一、數的認識

1．數字

1）數字的誕生和發展

數字作為數學大廈的基石，是人類進化的產物。數的概念的形成可能與火的使用一樣古老，它對于人類文明的意義也絕不亞于火的使用。

在幾百萬年以前，我們的祖先還完全沒有數的概念。原始人類過著群居的生活。白天共同勞動，采集果薯，捕獵鳥獸，晚上住在洞穴里，共同享用勞動所得。逐漸對“數”產生了朦朧的概念，但也僅限于“有”“無”“多”“少”。他們狩獵而歸，獵物或有或無。同時，他們也會注意到一只羊與許多只羊、一頭狼與整群狼在數量上的差異。

隨著文明的進步，這些模糊不清的概念越來越難以滿足生產、生活的需要。由于記事和分配生活用品等方面的需要，逐漸產生了數的概念。最早人們利用自己的手指頭、石塊或者木棍來計數。比如，捕獲了1頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。公元前1500年，南美洲秘魯印加族（印第安人的一部分）習慣于“結繩計數”——每收進一捆莊稼，就在繩子上打個結，用結的多少來記錄收成。根據我國古書《易經》的記載，上古時期的中國人也是“結繩而治”，就是用在繩上打結的辦法來記事表數。傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數。

另外，用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，也是古人常用的辦法。底格里斯河與幼發拉底河之間及兩河周圍，叫作美索不達米亞，那里產生過一種文化，與埃及文化一樣，也是世界上最古老的文化之一。美索不達米亞人用在樹木或者石頭上刻痕劃印來記錄流逝的日子。后來，他們逐漸以符號代替刻痕，用1個符號表示1件東西，2個符號表示2件東西，以此類推，這種計數方法延續了很久。后來又改為“書契”，即用刀在竹片或木頭上刻痕計數。直到今天，我們中國人還經常會使用寫“正”字來計數。每寫一畫代表“一”，而“正”字正好是五畫，還包含著“逢五進一”的意思。

到了后來，人們發現僅僅用自然數來計數是遠遠不夠的。比如，分配物品時，3個人分2件東西，每個人該分多少呢？于是分數就產生了。

接著人們又發現很多數量具有相反的意義，比如，增加和減少、前進和后退，為了表示這樣的量，又產生了負數。正數、負數和零，統稱為有理數。

公元前2500年，畢達哥拉斯的學生在研究1與2的比例中項時，發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它，這個新數的出現使畢達哥拉斯感到震驚，緊接著人們又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率就是最重要的一個，人們就把這些數稱作無理數。有理數和無理數一起統稱為實數。

但是后來，在解方程的時候常常需要開平方，如果被開方數是負數，這道題還有解嗎？如果沒有解，那么數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。于是數學家們就規定用符號“i”表示“－1”的平方根，虛數就這樣誕生了。

數字的概念發展到虛數以后，在很長一段時間內，就連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了。可是1843年10月16日，英國數學家哈密爾頓又提出了“四元數”的概念。所謂四元數，就是由一個標量（實數）和一個向量（其中x、y、z為實數）組成的數。四元數在數論、群論、量子理論以及相對論等方面有著廣泛的應用。與此同時，人們還開展了對“多元數”理論的研究。

到目前為止，數字的“家族”已發展得十分龐大。至于究竟什么時候才能把數字家族的成員全部湊齊，依然是未知數！

2）阿拉伯數字

阿拉伯數字，其實并不是阿拉伯人發明創造的，而是發源于古印度。后來被阿拉伯人掌握、改進，并傳到了西方，西方人非常喜愛這套方便、實用的計數符號，便將這些數字稱為阿拉伯數字。慢慢地，世界各地都認同了這個叫法。盡管后來人們知道了事情的真相，但由于習慣使然，也就一直沒有改正過來。

