導讀

如果歐幾里得未能激發起你少年時代的科學熱情，那么你肯定不會是一個天才的科學家。

——愛因斯坦

一、歐幾里得生平

歐幾里得大約生活在公元前330—前275年之間。除《幾何原本》外，還有不少著作，如《已知數》、《糾錯集》、《園錐曲線論》、《曲面軌跡》、《觀測天文學》等。遺憾的是，除了《幾何原本》以外，這些都沒有留存下來，消失在時空的黑暗之中了。從某個意義上說，這增加了人類的黑暗。僅留世的《幾何原本》，已讓我們震撼了兩千余年。

歐幾里得的生平也已失傳，據后世推斷，他早年在雅典受教育，熟知柏拉圖的學說。公元前300年左右，受托勒密王（前364—前283年）之邀，他前往埃及統治下的亞歷山大城工作，長期從事教學、研究和著述，涉獵數學、天文、光學和音樂等諸多領域。所著《幾何原本》，共有13卷，希臘文原稿也已失傳，現存的是公元4世紀末西翁的修訂本和18世紀在梵蒂岡圖書館發現的希臘文手抄原本。這部西方世界現存最古老的科學著作，為兩千余年來用公理法建立演繹的數學體系找到了源頭。德摩根曾說，除了《圣經》，再沒有任何一種書像《原本》這樣擁有如此眾多的讀者，被譯成如此多種的語言。從1482年到19世紀末，《原本》的各種版本竟用各種語言出了1000版以上。明朝萬歷年間（1607年），徐光啟和意大利傳教士利瑪竇把前六卷譯成中文出版，定名為《幾何原本》?！皫缀巍边@個數學名詞就是這樣來的?！稁缀卧尽吠瑫r也是中國近代翻譯的第一部西方數學著作?？滴趸实蹖⑦@個僅有前六卷的版本書當成智力玩具把玩了一生，但估計其理解也十分有限。

古籍中記載了兩則故事：托勒密國王問歐幾里得，有沒有學習幾何學的捷徑。歐幾里得答道：“幾何無王者之道?！币馑际?，在幾何學里沒有專門為國王鋪設的大路。這句話成為千古傳誦的箴言。另一個故事說：一個學生才開始學習第一個命題，就問學了幾何之后將得到些什么。歐幾里得對身邊的侍從說：“給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利?！边@兩則故事，與他的光輝著作一樣，具有高深的含義。

二、《幾何原本》的貢獻

《幾何原本》從少量“自明的”定義、公理出發，利用邏輯推理的方法，推演出整個幾何體系，選取少量的原始概念和不需證明的命題，作為定義、公設和公理，使它們成為整個體系的出發點和邏輯依據，然后運用邏輯推理證明其他命題。它成為人類文明的一塊極至瑰寶，創造了人類認識宇宙空間、認識宇宙數量關系的源頭，是一部人類歷史上的科學杰作。邏輯并不是歐幾里得開創的，而是以另一個希臘天才亞里士多德為代表，他的著名的三段論，開創了邏輯的基本面貌，提出了邏輯的基本建構。歐幾里得是第一個將三段論應用于實際知識體系構建的人，他鑄造了一部完整的邏輯演繹體系。他構成了希臘理性最完美的紀念碑。

兩千余年來，所有初等幾何教科書以及19世紀以前一切有關初等幾何的論著，都以《幾何原本》作為依據?！皻W幾里得”成為幾何學的代名詞，并且人們把這種體系的幾何學叫做歐幾里得幾何學。

《幾何原本》對世界數學的貢獻主要是：確立了數學的基本方法學。①建立了公理演繹體系，即用公理、公設和定義的推證方法。②將邏輯證明系統地引入數學中，確立了邏輯學的基本方法。③創造了幾何證明的方法：分析法、綜合法及歸謬法。

相對《原本》中的幾何知識而言，它所蘊含的方法論意義更重大。事實上，歐幾里得本人對它的幾何學的實際應用并不關心，他關心的是他的幾何體系內在邏輯上的嚴密性。《原本》作為文化豐碑還在于，它為人類知識的整理、系統闡述提供了一種模式。從此，人類的知識建構找到了一個有效的方法。整理為從基本概念、公理或定律出發的嚴密的演繹體系成為人類的夢想。斯賓諾莎的倫理學就是按這種模式闡述的，牛頓的《自然哲學的數學原理》同樣如此。

三、《幾何原本》介紹

在《幾何原本》中，歐幾里得首先給出了點、線、面、角、垂直、平行等定義，接著給出了關于幾何和關于量的十條公理，如“凡直角都相等”“整體大于部分”以及后來引起許多紛爭的“平行線公理”等等。公理后面是一個一個的命題及其證明，內容豐富多彩。比如有平面作圖、勾股定理、余弦定理、圓的各種性質、空間中平面和直線的垂直、平行和相交等關系，平行六面體、棱錐、棱柱、圓錐、圓柱、球等問題，此外還有比例的理論、正整數的性質與分類、無理量等等。公理化結構是近代數學的主要特征，而《幾何原本》則是公理化結構的最早典范。歐幾里得創造性地總結了他以前的古希臘人的數學，將零散的、不連貫的數學知識整理起來，加上自己的大量創造，構建出彼此有內在聯系的有機的宏偉大廈。

