、作圖法、圖解法、最小二乘法直線擬合等幾種形式表示。

2.2.1　列表法

將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)按自變量與因變量的對應(yīng)關(guān)系而列出數(shù)據(jù)表格形式即為列表法。列表法具有制表容易、簡單、緊湊、數(shù)據(jù)便于比較的優(yōu)點(diǎn)，也是繪制曲線和整理成為方程的基礎(chǔ)。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表格可分為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄表（原始數(shù)據(jù)記錄表）和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理結(jié)果整理表兩類。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄表是根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容為記錄待測數(shù)據(jù)而設(shè)計(jì)的表格，記錄不同實(shí)驗(yàn)的原始數(shù)據(jù)通常需設(shè)計(jì)不同的表格。在本教材中，為方便讀者記錄原始數(shù)據(jù)，提供了一些原始數(shù)據(jù)記錄的表頭，可供大家參考使用。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理結(jié)果整理表是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算整理間接得出的表格，要盡量清楚地表達(dá)主要變量之間的關(guān)系和實(shí)驗(yàn)結(jié)論。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)擬定表格時應(yīng)注意以下幾個問題。

①表格設(shè)計(jì)要力求簡明扼要、一目了然、便于閱讀和使用，記錄、計(jì)算項(xiàng)目應(yīng)滿足實(shí)驗(yàn)要求。

②表頭應(yīng)列出變量名稱、符號、單位，同時要層次清楚、順序合理。

③表中的數(shù)據(jù)必須反映儀表的精度，應(yīng)注意有效數(shù)字的位數(shù)。

④數(shù)字較大或較小時應(yīng)采用科學(xué)記數(shù)法，例如Re=25500可采用科學(xué)記數(shù)法記作Re=2.55×104，在名稱欄中記為Re/×104，數(shù)據(jù)表中可記為2.55。

⑤在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理結(jié)果整理表格下邊，必須附以具有代表性的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算示例，表明各項(xiàng)之間的關(guān)系，以便閱讀或進(jìn)行校核。

2.2.2　作圖法

作圖法是在坐標(biāo)紙上用圖線表示物理量之間的關(guān)系，揭示物理量之間的聯(lián)系。作圖法具有簡明、形象、直觀、便于比較研究實(shí)驗(yàn)結(jié)果等優(yōu)點(diǎn)，它是一種非常常用的數(shù)據(jù)處理方法。

作圖法的基本規(guī)則如下。

①根據(jù)函數(shù)關(guān)系選擇適宜的坐標(biāo)紙（如直角坐標(biāo)紙、單對數(shù)坐標(biāo)紙、雙對數(shù)坐標(biāo)紙、極坐標(biāo)紙等）和比例，畫出坐標(biāo)軸，標(biāo)明物理量符號、單位和刻度值，并寫明測試條件。

②坐標(biāo)的原點(diǎn)不一定是變量的零點(diǎn)，可根據(jù)測試范圍加以選擇。坐標(biāo)分格最好能使最低數(shù)字的一個單位可靠數(shù)與坐標(biāo)最小分度相當(dāng)。縱、橫坐標(biāo)比例要恰當(dāng)，以使圖線居中。

③描點(diǎn)和連線。根據(jù)測量數(shù)據(jù)，用直尺和筆尖使其函數(shù)對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)準(zhǔn)確地落在相應(yīng)的位置。一張圖紙上畫幾條實(shí)驗(yàn)曲線時，每條圖線應(yīng)用不同的標(biāo)記如“+”、“×”、“·”、“Δ”等符號標(biāo)出，以免混淆。連線時，要使曲線光滑（含直線），并使數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻分布在曲線（直線）的兩側(cè)，且盡量貼近曲線。個別偏離過大的點(diǎn)要重新審核，屬于過失誤差的應(yīng)剔去。

④標(biāo)明圖名，即作好實(shí)驗(yàn)圖線后，應(yīng)在圖紙下方或空白的明顯位置處，寫上圖的名稱，有時還要附上簡單的說明，如實(shí)驗(yàn)條件等，使讀者一目了然。作圖時，一般將縱軸代表的物理量寫在前面，橫軸代表的物理量寫在后面，中間用“-”連接。

