2．整數

1）因數與倍數

（1）概念

因數和倍數：若整數a能夠被b整除，a叫作b的倍數，b就叫作a的因數。

公因數：幾個數公有的因數，叫作這幾個數的公因數；其中最大的一個，叫作這幾個數的最大公因數。

公倍數：幾個數公有的倍數，叫作這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫作這幾個數的最小公倍數。

互質數：如果兩個數的最大公因數是1，那么這兩個數叫作互質數。

（2）性質

因數與倍數的性質如下。

一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身；一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。倍數和因數是相互存在的。0是任何整數的倍數。

（3）因數

①表示一個數的因數的方法

（a）列舉法。即把一個數的因數按從小到大的順序列出來。

例子：表示出36的因數。

解：36的因數有1、2、3、4、6、9、12、18、36。

（b）集合法。即把一個數的因數按從小到大的順序寫在集合圈里。

例子：表示出36的因數。

解：36的因數如圖1-1所示。

②求一個數的因數的方法

（a）用乘法找。

用乘法找就是用因數和倍數的關系來找。

例子：找出36的所有因數。

解：首先我們在自然數的范圍內找出所有乘積為36的乘法算式。一般我們會從1開始找起。

1×36=36, 2×18=36, 3×12=36, 4×9=36, 6×6=36

所以，1、2、3、4、6、9、12、18、36都是36的因數。

（b）用除法找。

用除法找，就是用整除的意義來找。

例子：找出36的所有因數。

解：首先我們找出36除以哪些數可以整除。一般我們會從1開始找起。

36÷1=36, 36÷2=18, 36÷3=12, 36÷4=9, 36÷6=6

所以，1、2、3、4、6、9、12、18、36都是36的因數。

③求一個數有多少個因數

求一個數有多少個因數，可以將這個數分解質因數，然后將相同的因數的積用an的形式表示出來，最后給各因數的指數加1，然后將所得的和連乘，積就是這個數的因數的個數。

例子：求180的因數的個數。

解：

180=2×2×3×3×5=22×32×51

所以，180的因數的個數為（2+1）×（2+1）×（1+1）=18（個）。

④最大公因數的性質

（a）幾個數都除以它們的最大公因數，所得的幾個商是互質數。

（b）幾個數的最大公因數都是這幾個數的因數。

（c）幾個數的公因數，都是這幾個數的最大公因數的因數。

（d）幾個數都乘以一個自然數m，所得的積的最大公因數等于這幾個數的最大公因數乘以m。

⑤求最大公因數的基本方法

（a）分解質因數法。先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來。

幾個自然數的最大公因數必須包含這幾個自然數全部公有的質因數，因此我們可以先把各個數分解質因數，再把這幾個自然數全部公有的質因數選出來并連乘起來，所得的積就是要求的最大公因數。

例子：求18和24的最大公因數。

解：先分別分解質因數。

18=2×3×3

24=2×2×2×3

公有的質因數為2和3，所以18和24的最大公因數是2×3=6。

（b）短除法。先找公有的因數，然后相乘。

用幾個數公有的質因數從小到大依次作為除數，分別去除這幾個數，把除得的商寫在該數的下方，一直除到這幾個商只有公因數1為止，然后把所有的除數連乘起來，所得的積就是這幾個數的最大公因數。

例子：求18和24的最大公因數。

解：根據圖1-2可知，18和24的最大公因數是2×3=6。

（c）輾轉相除法。每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公因數。

具體方法：先用較小的數去除較大的數，再用出現的余數（第一余數）去除除數。接著再用出現的第二余數去除第一余數……直到沒有余數為止。最后的除數就是兩個數的最大公因數。