本書共分13卷，有5條公設、5條公理、119個定義和465個命題，構成歷史上第一個數學公理體系。

關于重要命題《幾何原本》中涉及到諸多重要命題，比如命題I.47就是著名的“勾股定理”。傳說這一定理最早是由畢達哥拉斯證明出的，但他的證明方法卻沒有流傳下來。而《幾何原本》中的證明，則可以算是現存西方最早證明勾股定理的記載。

關于命題的邏輯關系《幾何原本》中命題間的邏輯關系甚至比現代教科書還高。為了清晰地表明這一關系，千余年來的各種語文版本多附有數學家們對邏輯關系的注解。

關于公理和公設 演繹法，它的基本精神是由簡單現象去證明較復雜的現象，在數學中同樣也遵循這一原理。這一理論里，邏輯推理雖然至關重要，但更重要的是，我們必須接受一些簡單的現象作為我們的“起點”，是明顯的“自明”的道理，而歐幾里得將這些“起點”命名為“公設”和“公理”。

雖然以公理為起點演繹幾何的方法并非為歐幾里得首創，首創的應該是他之前的泰勒斯，但是《幾何原本》中的公設和公理，卻全部都由歐幾里得所創造和篩選。這一天才的智力令人嘆為觀止！

關于第5公設及非歐幾何學 歐幾里得的不完美催生了新的幾何學，這是從第5公設開始的。第5公設不同于其他9條，言語遲鈍，仿佛有些力不從心的樣子。形式上也不像公設，倒像一個命題。因此，自《幾何原本》誕生后，就有無數的數學家研究這條公設，并試圖找出證明這條公設的方法?？上В恢币詠恚麄兊膰L試都歸于失??！到了19世紀，匈牙利數學家波爾約和俄國數學家羅巴切夫斯基分別發表了一套與第5公設相反的幾何體系，從而證明了第5公設確實是一條“公設”，不能被證明或否定。與此同時，這兩位數學家亦為我們帶來一個全新的數學世界 —— 非歐幾何學。

關于圓面積及球體體積公式《幾何原本》中并沒有圓面積或球體體積的計算公式，但在第12卷中，可以找到一些相關命題。在歐幾里得之后，另一個希臘天才阿基米得提出球體體積公式。阿基米得應用了一種近乎于現代微積分的計算手法，推算出有關的算式，并成功地計算出圓周率小數后兩位的數值。

四、希臘數學背景

希臘人重視數學在美學上的意義，認為數學是一種美，是和諧、簡單、明確以及有秩序的藝術。在數學中可以看到關于宇宙結構和設計的最終真理，認為宇宙是按數學規律設計的，并且能被人們所認識。

古希臘的地理范圍，除了現在的希臘半島以外，還包括整個愛琴海區域和北面的馬其頓和色雷斯、意大利半島和小亞細亞等地。公元前五六世紀，特別是希波戰爭以后，雅典取得希臘城邦的領導地位，經濟生活高度繁榮，生產力顯著提高，在這個基礎上滋生了光輝燦爛的希臘文化。

希臘數學的發展歷史可以分為三個時期。第一時期從伊奧尼亞學派到柏拉圖學派為止，約公元前7世紀中葉到公元前3世紀；第二時期是亞歷山大前期，從歐幾里得起到公元前146年希臘陷于羅馬為止；第三時期是亞歷山大后期，是羅馬人統治下的時期，結束于641年亞歷山大被阿拉伯人占領。

伊奧尼亞學派 從古代埃及、巴比倫的衰亡，到希臘文化的昌盛，這段過渡時期留下來的數學史料很少。不過希臘數學的興起和希臘商人通過旅行交往接觸到古代東方的文化有密切關系。伊奧尼亞位于小亞細亞西岸，它比希臘其他地區更容易吸收巴比倫、埃及等古國積累下來的經驗和文化。在伊奧尼亞，氏族貴族政治為商人的統治所代替，商人具有強烈的活動性，有利于思想自由而大膽地發展。城邦內部的斗爭，幫助擺脫傳統信念。在希臘沒有特殊的祭司階層，也沒有必須遵守的教條，因此有相當程度的思想自由。這大大有助于科學和哲學從宗教中分離開來。

米利都是伊奧尼亞的最大城市，也是泰勒斯的故鄉。泰勒斯是公認的希臘哲學鼻祖。他早年是一個商人，曾游訪巴比倫、埃及等地，很快就學會古代流傳下來的知識，并加以發揚。這以后他創立了伊奧尼亞哲學學派，擺脫了宗教，從自然現象中去尋找真理，以水為萬物的根源。

