二、數(shù)的運算

1．加法

（1）加法的意義

把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫作加法。

在加法里，相加的數(shù)叫作加數(shù)，加得的結(jié)果叫作和。如a+b=c中，a和b叫作加數(shù)，c叫作和。

（2）加法算式中各部分之間的關(guān)系

一個加數(shù)+另一個加數(shù)=和

一個加數(shù)=和－另一個加數(shù)

（3）加法的計算法則

①整數(shù)加法。相同數(shù)位對齊，從個位加起，哪一位上的數(shù)字相加滿十，則向前一位進一。

②小數(shù)加法。相同數(shù)位對齊（即小數(shù)點對齊），再按照整數(shù)加法的法則計算。和的小數(shù)點要和加數(shù)的小數(shù)點對齊。

③分數(shù)加法。同分母分數(shù)相加，分母不變，分子相加；異分母分數(shù)相加，先通分，再按照同分母分數(shù)相加的法則計算；結(jié)果能約分的要約成最簡分數(shù)。

（4）加法的運算定律

①加法交換律。兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。用字母表示為a+b=b+a。

②加法結(jié)合律。三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。用字母表示為（a+b）+c=a+（b+c）。

（5）加法的驗算

①用加法驗算。利用加法交換律，把加數(shù)交換位置，再加一次，如果兩次計算的結(jié)果相同，就說明計算是正確的。

②用減法驗算。用第一次計算所得的和，減去其中一個加數(shù)，如果得到的結(jié)果與另一個加數(shù)相同，就說明計算是正確的。

（6）和的變化規(guī)律

①如果一個加數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，另一個加數(shù)不變，那么它們的和也增加（或減少）同一個數(shù)。

用字母表示為a+b=c，則（a+m）+b=c+m，a+（b-m）=c-m。

②如果一個加數(shù)增加一個數(shù)，另一個加數(shù)減少同一個數(shù)，那么它們的和不變。

用字母表示為a+b=c，則（a+m）+（b-m）=c。

③如果一個加數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，另一個加數(shù)也增加（或減少）一個數(shù)，那么它們的和就增加（或減少）這兩個數(shù)的和。

用字母表示為a+b=c，則（a+m）+（b+n）=c+（m+n），（a-m）+（b-n）=c－（m+n）。

1）用湊整法做加法

方法：

（1）在兩個加數(shù)中選擇一個數(shù)，加上或減去一個數(shù)，使它變成一個末尾是0的數(shù)。

（2）同時在另一個數(shù)中相應(yīng)地減去或加上這個數(shù)。

口訣：一邊加，一邊減。

例子：計算2991+1452=_______。

解：2991差9到3000

則有：

2991+1452=（2991+9）+（1452-9）=3000+1443=4443

所以，2991+1452=4443。

注意：兩個加數(shù)要一邊加，一邊減，才能保證結(jié)果不變。

2）用補數(shù)法做加法

若兩數(shù)之和是10、100、1000、…、10n（n是正整數(shù)），那么這兩個數(shù)就互為補數(shù)。例如，4和6、88和12、455和545等就互為補數(shù)。而廣義上來講，假定M為模，若數(shù)a和b滿足a+b=M，則稱a、b互為補數(shù)。也就是說，補數(shù)是一個數(shù)為了成為某個標(biāo)準數(shù)而需要加的數(shù)。在數(shù)學(xué)速算中，一般經(jīng)常會用到的有兩種補數(shù)：一種是與其相加得該位上最大數(shù)（9）的數(shù)，稱為9的補數(shù)；另一種是與其相加能進到下一位的數(shù)，稱為10的補數(shù)。

