二、平面與回轉體的交線——截交線的畫法

在制圖員職業資格證考試中，截交線的考查內容主要是回轉體的截交線，所以在這里，重點討論平面與圓柱、圓錐和圓球相交的截交線的繪制方法和步驟。

（一）求回轉體截交線的一般方法和步驟

1.空間和投影分析

（1）分析截平面與回轉體的相對位置，確定截交線的形狀。

（2）分析截平面與投影面的相對位置，確定截交線的投影特性。

2.畫出截交線的投影

（1）補全三面投影（據情況）。

（2）確定截交線上特殊點（如最高、最低、最左、最右、最前、最后諸點以及可見性分界點等）的三面投影。

（3）求截交線上一般點的三面投影。通過在回轉體表面上取直素線或輔助圓（緯圓），作出素線或輔助圓與截平面的交點。

（4）依次光滑地連接各同面投影點。

3.整理輪廓線，并判斷其可見性 理順輪廓線，并判斷輪廓線的可見性，對虛實線加以正確判斷。

（二）繪制回轉體的截交線

下面通過幾個繪制截交線的例子，說明不同回轉體的截交線作圖的一般方法和步驟。

【例3-1】如圖3-3（a）所示，求圓柱被正垂面截切后的截交線的投影。

空間與投影分析

由于截平面與圓柱軸線傾斜，故截交線應為橢圓，如圖3-3（b）所示。由于截平面垂直于正平面，故截交線的正面投影積聚成直線。由于圓柱面的水平投影具有積聚性，故截交線的水平投影與圓柱面的水平投影重合，側面投影可根據圓柱面上取點的方法求出。

圖3-3 圓柱被正垂面截切

作圖過程

（1）由圖3-3（a）給出的圓柱的兩面投影作出截切前的圓柱的側面投影，如圖3-4（a）所示。

（2）找出截交線上的特殊點。如圖3-4（b）所示，標注出其正面投影1′、2′、3′、（4′），它們是圓柱的最左、最右以及最前、最后素線上的點的正面投影，也是截交線橢圓長、短軸的四個端點的正面投影。作出這四個點的水平投影1、2、3、4和側面投影1′′、2′′、3′′、4′′。

（3）作截交線上一般點的投影。如圖3-4（c）所示，先在正面投影上選取5′、（6′）、7′、（8′），根據圓柱面的積聚性，作出其水平投影5、6、7、8，由點的兩面投影，按投影規律作出側面投影5′′、6′′、7′′、8′′。

（4）由圖3-4（d）所示，將這些點的側面投影依次光滑地連接起來，由于截切掉了上半部分圓柱，截交線的側面投影全部可見，用粗實線連接，就得到截交線的側面投影。

（5）整理輪廓線，仍如圖3-4（d）所示，由于圓柱面的側面投影的轉向輪廓線在3′′、4′′點以上部分被截切，所以只保留這兩點以下的轉向輪廓線和圓柱的底面，畫粗實線。

圖3-4 圓柱的截交線的畫圖步驟

【例3-2】如圖3-5（a）所示，求圓柱被切割后的W面投影。

分析

該圖形是一個與圓柱體的軸線垂直、傾斜、平行的三個平面組合切割成的形體［圖3-5（b）］，即一個是水平面，截交線形狀是圓??；一個是側平面，截交線形狀是矩形；一個是正垂面，截交線形狀是橢圓弧。截交線的正面投影和水平投影已知，只需求出其W面投影。

作圖

（1）根據已知基本體三視圖按投影規律畫出未切割圓柱體W面投影，如圖3-5（c）所示。

（2）水平截平面的截交線為圓弧，其正面投影是已知直線2′—4′（8′）—6′（10′），水平投影是已知圓弧（6）—（4）—（2）—（8）—（10），利用投影規律求其側面投影是直線8″—10″—2″—6″—4″，如圖3-5（d）所示。

（3）側平截平面的截交線為矩形，其正面投影是已知直線5′（9′）—6′（10′），水平投影是已知虛線5（6）—9（10），利用投影規律求其側面投影是矩形5″—6″—10″—9″，如圖3-5（e）所示。

（4）正垂截平面的截交線是橢圓弧，其正面投影是已知直線1′—3′（7′）—5′（9′），水平投影與圓弧5—3—1—7—9重合，利用投影規律求其側面投影橢圓弧的類似形5″—3″—1″—7″—9″（1″、7″、3″三點為橢圓弧所在橢圓的三個端點），如圖3-5（f）所示。