⑤最后將圖紙固定在實(shí)驗(yàn)報(bào)告的適當(dāng)位置，便于教師批閱實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

2.2.3　圖解法

在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理時，實(shí)驗(yàn)圖線作出以后，可以由圖線求出經(jīng)驗(yàn)公式及相應(yīng)的參數(shù)。圖解法就是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作好的圖線，用解析法找出相應(yīng)的函數(shù)形式。實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常遇到的圖線是直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)曲線、對數(shù)曲線等。特別是當(dāng)圖線是直線時，采用此方法更為方便。

（1）由實(shí)驗(yàn)圖線建立經(jīng)驗(yàn)公式的一般步驟

①根據(jù)解析幾何知識判斷圖線的類型。

②由圖線的類型判斷公式的可能特點(diǎn)。

③利用半對數(shù)、對數(shù)或倒數(shù)坐標(biāo)紙，把原來的曲線改為直線。

④確定常數(shù)，建立起經(jīng)驗(yàn)公式的形式，并用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)所得公式的準(zhǔn)確程度。

（2）用直線圖解法求直線的方程

如果作出的實(shí)驗(yàn)圖線是一條直線，則經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)為直線方程：

y=kx+b　　（2-36）

要建立此方程，必須由實(shí)驗(yàn)直接求出k和b，通常用斜率-截距法進(jìn)行求解：在圖線上選取兩點(diǎn)P1（x1，y1）和P2（x2，y2），注意不要用原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，而應(yīng)從圖線上直接讀取，其坐標(biāo)值最好是整數(shù)值。所取的兩點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)應(yīng)盡量彼此分開一些，以減小誤差。由解析幾何知，上述直線方程中，k為直線的斜率，b為直線的截距。k可以根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出：

　　 （2-37） 　　

其截距b為x=0時的y值。若原實(shí)驗(yàn)中所繪制的圖形并未給出x=0段直線，可將直線用虛線延長交y軸，則可量出截距。如果起點(diǎn)不為零，也可以由式：

　　 （2-38） 　　

求出截距，將求出的斜率和截距的數(shù)值代入方程中就可以得到經(jīng)驗(yàn)公式。

（3）曲線改直，曲線方程的建立

在很多情況下，函數(shù)關(guān)系是非線性的，但可通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換化成線性關(guān)系，在作圖時用直線表示，這種方法稱為曲線改直。作這樣的變換不僅是由于直線容易描繪，更重要的是很多時候直線的斜率和截距所包含的物理內(nèi)涵是我們所需要的。例如：

①函數(shù)關(guān)系形如y=axb時，式中a、b為參數(shù)，可變換成lgy=blgx+lga，lgy為lgx的線性函數(shù)，斜率為b，截距為lga。

②函數(shù)關(guān)系形如y=abx時，式中a、b為參數(shù)，可變換成lgy=（lgb）x+lga，lgy為x的線性函數(shù)，斜率為lgb，截距為lga。

③函數(shù)關(guān)系形如PV=C時，式中C為參數(shù)，要變換成P=C（1/V），P是1/V的線性函數(shù)，斜率為C。

④函數(shù)關(guān)系形如y2=2px時，式中p為參數(shù)，，y是x1/2的線性函數(shù)，斜率為。

⑤函數(shù)關(guān)系形如y=x/（a+bx）時，式中a、b為參數(shù)，可變換成1/y=a（1/x）+b，1/y為1/x的線性函數(shù)，斜率為a，截距為b。

2.2.4　最小二乘法直線擬合

作圖法雖然在數(shù)據(jù)處理中是一個很便利的方法，但在圖線的繪制上往往會引入附加誤差，尤其在根據(jù)圖線確定常數(shù)時，這種誤差有時會很明顯。為了克服這一缺點(diǎn)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中研究了直線擬合問題（或稱一元線性回歸問題），常用一種以最小二乘法為基礎(chǔ)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法。由于某些曲線的函數(shù)可以通過數(shù)學(xué)變換改寫為直線，例如對函數(shù)y=ae-bx取對數(shù)得lny=lna-bx，lny與x的函數(shù)關(guān)系就變成直線型了。因此這一方法也適用于某些曲線型的規(guī)律。