補數(shù)法是從湊整法發(fā)展出來的，也算作是湊整法的一種特例。

方法：

（1）在兩個加數(shù)中選擇一個數(shù)，寫成整十?dāng)?shù)或者整百數(shù)減去一個補數(shù)的形式。

（2）將整十?dāng)?shù)或者整百數(shù)與另一個加數(shù)相加。

（3）減去補數(shù)即可。

口訣：加大減差。

例子：計算89+53=_______。

解：89的補數(shù)為11，

則有：

89+53=(100-11)+53=100+53-11=153-11=142

所以，89+53=142。

注意：

（1）這種方法適用于其中一個加數(shù)加上一個比較小的、容易計算的補數(shù)后可以變?yōu)檎當(dāng)?shù)或者整百數(shù)的題目。

（2）做加法一般用的是與其相加能進到下一位的補數(shù)。而另外一種補數(shù)，也就是與其相加能夠得到該位上最大數(shù)的補數(shù)，以后我們會學(xué)習(xí)到。

3）用基準數(shù)法做連加法

基準數(shù)就是選一個數(shù)作為標(biāo)準，方便其他的數(shù)和它比較。通常選取一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值中間的某個比較整的數(shù)。

基準數(shù)法多用于一組比較接近的數(shù)的求和或求平均值，也可用于接近整十整百的數(shù)的乘法和乘方的速算。

基準數(shù)法用于求和的基本公式如下。

（1）和=基準數(shù)×個數(shù)+浮動值。

（2）平均數(shù)=基準數(shù)+浮動值÷個數(shù)。

許多數(shù)相加，尤其是在統(tǒng)計數(shù)據(jù)時，如果這些數(shù)都接近一個數(shù)，我們可以把這個數(shù)確定為一個基準數(shù)，以這個數(shù)為“代表”，乘以相加的個數(shù)，再將其他的數(shù)與這個數(shù)比較，加上多出的部分，減去不足的部分。這樣就可以使計算過程大大地簡便。

方法：

（1）觀察各個加數(shù)，從中選擇一個適當(dāng)?shù)闹虚g數(shù)作為基準數(shù)。

（2）通過對各個加數(shù)的“割”“補”，變成基準數(shù)加上或減去一個很小的數(shù)的形式，采用“以乘代加”和化大數(shù)為小數(shù)的方法進行速算。

例子：計算87+98+86+97+90+88+99+93+91+87=_______。

解：

原式=90×10-3+8-4+7-2+9+3+1-3=90×10+16=916

所以，87+98+86+97+90+88+99+93+91+87=916。

4）用拆分法做加法（1）

數(shù)的拆分是解決一些分段數(shù)學(xué)問題的有效方法，一般可以把一個數(shù)拆分成幾個數(shù)的和或者積的形式。我們可以根據(jù)數(shù)字的性質(zhì)，尤其是整除特性和尾數(shù)規(guī)律，運用我們學(xué)過的運算定律，有目的地對數(shù)字進行快速拆分，以達到比采用常規(guī)的列方程、十字交叉和代入排除等方法省時省力的目的。數(shù)的拆分和轉(zhuǎn)化可以將數(shù)量的間接聯(lián)系轉(zhuǎn)化為直接聯(lián)系，進而能夠利用已知條件進行直接的比較和計算。

例如，計算10634×4321+5317×1358。

此題如果直接乘之后相加，數(shù)字較大，而且非常容易出錯。如果將10634變?yōu)?317×2，規(guī)律就出現(xiàn)了。

10634×4321+5317×1358=5317×2×4321+5317×1358=5317×8642+5317×1358=5317×(8642+1358)=5317×10000=53170000

提取公因式是運用拆分法的典型例子。提取公因式進行簡化計算是一個最基本的四則運算方法，但一定要注意提取公因式時公因式的選擇。

例如，計算999999×777778+333333×666666。

方法1：

原式=333333×3×777778+333333×666666=333333×（3×777778+666666）=333333×（2333334+666666）=333333×3000000=999999000000

方法2：

原式=999999×777778+333333×3×222222=999999×777778+999999×222222=999999×（777778+222222）=999999×1000000=999999000000

方法1和方法2在公因式的選擇上有所不同，導(dǎo)致計算的簡便程度不相同。

我們在做加法的時候，一般都是從右往左計算，這樣方便進位。而在印度，他們都是從左往右算的。因為我們寫數(shù)字的時候是從左往右寫的，所以從左往右算會大大提高計算速度。這也是印度人計算速度比我們快的主要原因。從左到右計算加法就需要對數(shù)字進行拆分。