（5）整理輪廓線，判斷可見性。由已知正面投影可知，前后轉向輪廓線被切，即側面投影中3″—4″之間、7″—8″之間的輪廓線被切掉，其余輪廓線保留并描粗，截交線的側面投影均可見，如圖3-5（g）所示。

圖3-5

圖3-5 帶切口的圓柱截交線的W面投影

【例3-3】如圖3-6（a）、（b）所示，求圓錐被P、Q、R三個截平面切割后的H、W面投影。

分析

該圖形是由一個過錐頂的正垂面P、一個水平面Q與一個平行于圓錐軸線的側平面R組合切割圓錐體后的形體，立體形狀如圖3-6（b）所示。從圖中可以看到：正垂面P截切圓錐的交線為三角形；水平面Q截切圓錐的交線為圓?。粋绕矫?i>R截切圓錐的交線為雙曲線加直線。截交線的正面投影已知［如圖3-6（c）所示］，求其H、W面投影。

作圖

（1）根據基本體三視圖按投影規律畫出切割前圓錐體的W面投影，如圖3-6（c）所示。

（2）過錐頂的正垂截平面P的交線是由兩條素線和一條由P與Q面交線圍成的三角形，正面投影是已知直線1′—2′（3′），水平投影是三角形的類似形1—2—3，側面投影是三角形的類似形1″—2″—3″，如圖3-6（d）所示。

（3）平行于圓錐軸線的側平截平面的交線為雙曲線加直線，正面投影為已知直線6′（7′）—8′（9′），水平投影為直線8—6—10—7—9，側面投影為雙曲線6″—8″、7″—9″和直線8″—9″，如圖3-6（e）所示。

（4）水平截平面的交線是圓弧，正面投影為已知直線6′（7′）—4′（5′）—2′（3′），水平投影為6—4—2和7—5—3前后兩段圓弧，側面投影為直線5″—3″—7″—6″—2″—4″，如圖3-6（f）所示。

（5）判斷可見性。只有水平投影直線2—3不可見，用虛線表示，其他截交線均可見。整理輪廓線，側面投影中的前后轉向輪廓線1″—4″、1″—5″被切掉，其余輪廓線描粗，如圖3-6（g）所示。

圖3-6

圖3-6 帶切口的圓錐截交線的H、W面投影

【例3-4】如圖3-7（a）所示，一連桿頭由軸線為側垂線的圓柱、圓錐和球同軸組成。其前后各被正平面截切，畫出該截交線的正面投影。

分析

組合回轉體是由若干個同軸的基本回轉體組成，作組合回轉體的截交線時，首先要分析各部分的曲面性質，然后按照它的幾何特性確定其截交線的形狀，再分別作出其投影。該截平面為前后對稱的且與組合回轉體的軸線平行的正平面，因此，球面部分的截交線為圓；圓錐部分的截交線為雙曲線；圓柱部分未被截切。截交線為一封閉組合曲線，水平和側面投影積聚為兩直線，正面投影反映實形，如圖3-7（b）所示。

作圖

（1）先在正面投影上確定球面與圓錐面的分界線。以球心o′作圓錐正面外形輪廓線的垂線得交點a′、b′，連線a′b′即為球面與圓錐面的分界線，如圖3-7（c）所示。以o′為圓心，R為半徑在正面投影作圓弧，即為球面的截交線1′—3′—2′，如圖3-7（d）所示。

（2）作圓錐面上截交線的特殊點正面投影6′。先在水平投影上作圓錐最前轉向輪廓線與前方的正平截平面水平積聚投影的交點6，再由6按投影規律作出正面和側面6′、6″，如圖3-7（e）所示。

（3）求圓錐面上截交線的一般點。作側平的輔助平面P，其與圓錐面的交線為側平的圓（該圓正面投影、水平投影均積聚為直線）。水平投影直線與前端正平截平面的交點為一般點4（5），側面投影（反映實形）圓與前端正平截平面的交點為一般點4″、5″，再由投影規律得到一般點的正面投影4′、5′。依次連接1′—4′—6′—5′—2′各點，即得截交線雙曲線的正面投影，如圖3-7（f）、（g）所示。

（4）由于兩個截平面前后對稱，前后截交線的正面投影相互重合，后面的截交線就不另行求作。

圖3-7

圖3-7 組合回轉體截交線的V面投影