當時天文、數學和哲學是不可分的，泰勒斯同時也研究天文和數學。他曾預測到一次日食，促使米太（在今黑海、里海之南）、呂底亞（今土耳其西部）兩國停止戰爭。多數學者認為該次日食發生在公元前585年5月28日。他在埃及時曾利用日影及比例關系算出金字塔的高度，使法老大為驚訝。泰勒斯在數學方面的貢獻主要在于開了命題證明的先河，它標志著人們對客觀事物的認識從感性上升到理性，這在數學史上是一個不尋常的飛躍。伊奧尼亞學派的著名學者還有阿納克西曼德和阿納克西米尼等。他們對后來的畢達哥拉斯有很大的影響。

畢達哥拉斯學派 畢達哥拉斯，公元前580年左右出生于薩摩斯（今希臘東部小島）。為了擺脫暴政，他移居到意大利半島南部的克羅頓。在那里他組織了一個政治、宗教、哲學、數學合一的秘密團體。后來這個集體在政治斗爭中遭到破壞，畢達哥拉斯被殺害，但他的學派還繼續存在了兩個世紀（約公元前500—前300年）之久。這個學派企圖用數來解釋一切，不僅僅認為萬物都包含數，而且說萬物都是數。他們以發現勾股定理（西方叫做畢達哥拉斯定理）聞名于世，又由此導致不可通約量的發現。這個學派還有一個特點，就是將算術和幾何緊密聯系起來。他們找到用三個正整數表示直角三角形三邊長的一種公式，又注意到從1開始連續奇數的和必為平方數等等，這既是算術問題，又和幾何有關。他們還發現五種正多面體。在天文方面，他首創地圓說，認為日、月、五星都是球體，并浮懸在太空中。畢達哥拉斯還是音樂理論的始祖。

伊奧尼亞學派和畢達哥拉斯學派有顯著的不同。前者研習數學并不單純為了哲學的興趣，同時也為了實用。而后者卻不注重實際應用，將數學和宗教聯系起來，想通過數學去探索永恒的真理。

智人學派 誕生于公元前5世紀，此時正值雅典的黃金時代，文人薈萃，辯論會遍布大街小巷，于是“智人學派”應運而生。他們以教授文法、邏輯、數學、天文、修辭、雄辯等科目為業。在數學上，他們提出“三大問題”：三等分任意角；倍立方，求作一立方體，使其體積是已知立方體的二倍；化圓為方，求作一正方形，使其面積等于一已知圓。這些問題的難處，是作圖只許用直尺（沒有刻度的尺）和圓規。

希臘人的興趣并不在于圖形的實際作出，而是在尺規的限制下從理論上去解決這些問題，這是幾何學從實際應用向系統理論過渡所邁出的重要一步。

這個學派的安提豐提出用“窮竭法”去解決化圓為方問題，這是近代極限理論的雛形。先作圓內接正方形，以后每次邊數加倍，得8、16、32……邊形。安提豐深信“最后”的多邊形與圓的“差”必會“窮竭”。這提供了求圓面積的近似方法。這和中國的劉徽（約263年前后）的割圓術思想不謀而合。

柏拉圖（約前427—前347年）在雅典建立學派，創辦學園。他非常重視數學，主張通過幾何的學習培養邏輯思維能力，因為幾何能給人以強烈的直觀印象，將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中。這個學派培養出不少數學家，如歐多克索斯就曾就學于柏拉圖學園，他創立的比例論對歐幾里得影響巨大。柏拉圖的學生亞里士多德也是古代的大哲學家，是形式邏輯的奠基者。他的邏輯思想為日后將幾何學整理在嚴密的邏輯體系之中開辟了道路。

埃利亞學派 這個時期的希臘數學中心還有以芝諾（約前496—前430年）為代表的埃利亞學派。芝諾提出四個悖論，這給思想界帶來極大的震動。這四個悖論是：①二分說，一物從甲地到乙地，永遠不能到達。因為想從甲到乙，首先要通過道路的一半，但要通過這一半，必須先通過一半的一半，這樣分下去，永無止境。結論是此物的運動被道路的無限分割阻礙著，根本不能前進一步。②阿喀琉斯（善跑英雄）追龜說，阿喀琉斯追烏龜，永遠追不上。因為當他追到烏龜的出發點時，龜已向前爬行了一段，他再追完這一段，龜又向前爬了一小段。這樣永遠重復下去，總也追不上。③飛箭靜止說，每一瞬間箭總在一個確定的位置上，因此它是不動的。④運動場問題，芝諾論證了時間和它的一半相等。

原子論學派 以德謨克里特為代表的原子論學派認為，線段、面積和立體是由許多不可再分的原子所構成。計算面積和體積，等于將這些原子集合起來。這種不甚嚴格的推理方法卻是古代數學家發現新結果的重要線索。

公元前4世紀以后的希臘數學，逐漸脫離哲學和天文學，成為獨立的學科。數學的歷史于是進入到一個新階段——初等數學時期。這個時期的特點是數學（主要是幾何學）已建立起自己的理論體系，從以實驗和觀察為依據的經驗科學過渡到演繹的科學。由少數幾個原始命題（公理）出發，通過邏輯推理得到一系列的定理。這是希臘數學的基本精神。在這一時期里，初等幾何、算術、初等代數大體已成為獨立的科目。和17世紀出現的解析幾何學、微積分學相比，這一時期的研究內容可以用“初等數學”來概括，因此叫做初等數學時期。