方法：

（1）我們以第二個加數(shù)為三位數(shù)為例。先用第一個加數(shù)加上第二個加數(shù)的整百數(shù)。

（2）用第（1）步的結(jié)果加上第二個加數(shù)的整十?dāng)?shù)。

（3）用第（2）步的結(jié)果加上第二個加數(shù)的個位數(shù)即可。

例子：計算756+829=_______。

解：756+800=1556

1556+20=1576

1576+9=1585

所以，756+829=1585。

注意：這種方法其實就是把第二個加數(shù)拆分成容易計算的數(shù)分別相加。

5）用拆分法做加法（2）

上面的方法中我們把一個加數(shù)進行了拆分，下面我們來學(xué)習(xí)如何把兩個加數(shù)同時進行拆分。下面以三位數(shù)加法作為示例：如果兩個加數(shù)都是三位數(shù)，那么可以把它們分別分解成百位、十位和個位三部分，然后分別進行計算，最后相加。

方法：

（1）把兩個加數(shù)的百位數(shù)字相加。

（2）把兩個加數(shù)的十位數(shù)字相加。

（3）把兩個加數(shù)的個位數(shù)字相加。

（4）把前三步的結(jié)果相加，注意進位。

口訣：百加百，十加十，個加個。

例子：計算328+321=_______。

解：首先計算300+300=600，

再計算20+20=40，

再計算8+1=9，

結(jié)果就是600+40+9=649。

所以，328+321=649。

注意：這種方法還可以做多位數(shù)加多位數(shù)，而且并不一定需要兩個加數(shù)的位數(shù)相等。

6）用分組法求連續(xù)數(shù)的和

分組法，是根據(jù)算式中數(shù)字的特征以及計算規(guī)律，把可以湊整或者可以提取公因式的若干項歸為一組，可以快速而簡便地計算出題目的結(jié)果。

一般能用分組法來計算的題目都會有四項或六項或大于六項，一般四項的分組分解有兩種形式：2+2分法，3+1分法。

2+2分法：

ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)

我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配。同樣，這道題也可以用另外一種方式來分組。

ax+ay+bx+by=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)

3+1分法：

2xy-x2+1-y2=1－(x2-2xy+y2)=1－(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y)

一些看起來很難計算的題目，采用分組法，往往可以使它很快地解答出來。

求連續(xù)數(shù)的和最簡單的辦法就是運用分組法。所謂連續(xù)數(shù)就是有一定順序和規(guī)律的序貫數(shù)字，比如1、2、3、4、5、…

方法：

（1）把首尾兩個數(shù)相加。

（2）把第（1）步的結(jié)果除以2。

（3）再乘上這些數(shù)字的個數(shù)［（2）、（3）兩步可以調(diào)換順序］。

原理：著名的德國數(shù)學(xué)家高斯小時候就做過的“百數(shù)求和”的問題，即求1+2+3+…+99+100=_______。

方法其實很簡單，只要進行分組即可。

1和100一組；2和99一組；

3和98一組；4和97一組；

……

這樣一共可以分成100÷2=50（組），而每組都是1+100=101。

所以，1+2+3+4+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050。

這種算法的思路，見于書籍中最早的是我國古代的《張丘建算經(jīng)》。張丘建利用這一思路巧妙地解答了“有女不善織”這一名題。

“今有女子不善織，日減功，遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。問織幾何？”

題目的意思是有位婦女不善于織布，她每天織的布都比上一天減少一些，并且減少的數(shù)量都相等。她第一天織了5尺布，最后一天織了1尺，一共織了30天。問她一共織了多少布？

張丘建在《張丘建算經(jīng)》上給出的解法：“并初末日織尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得。”“答曰：二匹一丈。”