下面就數(shù)據(jù)處理問題中的最小二乘法原則進(jìn)行簡單介紹。

設(shè)某一實(shí)驗(yàn)中，可控制的物理量取x1，x2，…，xn值時，對應(yīng)的物理量依次取y1，y2，…，yn值。我們假定對xi值的觀測誤差很小，而主要誤差都出現(xiàn)在yi的觀測上。顯然如果從（xi，yi）中任取兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)就可得出一條直線，但這條直線的誤差有可能很大。直線擬合的任務(wù)就是用數(shù)學(xué)分析的方法從這些觀測到的數(shù)據(jù)中求出一個誤差最小的最佳經(jīng)驗(yàn)公式y=a+bx。按這一最佳經(jīng)驗(yàn)公式作出的圖線雖然不一定能通過每一個實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，但是它能以最接近這些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的方式平滑地穿過它們。很明顯，對應(yīng)于每一個xi值，觀測值yi和最佳經(jīng)驗(yàn)式的y值之間存在一偏差，我們稱它為觀測值yi的偏差，即

　　 （2-39） 　　

最小二乘法的原理就是：如各觀測值yi的誤差互相獨(dú)立且服從同一正態(tài)分布，則當(dāng)yi的偏差的平方和最小時，可得到最佳經(jīng)驗(yàn)式。根據(jù)這一原則可求出常數(shù)a和b。

設(shè)以S表示的二次方和，它應(yīng)滿足：

　　 （2-40） 　　

式（2-40）中的各yi和xi是測量值，都是已知量，而a和b是待求的，因此S實(shí)際是a和b的函數(shù)。令S對a和b的偏導(dǎo)數(shù)為零，即可解出滿足式（2-40）的a、b值：

即

其解為：

　　 （2-41） 　　

將得出的a和b代入直線方程，即得到最佳的經(jīng)驗(yàn)公式y=a+bx。

上面介紹了用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)公式中的常數(shù)a和b的方法，是一種直線擬合法。它在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中的運(yùn)用很廣泛，特別是有了計(jì)算機(jī)后，計(jì)算工作量大大減小，計(jì)算精度也能保證，因此它是很有用又很方便的方法。用這種方法計(jì)算出的常數(shù)值a和b是“最佳的”，但并不是沒有誤差，它們的誤差估算比較復(fù)雜。一般地說，一列測量值的大（即實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對直線的偏離大），那么由這列數(shù)據(jù)求出的a、b值的誤差也大，由此定出的經(jīng)驗(yàn)公式可靠程度就低；如果一列測量值的小（即實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對直線的偏離小），那么由這列數(shù)據(jù)求出的a、b值的誤差就小，由此定出的經(jīng)驗(yàn)公式可靠程度就高。

為了檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的函數(shù)關(guān)系與得到的擬合直線之間的符合程度，數(shù)學(xué)上引進(jìn)了線性相關(guān)系數(shù)r來進(jìn)行判斷。r定義為：

　　 （2-42） 　　

式中。r的取值范圍為-1≤r≤1。從相關(guān)系數(shù)的這一特性可以判斷實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合線性。如果r很接近于1，則各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)均在一條直線上。實(shí)驗(yàn)中r如達(dá)到0.999，就表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性關(guān)系非常良好，各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)聚集在一條直線附近。相反，相關(guān)系數(shù)r=0或趨于零，則說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)很分散，基本無線性關(guān)系。因此一般情況下，用直線擬合法處理數(shù)據(jù)時要計(jì)算相關(guān)系數(shù)，尤其是在繪制某儀器的工作標(biāo)準(zhǔn)曲線時，計(jì)算相關(guān)系數(shù)更為重要，因?yàn)樗P(guān)系到所繪制的工作標(biāo)準(zhǔn)曲線的可靠程度。