3．乘法

（1）乘法的意義

乘法是指將相同的數加起來的快捷方式。

在乘法中，相乘兩個數叫作因數或乘數，乘得的結果叫作積。如a乘b等于c，寫作a×b=c，其中，a和b都叫作因數或乘數，c叫作積。

（2）乘法算式中各部分之間的關系

一個因數×另一個因數=積

積÷一個因數=另一個因數

（3）乘法的計算法則

①整數乘法。從個位開始，先用第二個因數的每一位上的數字分別去乘第一個因數；用第二個因數哪一位上的數字去乘，乘得的積的末位就和那一位對齊。再把幾次乘得的數相加。

②小數乘法。按照整數乘法的法則先求出積；然后看兩個因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點（位數不夠時，用0補足）。

③分數乘法。分數乘分數，分子相乘作分子，分母相乘作分母。有整數的把整數看作分母是1的假分數；有帶分數的，通常先把帶分數化成假分數再計算。

（4）乘法的運算定律

①交換律。兩個數相乘，交換兩個因數的位置，積不變。用字母表示：a×b=b×a。

②結合律。三個數相乘，先乘前兩個數或者先乘后兩個數，積不變。用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c）。

③分配律。兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相加。用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c。

（5）乘法的驗算

①用乘法驗算。利用乘法交換律，把兩個因數交換位置，再乘一次，如果兩次計算的結果相同，就說明計算是正確的。

②用除法驗算。用第一次計算所得的積，除以其中一個因數，如果得到的結果與另一個因數相同，就說明計算是正確的。

（6）積的變化規律

①乘法中，一個因數乘以（或除以）一個數（不為0），另一個因數不變，積也乘以（或除以）這個數。

用字母表示：若a×b=c，則（a×m）×b=c×m（m≠0），（a÷m）×b=c÷m（m≠0）。

②一個因數乘以（或除以）一個數（不為0），另一個因數除以（或乘以）這個數，它們的積不變。

用字母表示：若a×b=c，則（a×m）×（b÷m）=c（m≠0），（a÷m）×（b×m）=c（m≠0）。

1）用補數法做乘法

如果一個乘數接近整十、整百、整千或整萬時，用補數法做乘法可以使其計算過程變簡單。

方法：

（1）將接近整十、整百、整千或整萬的數用整數－補數的形式寫出來。

（2）用另一個乘數分別與這個整數和這個補數相乘，再相減。

例子：計算857×990=_______。

解：

原式=857×（1000-10）=857×1000-857×10=857000-8570=848430

所以，857×990=848430。

2）用中間數做乘法

我們已經知道如何計算數的平方了，而且有一些常用的數的平方我們已經可以記住了。有了這個基礎，可以運用因數分解法來使某些符合特定規律的乘法轉變成簡單的方式進行計算。這個特定的規律就是相乘的兩個數之間的差必須為偶數。

方法：

（1）找出被乘數和乘數的中間數（只有相乘的兩個數之差為偶數，它們才有中間數）。

（2）確定被乘數和乘數與中間數之間的差。

（3）用因數分解法把乘法轉變成平方差的形式進行計算。

例子：計算17×13=_______。

解：首先找出它們的中間數為15（求中間數很簡單，即將兩個數相加除以2即可，一般心算即可求出）。另外，計算出被乘數和乘數與中間數之間的差為2。

所以，

17×13=（15+2）×（15-2）=152-22=225-4=221

所以，17×13=221。

注意：被乘數與乘數相差越小，計算越簡單。

3）用拆分法做兩位數乘法

我們知道一個兩位數或者一個三位數乘以一位數比兩位數乘以兩位數要更容易計算，所以，兩位數乘法中，如果被乘數或者乘數可以分解成兩個一位數的乘積，那么可以把兩位數乘法轉換成一個兩位數或者三位數乘以一位數的問題來簡化計算。