埃及的亞歷山大城是東西海陸交通的樞紐，又由于經過托勒密王的精心經營，這里逐漸成為新的希臘文化中心，而希臘本土這時已經退居次要地位。幾何學最初萌芽于埃及，后來移植于伊奧尼亞，再后來繁盛于意大利和雅典，最后又回到發源地埃及。經過這一番培植，它已達到豐茂成林的境地。

亞歷山大前期 從公元前4世紀到公元前146年古希臘滅亡，羅馬成為地中海區域的統治者為止，希臘數學以亞歷山大為中心，并達到它的全盛時期。這里有巨大的圖書館和濃厚的學術氛圍，各地學者云集在此進行教學和研究。其中成就最大的是亞歷山大前期三大數學家歐幾里得、阿基米得和阿波羅尼奧斯。阿基米得是物理學家兼數學家，他善于將抽象的理論和工程技術的具體應用結合起來，又在實踐中洞察事物的本質，通過嚴格的論證，使經驗事實上升為理論。他根據力學原理去探求解決面積和體積問題，已經包含積分學的初步思想。阿波羅尼奧斯的主要貢獻是對圓錐曲線的深入研究。

除了三大數學家以外，埃拉托斯特尼（約前276—前195年）的大地測量和以他為名的“素數篩子”也很出名。天文學家喜帕恰斯（約前190—前125年）制作了“弦表”，這是三角學的先導。

亞歷山大后期 公元前146年以后，在羅馬統治下的亞歷山大學者仍能繼承前人的工作，且各種發明層出不窮。這一時期的門納勞斯（約公元100年前后）、帕普斯（約300—350年）等人都有重要貢獻。天文學家托勒密（約85—165年）將喜帕恰斯的工作加以整理發揮，這奠定了三角學的基礎。

晚期的希臘學者在算術和代數方面也頗有建樹，代表人物有尼科馬霍斯（約公元100年）和丟番圖（約公元250年）。尼科馬霍斯著有《算術入門》，丟番圖著有《算術》，其主要內容是數的理論，而大部分內容可以歸入代數的范疇。它完全脫離了幾何的形式，在希臘數學中獨樹一幟，對后世影響之大僅次于《幾何原本》。

325年，羅馬帝國的君士坦丁大帝開始利用宗教作為統治的工具，他把一切學術都置于基督教神學的控制之下。529年，東羅馬帝國皇帝查士·丁尼下令關閉雅典的柏拉圖學園以及其他學校，嚴禁傳授數學。許多希臘學者逃到敘利亞和波斯等地。數學研究受到沉重的打擊。641年，亞歷山大被阿拉伯人占領，圖書館再次被毀。公元415年，女數學家、新柏拉圖學派的領袖希帕提婭遭到基督徒的野蠻殺害。她的死標志著希臘文明的衰弱，亞歷山大里亞大學極富創造力的日子也隨之一去不復返了。希臘數學至此告一段落。

五、歐幾里得的宗教情懷

對于歐幾里得來說，幾何是近神的，這與我們通常的理解剛好相反。所以與其把《幾何原本》當數學閱讀，不如將其視為詩歌或哲學，這更接近歐幾里得的動機。

在歐幾里得生活的時代較早前的幾百年，是希臘思想鼎盛的時代，人們研究人自身的問題以及人所面對的宇宙問題，這成為整個希臘的精神氣質，構成了遠古時代知識分子的日常生活和基本話語。蘇格拉底年輕時常常站在大街上拉著過路的行人就要求辯論一番，以企圖尋找人、人群、物質、精神等等存在的本來意義。眾哲學家在思考著這些問題：人所寄居的宇宙到底是什么？人到底是什么？要干什么？

為闡釋宇宙的本質，燦若群星的哲學思想繁衍旺盛，哲學家們要尋找世界的始基、構成宇宙的基本元素以及萬千復雜世界所依的根本。他們將整體的復雜還原為要素，而要素的變化、過程、次序、排列、關系成為尋找對象。

巴門尼德則把元素抽象為“唯一的、不動的、永恒的”東西，按照他的描述，“存在著一條最后的邊界，它在各方面都是完全的，好像一個滾圓的球體，從中心到每一個方面的距離都相等”。黑格爾諷刺說，巴門尼德弄出來的是“一片簡單的陰影”。但也有后人諷刺黑格爾說，他弄出來的“不過是個上帝的身體”；德謨克里特也不相信，他提出了自己的原子論，他堅信宇宙的本質是原子與虛空的結合，它們作為最小的存在構成了萬物，只要找到原子的面貌，世界的本質就昭然若揭了。他提出人的靈魂也是另一類原子的運動；赫拉克利特則不同意這一觀點，他認為本質是火，萬物皆流，無物常住，那變動不居的火就是世界的本質，流變就是世界的本質，那團不生不滅、永恒存在的“活火”主宰了我們的世界；阿那克西米尼卻不同意他的觀點，他認為本質是“氣”；阿那克西曼德又不同意這一觀點，他認為那基本元素雖然存在，但卻不具有任何定性，永遠不能定名，也不能描述，它是不可知的一個元素。集哲學家、預言者、科學家和江湖術士為一身的恩培多克勒則發現了“氣”。在倒著把瓶子放入水中而水不能進入瓶子時，他發現空氣是一種存在的物質。于是他認為土、氣、火、水是世界的基本元素。這是早期的自然哲學。