在古代印度，進行城市建設時需要設計和規劃，進行祭祀時需要計算日月星辰的運行，于是，數學計算就產生了。大約在公元前3000年，印度河流域居民的數字就比較先進，而且采用了十進位的計算方法。到公元前3世紀，印度出現了整套的數字，但各地區的寫法并不完全一致，其中最有代表性的是婆羅門式。現代數字就是由這一組數字演化而來的。當時，在這一組數字中，只有1～9九個符號，還沒有出現“0”這個數字。“0”是到了笈多王朝（公元320—550年）時期才出現的。

這些阿拉伯數字不單單用來計數，還有著豐富的哲學內涵。

1：可以看作是數字“1”，也可以看作是一根棍子、一個拐杖、一把豎立的槍、一支蠟燭……

2：可以看作是數字“2”，也可以看作是一只木馬、一個跪著的人、一個陡坡、一個滑梯、一只鵝……

3：可以看作是數字“3”，也可以看作是兩根手指、斗雞眼、樹杈、立起來的W……

4：可以看作是數字“4”，也可以看作是一個蹲著的人、小帆船、小紅旗、小刀……

5：可以看作是數字“5”，也可以看作是大肚子、小屁股、音符……

6：可以看作是數字“6”，也可以看作是小蝌蚪、一個頭和一個手臂露在外面的人……

7：可以看作是數字“7”，也可以看作是拐杖、小桌子、板凳、鐮刀……

8：可以看作是數字“8”，也可以看作是數學符號“∞”、花生、套環、雪人……

9：可以看作是數字“9”，也可以看作是一個靠著坐的人、小嫩芽……

0：可以看作是數字“0”，也可以看作是胖乎乎的人、圓形、鞋底、腳丫、瘦子的臉、雞蛋……

3）羅馬數字

羅馬數字是一種現在應用比較少的數量表示方法。但是，它的產生標志著一種古代文明的進步。

羅馬數字是在希臘數字的基礎上建立的一種計數方法。大約在2500年前，羅馬人還處在文化發展的初期，當時他們用手勢來表示數字。比如，為了表示一、二、三、四個物體，就分別伸出一、二、三、四根手指；表示五個物體就伸出一只手；表示十個物體就伸出兩只手。相應地，為了記錄下這些數字，就在羊皮上畫出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ來代替手指的根數；要表示一只手時，就寫成“Ⅴ”形，表示大拇指與食指張開的形狀；表示兩只手時，就畫成“ⅤⅤ”形，后來又寫成一只手向上，一只手向下的“Ⅹ”，這就是羅馬數字的雛形。

后來為了表示較大的數，羅馬人用符號C表示一百。C是拉丁詞century的第一個字母，century就是一百的意思。用符號M表示一千。M是拉丁詞mille的第一個字母，mille就是一千的意思。取字母C的一半，成為符號L，表示50。這樣，羅馬數字就有了下面七個基本符號：Ⅰ表示1，Ⅴ表示5，Ⅹ表示10，L表示50，C表示100，D表示500，M表示1000。若在數的上面畫一橫線，這個數就擴大1000倍。這樣就可以表示更大的數字。

用羅馬數字表示數的基本方法一般是把若干個羅馬數字寫成一列，它表示的數等于各個數字所表示的數相加的和。但是也有例外，當符號Ⅰ、Ⅹ或C位于大數的后面時就作為加數；位于大數的前面時就作為減數。具體規則如下。

（1）重復數次。一個羅馬數字重復幾次，就表示這個數的幾倍。

（2）右加左減。在一個較大的羅馬數字的右邊記上一個較小的羅馬數字，表示大數字加小數字。在一個較大的羅馬數字的左邊記上一個較小的羅馬數字，表示大數字減小數字。但是，左減不能跨越等級。比如，99不可以用ⅠC表示，而用ⅩCⅠⅩ表示。

（3）加線乘千。在一個羅馬數字的上方加上一條橫線或者在右下方寫M，表示將這個數字乘以1000，即是原數的1000倍。同理，如果上方有兩條橫線，即是原數的1000000倍。