例子：求18和24的最大公因數。

解：先用24÷18=1……6；

再用18÷6=3，沒有余數；

所以，18和24的最大公因數是6。

（d）特殊方法。

如果兩個數互質，則它們的最大公因數是1；如果較小數是較大數的因數，那么較小數就是這兩個數的最大公因數。

（4）倍數

①表示一個數的倍數的方法

（a）列舉法。

列舉法即把一個數的倍數按從小到大的順序列出來。因為一個數的倍數是無限多個的，無法一一列舉，所以后面可以用省略號表示。

例子：表示出2的倍數。

解：2的倍數有2、4、6、8、10、…

（b）集合法。

集合法即把一個數的倍數按從小到大的順序寫在集合圈里。因為一個數的倍數是無限多個的，無法一一列舉，所以后面可以用省略號表示。

例子：表示出2的倍數。

解：2的倍數如圖1-3所示。

②求一個數的倍數的方法

用這個數分別去乘自然數1、2、3、4、…就可以得出這個數的倍數。

例子：找出5的倍數。

解：我們用5分別與自然數1、2、3、4、5、…相乘即可。

5×1=5, 5×2=10, 5×3=15, 5×4=20, 5×5=25, …

所以，5的倍數為5、10、15、20、25、…

③最小公倍數的性質

（a）兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。

（b）兩個數的最大公因數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。

④求最小公倍數的基本方法

（a）分解質因數法。

求兩個數的最小公倍數，先把每個數分解質因數，再把這兩個數的公有的所有質因數和其中每個數獨有的質因數全部連乘起來，所得的積就是它們的最小公倍數。

例子：求18和24的最小公倍數。

解：先分別分解質因數。

18=2×3×3

24=2×2×2×3

公有的質因數為2和3，18獨有的質因數為3，24獨有的質因數為2和2。

所以，18和24的最小公倍數2×3×3×2×2=72。

（b）短除法：先找公有的因數，然后相乘。

用幾個數公有的質因數從小到大依次作為除數，分別去除這幾個數。在連除時，如果某個數不能被除數整除，就把這個數寫在下方，直到得出的商兩兩互質為止。然后把所有的除數和商連乘起來，所得的積就是這幾個數的最小公倍數。

例子：求18、24和36的最小公倍數。

解：根據圖1-4可知，18、24和36的最小公倍數是2×3×3×2×1×2×1=72。

（c）利用最大公因數求最小公倍數。

因為兩個自然數的最大公因數與它們的最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積，所以，我們可以用這兩個的乘積除以它們的最大公因數，得到的結果即為這兩個數的最小公倍數。

例子：求12和18的最小公倍數。

解：12和18的最大公因數是6。

12×18÷6=36

所以，12和18的最小公倍數是36。

（d）特殊方法。

如果兩個數是互質數，那么它們的最小公倍數是這兩個數的乘積；如果較大數是較小數的倍數，那么較大數就是這兩個數的最小公倍數。

2）整除的特性

如果一個整數a除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有余數，那么叫作a能被b整除或b能整除a，記作b|a。

有些題目，可以利用數的整除特性，根據題目中的部分條件，并借助于選項提供的信息進行求解。一般來說，這類題目的數量關系比較隱蔽，需要一定的數字敏感性才能發掘出來。

（1）數的整除性質

①對稱性。若a能被b整除，b也能被a整除，那么a、b兩數相等。

②傳遞性。若a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

③如果a、b都能被c整除，那么（a+b）、（a-b）與a×b也能被c整除。

④如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。

⑤如果a能被c整除，a能被b整除，且b與c互質，那么a能被b×c整除。

⑥如果a能被b×c整除，且b與c互質，那么a能被b整除，a也能被c整除。

⑦若一個質數能整除兩個自然數的乘積，那么這個質數至少能整除這兩個自然數中的一個。

⑧幾個數相乘，若其中有一個因子能被某一個數整除，那么它們的積也能被該數整除。

（2）判斷數能否被整除

判斷一個數能否被特殊數字整除的方法如下。

①判斷一個數能否被2整除，只需判斷其個位數字能否被2整除。

②判斷一個數能否被3整除，只需判斷其各位數字之和能否被3整除。

③判斷一個數能否被5整除，當一個數的個位為0或5時，此數能被5整除。

④判斷一個數能否被7整除，將此數的個位數字截去，再從余下的數中，減去個位數字的2倍，差是7的倍數，則原數能被7整除。

⑤判斷一個數能否被9整除，只需判斷其各位數字之和能否被9整除。

⑥判斷一個數能否被11整除，將此數的奇位數字之和與偶位數字之和相減，若差能被11整除，則此數能被11整除。

⑦判斷一個數能否被13整除，將此數的個位數字截去，再從余下的數中加上個位數字的4倍，和如果是13的倍數，則原數能被13整除。

⑧判斷一個數能否被17整除，將此數的個位數字截去，再從余下的數中減去個位數字的5倍，差如果是17的倍數，則原數能被17整除。

⑨判斷一個數能否被19整除，將此數的個位數字截去，再從余下的數中加上個位數字的2倍，和如果是19的倍數，則原數能被19整除。

⑩判斷一個數能否被6、10、14、15等數整除，只要判斷這個數能否同時被分解出來的兩個因數整除即可。因為我們知道，6=2×3，10=2×5，14=2×7，15=3×5。