蘇格拉底并不同意這樣的解釋，他在方法上另辟蹊徑，用蘇格拉底法，即通過辯論問題中的矛盾清晰事物的結論獲得真理，真理的累加最后通達整個宇宙。蘇格拉底的進步在于他已不把那“元素”或“始基”視為一種經驗中的物質，而是抽象出他稱為“真理”“規律”“理性法則”的東西。

柏拉圖從他的《理想國》里提出“理念世界”一詞，并宣布，現實世界是個假象，是個影子，是理念世界的投影，攀登上理念世界的人必須借著理性的繩索。他對幾何學抱著虔誠的敬神式的熱情，因為他看到既能滿足于一切物質和空間，又不受時間腐蝕的點、線、面、角的規律之舞，“其品性接近于理念世界之物”，他相信，幾何學可以修建通往理念世界的天梯。也就是說，柏拉圖的元素或始基，是他描述的“理念世界”。柏拉圖在他創辦的雅典學園傳播這些理論的時候，出現了一位杰出的學生——亞里士多德。這位跟著他20年的學生更是青出于藍勝于藍，集古希臘哲學之大成，他把宇宙的實質定義為“本體”，放棄了自然哲學中的那種宇宙本原的尋求。并由此發明出范疇、分類、邏輯、屬性、一般與個別、本質與現象、思維與存在、理性與感性、可能性與現實、不變與變等矛盾關系。

另一條線對歐幾里得來說有些特別，這條線得從泰勒斯開始。泰勒斯生活在公元前600年左右，首先，他認為世界的本質元素是“水”，水開萬物，水是萬物的本原。當希臘神話成為大眾思想生活和精神生活的主流時，他卻反希臘神話。他不能忍受用杜撰的故事來闡釋造化天工，于是轉而觀察自然界的各種法則，希望從自然界內部找到他的神，于是他首創了在自然元素中尋找宇宙答案的方法。人類最早的“證明命題”方法應歸功于他。

畢達哥拉斯是一位數學天才，由于超常的數學智力，他受到希臘公民的尊重，創建了宗教的哲學派別——畢達哥拉斯學派。他認為萬物皆數，數是宇宙的根本，找到數就找到了宇宙的本原。這顯然意味著，認識世界就要從數開始。只要運用定量方法來認識世界，就可以解開宇宙的終極秘密。但實際上當他發現無理數的存在時，他發現自己的思想基礎已經崩潰，只是由于恐懼于群眾的力量而不敢宣布。畢達哥拉斯學派把數學從那些顯然的具體應用中抽象出來，企圖解釋這個宇宙。他們發現勾股定理時的那種驚喜無異于基督教徒找到上帝存在的一個證據時的驚喜。他們還發現了不可公約量，以及五種正多面體的存在，并把算數和幾何圖形結合起來。這些都為歐幾里得的《幾何原本》奠定了堅實的基礎。

的確，在空間面前我們瑟瑟發抖。無論是在遙遠的古希臘歐幾里得時代，還是今天，我們對空間的認識，對宇宙的理解，僅僅邁出了很小的一步。我引用科學家、數學家、物理學家出身卻反科學理性的法國思想家帕斯卡的一句話：“在這永恒沉默的空間面前，我瑟瑟發抖?！?/p>

這彌漫物質的空間，它的緊迫，它的壓制，它的盲目流動，它的到來和去向……

蘇格拉底、柏拉圖師徒倆懷著深厚的幾何學情結，這是因為他們想借這一工具找到上帝。蘇格拉底看到，物質的速朽性和無常性使他自然聯想到身體，再進一步聯想到人的精神屬性，這時他看到了幾何學的特別屬性：不受時空的腐蝕，它是永恒的、絕對的。這吻合了柏拉圖的絕對理念，只有上帝是絕對的，于是，幾何學可以修筑通往上帝的天梯。數世紀以后，有人修建巴別塔，企圖通往天國。畢達哥拉斯學派同樣抱著借數字之梯通向神的理想情懷。