（4）單位限制。同樣單位最多只能出現3次，如40不能表示為ⅩⅩⅩⅩ，而要表示為ⅩL。

羅馬數字表示大數字時寫起來就比較簡短，但計算十分不便。到現在已經很少有人使用羅馬數字計數了。現在有的鐘表表面仍用它表示時數。此外，在書稿章節及科學分類時也有采用羅馬數字的。

遺憾的是，羅馬數字里沒有0。運算的時候不能進位，不能做除法，即使十分簡單的運算，也極為困難。羅馬教皇還自認為用羅馬數字來表示任何數字不但完全夠用而且十全十美，他們甚至向外界宣布：“羅馬數字是上帝發明的，從今以后不許人們再隨意增加或減少一個數字。”0在羅馬是被禁止使用的。

有一次，一位羅馬學者了解到了關于0的介紹，他認為0對計數是很有益處的，于是便不顧羅馬教皇的禁令，在自己的著作中悄悄記載了一些關于0的用法，并把一些有關0的知識以及在運算中所起到的作用暗中進行傳播。這件事被羅馬教皇知道后，馬上派人把他給囚禁了起來，還大發脾氣地說：“神圣的數，不可侵犯，是上帝創造出來的，絕不允許0這個邪物加進來，弄污了神圣的數！”

但是黑暗終究戰勝不了光明，人們一旦意識到0的重要作用，就會不顧一切地沖破教會的束縛，大膽地使用起它來。

725年，羅馬人開始用字母N（N是nulla的簡稱，拉丁文釋義為零）代表零。

4）中文數字

我們常用的計數方法除了阿拉伯數字外，還有中文數字。中文數字又分為小寫與大寫。

阿拉伯數字與中文數字大小寫對照表見表1-1。

通過上面的表格我們可以看出，不管是阿拉伯數字（1、2、3…），還是漢字小寫數碼（一、二、三……），由于筆畫簡單，都容易被涂改偽篡。所以一般文書和商業財務票據上的數字都要采用中文大寫數字：壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟。而像萬、億這類數字，本身筆畫已經比較復雜，而且使用機會也較少，沒有必要再用別的字代替。

這些漢字很早就已經產生了，而用作大寫數字，屬于假借。數字的這種繁化寫法，早在唐代就已經全面地使用了，后來逐步規范化成為一套大寫數碼，并一直沿用至今。

中文大寫數字的廣泛應用，主要是防止人篡改數字進行經濟犯罪而采取的有效措施。

明朝初年，一起涉及12名高官、6個部的左右侍郎的重大“郭桓貪污案”，就是利用空白賬冊大做假賬，通過篡改數字大肆侵吞錢糧，累計高達2400多萬石，這個數字幾乎和當時全國秋糧實征總數相當。朱元璋對此大為震怒，下令將郭桓等同案犯幾萬人斬首示眾，同時制定了懲治經濟犯罪的嚴格法令，并在財務管理上進行技術防范——把漢字中的數字改為難以涂改的大寫，即將“一二三四五六七八九十百千”改為“壹貳叁肆伍陸柒捌玖拾佰仟”等，被稱為中國歷史上金額數字大寫的首創。

到了現代社會的今天，銀行票證、流動支票、實用發票、合同協議、賬目單據等各類經濟文本必須標明大寫數字，已經成為“約定俗成”的規則。

票據規定，銀行、單位和個人填寫票據與結算憑證，必須做到標準化、規范化，要求要素齊全、數字正確、字跡清晰、不錯漏、不潦草，防止涂改。中文大寫金額數字應用正楷或行書填寫，如壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬、億、元、角、分、零、整（正）等字樣。不得用一、二（兩）、三、四、五、六、七、八、九、十、念、毛、另（或○）填寫，不得自造簡化字。如果金額數字書寫中使用繁體字，如貳、陸、億、萬、圓的，也應受理。