方法：

（1）把其中一個兩位數分解成兩個一位數的乘積。

（2）用另外一個兩位數與第一個一位數相乘。

（3）用第（2）步的結果（可能是兩位數，也可能是三位數）與第二個一位數相乘。

例子：計算51×24=_______。

解：24=4×6

51×4=204

204×6=1224

所以，51×24=1224。

當然，本題也可以把24拆分成3×8。即：

24=3×8

51×3=153

153×8=1224

所以，51×24=1224。

注意：本方法可以擴展成多位數與兩位數相乘。

4）用錯位法做乘法

錯位法，一般又叫作錯位相減法（偶爾也會用到錯位相加法），是在數列求和或分數計算中比較常用的方法。

錯位法多用于等比數列與等差數列相乘的形式。即形如An=BnCn的數列，其中｛Bn｝為等差數列，｛Cn｝為等比數列。分別列出Sn，再把所有式子同時乘以等比數列的公比q，即q·Sn；然后錯開一位，兩個式子相減。這種數列求和方法叫作錯位相減法。

例如：

在①的左右兩邊同時乘上a。

用①－②，得：

即：（1-a）Sn=a+a2+a3+…+an-1+an-nan+1

其中，a+a2+a3+…+an-1+an可以用等比數列的求和公式進行計算。

由此得到：

最后在等式兩邊同時除以（1-a），就可以得到Sn了。

本方法與十字相乘法原理是一致的，只是寫法略有不同，大家可以根據自己的喜好選擇。

方法：

（1）以兩位數相乘為例，將被乘數和乘數的各位上的數字分開寫。

（2）將乘數的個位分別與被乘數的個位和十位數字相乘，將所得的結果寫在對應數位的下面。

（3）將乘數的十位分別與被乘數的個位和十位數字相乘，將所得的結果寫在對應數位的下面。

（4）結果的對應的數位上的數字相加，即可。

例子：計算97×26=_______。

解：

結果為2522。

所以，97×26=2522。

注意：

（1）應對準數位。乘數的某一位與被乘數的各個數位相乘時，結果的數位依次前移一位。

（2）本方法適用于多位數乘法。

5）用節點法做乘法

方法：

（1）將乘數畫成向左傾斜的直線，各個數位分別畫。

（2）將被乘數畫成向右傾斜的直線，各個數位分別畫。

（3）兩組直線相交有若干的交點，數出每一列交點的個數和。

（4）按順序寫出這些和，即為結果（注意進位）。

例子：計算112×231=_______。

解：解法如圖2-2所示。

所以，112×231=25872。

6）用網格法做乘法

方法：

（1）以兩位數乘法為例，把被乘數和乘數分別拆分成整十數與個位數，寫在網格的上方和左方。

（2）對應的數相乘，將乘積寫在格子里。

（3）將所有格子填滿后，計算它們的和，即為結果。

例子：計算586×127=_______。

解：解法如圖2-3所示。

再把格子里的9個數字相加：50000+8000+600+10000+1600+120+3500+560+42=74422。

所以，586×127=74422。

注意：此方法適用于多位數乘法。

7）用三角格子做乘法

方法：

（1）把被乘數和乘數分別寫在格子的上方與右方。

（2）對應的數位相乘，將乘積寫在三角格子里，上面寫十位數字，下面寫個位數字，沒有十位的用0補足。

（3）斜線延伸處為幾個三角格子里的數字的和，這些數字即為乘積中某一位上的數字。

（4）注意進位。

例子：計算1024×58=_______。

解：解法如圖2-4所示。

結果為59392。

所以，1024×58=59392。

注意：此方法適用于多位數乘法。

8）用面積法做兩位數乘法

方法：

（1）把被乘數和乘數十位上數字的整十數相乘。

（2）交叉相乘，即把被乘數的整十數和乘數個位上的數字相乘，再把乘數整十數和被乘數個位上的數字相乘，將兩個結果相加。

（3）把被乘數和乘數個位上數字相乘。

（4）把前三步所得結果加起來，即為結果。

推導：

我們以47×32=________為例，可以畫出圖2-5所示圖例。

可以看出，圖1-12中的面積可以分為a、b、c、d四個部分，其中，a部分為被乘數和乘數十位上數字的整十數相乘；b部分為被乘數個位和乘數整十數相乘；c部分為乘數個位和被乘數整十數相乘；d部分為被乘數和乘數個位上數字相乘。和即為總面積。

例子：計算32×17=_______。

解：30×10=300

30×7+10×2=210+20=230

2×7=14

300+230+14=544

所以，32×17=544。