歐幾里得本人同樣把幾何學視為近神器物，這就產生了一個青年追問他幾何學的用處時他叫身邊的侍從給他三個硬幣的著名故事。漢語翻譯的“幾何”一詞其實并不貼切，這不是圓滿的譯法，它失去了神性?！皫缀巍币鉃槭挛飻底忠饬x上的多少，用于反問句中。而希臘語是指“元素”“原理”，意即我們這個世界的基本元素，宇宙的基本元素以及構建這個宇宙的基本元素。這就是哲學中所說的“元素”“始基”。點、線、面、距離、長度、角度出發描述的剛性空間是宇宙的本樣，甚至可能是神的本樣；換句話說，從空間中抽離出來的點、線、面是一切事物的元素，所以也是宇宙的元素。

歐幾里得沒有想到的是，兩千余年以后，靠幾何學尋找上帝依舊渺茫，而世俗性的應用卻大規模地建造了人類的物質文明。對于工業革命后興盛的人造物質來說，幾何學起到了支撐性作用。按照歐幾里得批評他那位世俗的學生的理想主義思路，近現代社會從幾何學角度來看，是一個失敗的社會。

從這個角度講，《原本》與其說是數學，不如說是描述宇宙的詩歌之舞，是一種宗教情懷，一種哲學。

六、畢達哥拉斯的狂醉

雖然歐幾里得不能考證他是否屬于畢達哥拉斯學派，但他對數學的虔誠卻與這個學派一脈相通。

畢達哥拉斯，這個宣布萬物皆數的人，簡直是歷史上最有趣味而又最難理解的人物之一。混和了一堆真理與荒誕，他的數學天分成為他理解世界秩序卻又恨鐵不成鋼的手段。他建立的巨大宗教社團成為最早的共產主義形式，其權力大到控制了整個國家。這也說明古希臘民眾對天才精英們的虔誠，因為他們希望在天才的帶領下找到生命的意義、宇宙的秩序。畢達哥拉斯學派的根本教義是靈魂輪回，以及吃豆子的罪惡性。“首先，靈魂是個不朽的東西，它可以轉變成別種生物；其次，凡是存在的事物，都要在某種循環里再生，沒有什么東西是絕對新的；一切生來具有生命的東西都應該認為是親屬。”據說，畢達哥拉斯曾向動物不停地說話。

畢達哥拉斯教派的教規如下：

1.禁食豆子。

2.東西落下了，不要揀起來。

3.不要去碰白公雞。

4.不要擘開面包。

5.不要用鐵撥火。

6.不要吃整個面包。

7.不要戴花環。

8.不要坐在斗上。

9.不要在大路上行走。

10.房里不許有燕子。

11.鍋從火上拿下來的時候，不要把鍋的印跡留在灰上，而要把它抹掉。

12.不要在光亮的旁邊照鏡子。

13.當你脫下睡衣的時候，要把它卷起，把身上的印跡撫平。

畢達哥拉斯把數夸張到世人難以理解的神秘境地，他甚至把數與某些意義直接聯系起來，比如，規定“二”表示意見，“四”是正義，“五”是結婚，“十”是完滿，如此等等，這的確讓今人匪夷所思。

他所建立的團體不分男女都可以參加。財產是公有的，過著一種共同的生活，即使是科學和數學的發現也認為是集體的，而且，在一種神秘的意義上，都得歸功于畢達哥拉斯，甚至于在他死后也還是如此。他們贊美沉思生活的道德，由此數學的秩序便受到同于神的敬仰。他把這些荒誕的秩序同數學秩序結合在一起，當成鑰匙，用以解開世界之門。

在這個世界上，我們都是異鄉人，身體乃靈魂之墳墓，然而我們決不可以自殺以求逃避；因為我們是上帝的所有物，上帝是我們的牧人，沒有他的命令我們就沒有權利逃避。在現實生活里有三種人，正像到奧林匹克運動會的也有三種人一樣。那些來做買賣的人都屬于最低的一等，比他們高一等的是那些來競賽的人。然而，最高的一種乃是那些只是來觀看競賽的人們。因此，一切最偉大的凈化便是無所為而為的科學，唯有獻身于這種事業的人，亦即真正的哲學家，才能真正使自己擺脫生之巨輪。

被畢達哥拉斯所鼓舞的人們，一直保存著一種狂醉式的啟示成分。這一點，對于那些在學校里無可奈何地學過一些數學的人們來說，好像是很奇怪的；然而，對于那些時時經歷著由于數學上的豁然貫通而感到沉醉歡欣的人們以及那些喜愛數學的人們來說，畢達哥拉斯的觀點則似乎是十分自然的，縱使它并不真實。仿佛經驗的哲學家只是材料的奴隸，而純粹的數學家正像音樂家一樣，他們是那秩序井然、美麗世界的自由創造者。

歐幾里得有著同樣的狂醉，他不關心豆子和白公雞，卻對物質的物理數性結構癡迷。在他看來，找到這個數性結構，就找到了宇宙的基本“元素”和“始基”。萬物基始于點、線、面、角以及它們的滋生繁衍、它們的相互構成與轉換，宇宙的舞蹈就是它們的數字舞蹈。所以，我堅信數學起源于實際應用的觀點是不正確的，它更起源于人的精神困惑，起源于對浩渺宇宙的描述欲望。