（3）數的整除特征

一個數要想被另一個數整除，該數需含有對方所具有的質數因子。

①1與0的特性：1是任何整數的約數，0是任何非零整數的倍數。

②若一個整數的末位是0、2、4、6或8，則這個數能被2整除。

③若一個整數的數字和能被3（9）整除，則這個整數能被3（9）整除。

④若一個整數的末尾兩位數能被4（25）整除，則這個數能被4（25）整除。

⑤若一個整數的末位是0或5，則這個數能被5整除。

⑥若一個整數能被2和3整除，則這個數能被6整除。

⑦若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除。

⑧若一個整數的末三位數能被8（125）整除，則這個數能被8（125）整除。

⑨若一個整數的末位是0，則這個數能被10整除。

⑩若一個整數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除，則這個數能被11整除（不夠減時依次加11直至夠減為止）。

?若一個整數能被3和4整除，則這個數能被12整除。

?若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中加上個位數的4倍，如果差是13的倍數，則原數能被13整除。

一個三位以上的整數能否被7（11或13）整除，只需看這個數的末三位數字表示的三位數與末三位數字以前的數字所組成的數的差（以大減小）能否被7（11或13）整除。

另外的方法：將一個多位數從后往前三位一組進行分段。奇數段各三位數之和與偶數段各三位數之和的差若能被7（11或13）整除，則原多位數也能被7（11或13）整除。

?若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中減去個位數的5倍，如果差是17的倍數，則原數能被17整除。

?若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中加上個位數的2倍，如果差是19的倍數，則原數能被19整除。

?若一個整數的末三位與3倍的前面的隔出數的差能被17整除，則這個數能被17整除。

?若一個整數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除，則這個數能被19整除。

?若一個整數的末四位與5倍的前面的隔出數的差能被23（或29）整除，則這個數能被23整除。

3）奇數與偶數

（1）概念

在整數中，不能被2整除的數叫作奇數，能被2整除的數叫作偶數。日常生活中，人們通常把奇數叫作單數，把偶數叫作雙數。奇數跟偶數是相對的。

所有整數不是奇數（單數），就是偶數（雙數）。

（2）性質

關于奇數和偶數，有下面一些性質。

①兩個連續整數中必有一個奇數和一個偶數。

②奇數跟奇數的和是偶數；偶數跟奇數的和是奇數；任意多個偶數的和是偶數；奇偶性相同的兩數之和為偶數；奇偶性不同的兩數之和為奇數。

③兩個奇（偶）數的差是偶數；一個偶數與一個奇數的差是奇數。

④奇數個奇數與任意個偶數相加減時，得到的結果（和或差）必為奇數；偶數個奇數與任意個偶數相加減時，得到的結果（和或差）必為偶數。

⑤奇數與奇數的積是奇數；偶數與偶數的積是偶數；奇數與偶數的積是偶數。

⑥n個奇數的乘積是奇數；n個偶數的乘積是偶數；n個數相乘，其中有一個是偶數，則乘積是偶數。

⑦奇數的個位一定是1、3、5、7、9；偶數的個位一定是0、2、4、6、8。所以，在十進制里，可以用看個位數的方式判定該數是奇數（單數）還是偶數（雙數）。

⑧除2之外，所有的正偶數均為合數。

⑨相鄰偶數最大公約數為2，最小公倍數為它們乘積的一半。

⑩偶數的平方可以被4整除，奇數的平方除以2、4、8余1。

?任意兩個奇數的平方差是2、4、8的倍數。

?每個奇數與2的商都余1。

?著名數學家畢達哥拉斯發現一個有趣的奇數現象：將奇數連續相加，每次的得數正好是一個平方數。

如：

1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

1+3+5+7+9=52

1+3+5+7+9+11=62

1+3+5+7+9+11+13=72

1+3+5+7+9+11+13+15=82

1+3+5+7+9+11+13+15+17=92

…

4）質數與合數

質數除了1和它本身外沒有其他約數，合數除了1和它本身外還有其他約數。根據這個特點，即可把整數進行區分。

注意：1既不是質數也不是合數；最小的質數是2；除了2以外，所有的質數都是奇數；最小的合數是4。

（1）判斷質數的方法

①查表法

查質數表內有沒有要查的數，若有它就是質數；若沒有它就是合數（1000以內的質數，如圖1-5所示）。

對于常用的質數，我們最好能把它們記住，這樣對類似題目的運算有很大幫助。

100以內的質數：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

例子：請根據給出數字之間的規律，填寫空缺處的數字。

2、4、7、12、19、（ ）

A．21

B．27

C．30

D．41

解：計算相鄰兩個數之差，我們會發現分別為2、3、5、7、…這是一個質數數列，所以下一個數字應該是19+11=30。

答案是選項C。

②試除法

可以用2、3、5、7、11、13等質數依次去除要查的數，當除得的商比除數小的時候，就不用再除了，就可以判定要查的數是不是質數了。如果沒有一個質數是它的因數，那么這個數就是質數。