這一解法，用現(xiàn)代的算式表達，就是：（5尺+1尺）÷2×30天=90尺。

因為古代算法為1匹=4丈，1丈=10尺，所以，90尺=9丈=2匹1丈。

這道題的解題思路為如果把這婦女從第一天直到第30天所織的布都加起來，算式應(yīng)該是5+…+1。在這一算式中，每一個往后加的加數(shù)，都會比它前一個緊挨著它的加數(shù)遞減一個相同的數(shù)，而這一遞減的數(shù)不會是個整數(shù)。若把這個式子反過來，則算式便是1+…+5，此時，每一個往后的加數(shù)，就都會比它前一個緊挨著它的加數(shù)遞增一個相同的數(shù)。同樣，這一遞增的相同的數(shù)，也不是一個整數(shù)，而且這個遞增的數(shù)與上一個遞減的數(shù)是相同的。

假如把上面這兩個式子相加，并在相加時利用“對應(yīng)的數(shù)相加和會相等”這一特點，那么，就會出現(xiàn)下面的式子。

共計30個6。

所以，這個婦女30天織的布是6×30÷2=90（尺）。

例子：計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=_______。

解：1+10=11

11÷2=5.5

5.5×10=55

所以，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55。

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等差數(shù)列

在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)就叫作等差數(shù)列。

（1）基本概念

首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用a1表示。

項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示。

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示。

通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示。

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示。

（2）基本思路

等差數(shù)列中涉及五個量：a1、an、d、n、Sn，通項公式中涉及四個量，如果已知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果已知其中三個，就可以求出第四個。

（3）基本公式

通項公式：an=a1+（n-1）d

即an等于“首項+（項數(shù)－1）×公差”。

數(shù)列和公式：Sn=（a1+an）n/2

即Sn等于“（首項+末項）×項數(shù)／2”。

項數(shù)公式：n=（an-a1）／d+1

即n等于“（末項－首項）／公差+1”。

公差公式：d=（an-a1）／（n-1）

即d等于“（末項－首項）／（項數(shù)－1）”。

所以，關(guān)鍵問題就是確定已知量和未知量，進而確定該使用什么公式。

（4）性質(zhì)

①等差數(shù)列的平均值等于正中間的那個數(shù)（奇數(shù)個數(shù)）或者正中間那兩個數(shù)的平均值（偶數(shù)個數(shù)）。

②任意角標(biāo)差值相等的兩個數(shù)之差都相等，即An+i-An=Am+i-Am。

（5）一些常見等差數(shù)列的和

自然數(shù)和：1+2+3+…+n=n（n+1）／2

奇數(shù)和：1+3+5+…+（2n-1）=n2

偶數(shù)和：2+4+6+…+2n=n（n+1）

7）用格子法做加法

方法：

（1）根據(jù)要求的數(shù)字的位數(shù)畫出（n+2）×（n+2）的方格，n為兩個加數(shù)中較大的數(shù)的位數(shù)。

（2）第一行第一列的位置寫上“+”，然后在下面的格子里豎著寫出第一個加數(shù)（每個格子寫一個數(shù)字，且要保證兩個加數(shù)的位數(shù)一致，如果不足，將少的前面用0補足）。

（3）第二列空著，留給結(jié)果進位使用。

（4）從第一行第三列的位置開始橫著寫出第二個加數(shù)（每個格子寫一個數(shù)字）。

（5）分別將兩個加數(shù)的各位數(shù)字相加，百位加百位，十位加十位，個位加個位，然后把結(jié)果寫在它們交叉的位置上（超過10則進位寫在前面一格中）。

（6）將所有結(jié)果豎著相加，寫在對應(yīng)的最后一行上，即為結(jié)果（注意進位）。

例子：計算3721+1428=_______。

解：如圖2-1所示，將1428寫在第一列加號的下面，3721寫在第一行第三列至第六列。然后對應(yīng)位置的數(shù)字相加：1+3=4，4+7=11，2+2=4，1+8=9，并分別寫在對應(yīng)的位置上。最后將四個數(shù)字豎向相加，得到5149。

所以，3721+1428=5149。

注意：

（1）前面空一位是為進位考慮，在最高位相加大于10時向前進位。

（2）兩個加數(shù)的位數(shù)要一致，如果不足，將少的用0補足。