希臘數學產生了數學精神，即數學證明的演繹推理方法。數學的抽象化以及自然界依數學方式設計的信念，為數學乃至科學的發展起了至關重要的作用。而由這一精神所產生的理性、確定性、永恒的不可抗拒的規律性等一系列思想，則在人類文化發展史上占據了重要的地位。所以伽利略就直接說“數學是上帝的語言”。畢達哥拉斯將數學和宗教聯系起來，想通過數學去探索永恒的真理。

七、芝諾的狂醉

一開始，在哲學上就有人反歐幾里得方向。先于歐幾里得百年的芝諾發出了巨大的嘲諷聲。按羅素的說法，迄今人們還不能真正懂得這其中的哲學意義。雖然亞里士多德批判了他，但羅素卻對他的批判進行了批判。

芝諾是巴門尼德的學生兼朋友，他不滿于赫拉克利特萬物皆流的理論，創造出一套悖論（可惜他的著作沒有流傳下來），后人知道的僅有8個，比如如下4個悖論：二分說、阿喀琉斯追龜說、飛箭靜止說、運動場悖論，還沒有哪一個哲學家敢輕易對此下結論。

芝諾生于意大利半島南部的埃利亞城邦，據說他在母邦度過了一生，僅在成名之后到過雅典。據傳說，芝諾因蓄謀反對埃利亞的君主而被處死。關于他的生平，缺乏可靠的文字記載。柏拉圖在他的對話《巴門尼德篇》中，記載了芝諾和巴門尼德于公元前5世紀中葉去雅典的一次訪問。其中有這樣的文字：“巴門尼德年事已高，約65歲；頭發很白，但儀表堂堂。那時的芝諾約40歲，他身材魁梧、相貌堂堂，大家說他已經變成巴門尼德所鐘愛的了?！痹谝院蟮南ＥD著作家看來，這次訪問是柏拉圖虛構的。但柏拉圖有關芝諾觀點的記敘，卻被普遍認為是準確的。在柏拉圖的《巴門尼德篇》中，當芝諾談到自己的著作《論自然》時，他這樣說道：“由于年輕時的好勝完成此部著作，著成后即有人將它竊去，以致我不能決斷是否應當讓它問世?！敝ブZ不像他的老師那樣試圖從正面去證明是一不是多，是靜不是動，他常常從反面即歸謬法來為“存在論”辯護。公元5世紀的評論家普羅克洛斯說過，芝諾從“多”和“運動”的假設出發，一共推出了40個各不相同的悖論?，F存的芝諾悖論至少有8個，其中關于運動的4個悖論最為著名。芝諾的著作早已失傳，亞里士多德的物理學和辛普里西奧斯為物理學作的注解是了解芝諾悖論的主要途徑，此外只有少量零散的文獻可作參考。

亞里士多德批判“二分說”：他主張一個事物不可能在有限的時間里通過無限的事物，或者分別地和無限的事物相接觸。要知道，事物在有限的時間里不能和數量上無限的事物相接觸，但卻能和分開的無限的事物相接觸，因為時間本身分開的也是無限的。批判“追龜說”認為，在運動中領先的東西不能被追上的這個想法是錯誤的。因為在它領先的時間內是不能被趕上的，但是，如果芝諾允許它能越過所規定的有限距離，那么它也是可以被趕上的。批判“飛箭靜止說”

（我國的莊子，也提出過相同的思想，在《天下篇》中有：“飛鳥之景，未嘗動也?！保┱J為，他的這個說法是錯誤的，因為時間不是由不可分的“現在”組成的，正如別的任何量都不是由不可分的部分組合成的那樣。這個結論是因為把時間當做是由“現在”組合成而引起的，如果不肯定這個前提，這個結論是不會出現的。批判“運動場悖論”認為，這里錯誤在于他把一個運動物體經過另一運動物體所花的時間，看作等同于以相同速度經過相同大小的靜止物體所花的時間，事實上這兩者是不相等的。

但羅素又反批判亞里士多德，他說道：“直到19世紀中葉，亞里士多德關于芝諾悖論的引述及批評幾乎是權威的，人們普遍認為芝諾悖論不過是一些詭辯。在這個變化無常的世界上，沒有什么比死后的聲譽更變化無常了。死后得不到應有的評價的最典型例子莫過于埃利亞的芝諾了。他雖然發明了四個無限微妙而深邃的悖論，但是后世的大批哲學家卻宣稱他只不過是個聰明的騙子，而他的悖論只不過是一些詭辯。遭到兩千多年的連續駁斥之后這些詭辯才得以正名。19世紀下半葉以來，學者們開始重新研究芝諾。他們推測芝諾的理論在古代就沒能得到完整的、正確的報道，而是被詭辯家們用來倡導懷疑主義和否定知識，亞里士多德正是按照被詭辯家們歪曲過的形象來引述芝諾悖論的。目前，學者們對芝諾提出這些悖論的目的還不清楚，但大家一致認為，芝諾關于運動的悖論不是簡單地否認運動，這些悖論后面有著更深的內涵。亞里士多德的著作保存了芝諾悖論的大意，從這個意義上來說，他功不可沒，但他對芝諾悖論的分析和批評是否成功，還不可以下定論。”