（2）分解質因數

把一個合數分解成若干個質因數的乘積的形式，即求質因數的過程，叫作分解質因數。

分解質因數只針對合數（分解質因數也稱分解素因數）。求一個數分解質因數，要從最小的質數除起，一直除到結果為質數為止。分解質因數的算式叫作短除法，和除法的性質差不多，還可以用來求多個個數的公因式。

不存在最大質數的證明：（使用反證法）

假設存在最大的質數為N，則所有的質數序列為N1、N2、N3、…、N。

設M=（N1×N2×N3×N4×…×N）+1，

可以證明M不能被任何質數整除，得出M也是一個質數。

而M＞N，與假設矛盾，故可證明不存在最大的質數。

（3）分解質因數的方法

①塔式分解法

對于一個較小的合數，我們可以采用塔式分解法來分解質因數，如圖1-6的（a）和（b）所示。所以，48=2×2×2×2×3。

②短除法

短除法就是在被除數的左邊寫出除數（從最小的質數開始除起），在被除數的下面直接寫出商來。如果得出的商是質數，就把除數和商寫成相乘的形式；如果得出的商還是合數，就按照前面的方法繼續除，直到得到的商是質數為止，然后把所有的除數和最后的商寫成連乘的形式。例如，根據圖1-7可知，48=2×2×2×2×3。

（4）求一個合數的因數個數的簡便方法

要用簡便方法求一個合數的因數個數，先把這個合數分解質因數，再把相同質因數用冪的形式表示，然后給每個質因數的指數分別加1，再相乘，其積就是這個合數的因數的個數。

例子：求120的因數個數。

解：先分解質因數。

120=2×2×2×3×5=23×3×5

這些質因數的指數分別為3、1、1，所以，120有（3+1）×（1+1）×（1+1）=16（個）因數。

5）哥德巴赫猜想

1742年，德國著名數學家哥德巴赫在給歐拉的信中提出了以下兩個大膽的猜想。

（1）任何不小于4的偶數，都可以是兩個質數之和（如4=2+2）。

（2）任何不小于7的奇數，都可以是三個質數之和（如7=2+2+3）。

之所以叫猜想，就是因為哥德巴赫無法證明它。這就是數學史上著名的“哥德巴赫猜想”。顯然，第二個猜想是第一個猜想的推論。因此，只需證明第一個猜想是正確的就足夠了。

歐拉給哥德巴赫回信時說，這個命題看來是正確的，但是他也給不出嚴格的證明。同時歐拉據此又提出了另一個命題：任何一個大于2的偶數都是兩個素數之和。這個命題他也沒能給予證明。

現在的哥德巴赫猜想陳述主要為歐拉的這個版本，又稱為“強哥德巴赫猜想”或“關于偶數的哥德巴赫猜想”。

許多數學家都躍躍欲試，甚至一生都致力于證明哥德巴赫猜想。可是直到19世紀末，哥德巴赫猜想的證明也沒有任何進展。證明哥德巴赫猜想的難度，遠遠超出了人們的想象。有的數學家把哥德巴赫猜想比喻為“數學王冠上的明珠”。

20世紀的數學家們研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是篩選法、圓法、密率法和三角和法等高深的數學方法。解決這個猜想的思路，就像“縮小包圍圈”一樣，逐步逼近最后的結果。

設N是偶數，雖然不能證明N是兩個素數之和，但足以證明它能夠寫成兩個殆素數（即素數因子）的和，即N=A+B，其中A和B的素數因子個數都不太多。

用“a+b”來表示以下命題：每個大偶數N都可表示為A+B，其中A和B的素數因子個數分別不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成“1+1”。在這一方向上的進展都是用所謂的篩選法得到的。

1920年，挪威數學家布朗證明了定理“9+9”，由此劃定了進攻“哥德巴赫猜想”的“大包圍圈”。這個所謂的“9+9”，翻譯成數學語言就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成其他兩個數之和，而這兩個數中的每個數，都是9個奇質數之積。”從這個“9+9”開始，全世界的數學家集中力量“縮小包圍圈”，當然最后的目標就是“1+1”。

1924年，德國數學家雷德馬赫證明了定理“7+7”。很快，“6+6”“5+5”“4+4”和“3+3”逐一被攻陷。1957年，中國數學家王元證明了“2+3”。1962年，中國數學家潘承洞證明了“1+5”，同年又和王元合作證明了“1+4”。1965年，蘇聯數學家證明了“1+3”。

1966年，中國著名數學家陳景潤攻克了“1+2”，也就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成兩個數之和，而這兩個數中的一個就是奇質數，另一個則是兩個奇質數的積。”這被世界數學界稱為“陳氏定理”。

由于陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最后結果“1+1”僅有一步之遙了。但為了實現這最后的一步，也許還要歷經一個漫長的探索過程。