其他評論還有：畢達哥拉斯學派發現的不可公約量對芝諾悖論的提出產生了深刻的影響。芝諾是對古代數學的發展起決定影響的人物。他們試圖證明，畢達哥拉斯學派曾假定存在無限小的基本線段，想以此來克服因發現不可公約量而引起的矛盾，而芝諾的悖論反對了這種不準確的做法。美國數學家貝爾說，“芝諾以非數學的語言記錄下了最早同連續性和無限性斗爭的人們所遭遇到的困難”。芝諾的功績在于提出動和靜的關系、無限和有限的關系以及連續和離散的關系，并進行了辯證的考察。

前三個悖論揭示的是事物內部的稠密性和連續性之間的區別，是無限可分和有限長度之間的矛盾。他并不是簡單地否認運動，而是反對那種認為空間是點的總和、時間是瞬刻的概念，他想證明在空間作為點的總和的概念下，運動是不可能的。第四個悖論是古代文獻中第一個涉及相對運動的問題。

按照芝諾的這些理論，歐幾里得的理論從根本上就失效了。

八、關于空間的哲學

一切哲學問題歸根到底是空間和時間的問題。

柏拉圖的觀點是，“形”是“物”的基本存在條件，亞里士多德則認為“質料”依靠“形式”而存在，牛頓則進一步認為時空是絕對存在的，獨立于一切存在的存在，康德則認為這種絕對存在是一種先驗假設，黑格爾則認為一切存在都是絕對精神的表現形式。

亞里士多德認為，空間是事物的場所，是完全包圍的形式，物質雖可以在空間中移動，但不能脫離空間，不存在沒有空間的物質。

在牛頓認為的空間里，許多“點”構成空間，許多“瞬刻”構成時間，空間和時間不受占據它們的物體及事件影響，獨立存在。

康德認為，空間和時間不是概念的，而是“直觀”的。據康德的意見，外部世界只造成感覺的素材，但是我們自己的精神裝置把這種素材整列在空間和時間中，并且供給我們借以理解經驗的種種概念。物自體為我們感覺的原因是不可認識的；物自體不在空間或時間中，它不是實。空間和時間是主觀的，是我們感覺器官的一部分。但是正因為如此，我們可以確信，凡是我們所經驗的東西都要表現幾何學與時間科學所講的那些特性。由于你在精神上老是戴著一副空間眼鏡，所以你一定總是看到一切東西都存在于空間中。因此，按幾何學必定適用于經驗的一切東西這個意義來講，幾何學是先天的，但是我們沒有理由設想與幾何學類似的什么學適用于我們沒經驗到的物自體。

他對歐幾里得的幾何學評價為：關于空間的先驗論點來自于幾何學?？档抡J為歐幾里得幾何雖然是綜合的（也就是說僅由邏輯推演不出來），但卻是先天認識到的。他以為，幾何學上的證明依賴圖形。例如，我們能夠看出，設有兩條彼此成直角的相交直線，通過其交點只能作一條與這兩條直線都成直角的直線。他認為，這種知識不是由經驗來的。但是，我能直觀預見在對象中會發現什么的唯一方法，就是預見在我的主觀中一切現實印象之前，該對象是否只含有我的感性的形式。感覺的對象必須服從幾何學，因為幾何學講的是我們感知的方式，所以我們用其他方法是不能感知的。這說明為什么幾何學雖然是綜合的，但卻是先天的和必然的。

九、古希臘理性的紀念碑

古希臘的智者由于堅信這個世界是可以理解的，物質世界甚至延及精神世界的終極答案是可以獲得的，并可以用永恒的法則來表述它，于是發展了數學精神，也強化了用演繹的形式進行嚴密推理的邏輯方法，這就保證了數學成為一門確定可靠的知識。在紛繁的物質世界背后，潛藏著數學法則，不同的空間結構形式構成了不同的物質。

西方科學發展的歷史，就是與宗教抗爭的歷史，就是反蒙昧、反專制的歷史。在這中間，數學以它的確實和完美起到了主要的作用，并最終逐出了在自然科學領域同樣居于統治地位的上帝，解放了思想。從這個意義上講，一個沒有發達數學文化的民族注定會衰落。

古希臘是奴隸制國家，當時希臘的雅典城邦實行奴隸主的民主政治（奴隸不能享受這種民主）。男性奴隸主舉行全體大會選舉執政官，并對一些戰爭、財政大事實行民主表決。這種政治文明包含著某些合理因素。奴隸主之間講民主往往需要用理由說服對方，從而使學術上的辯論風氣濃厚。為了證明自己堅持的是真理，也就需要證明。先設一些人人皆同意的“公理”，規定一些名詞的意義，然后把要陳述的命題稱為公理的邏輯推論。

在這一背景下，游學回到雅典的柏拉圖開創了柏拉圖學園。柏拉圖學園的大門上掛著這樣一個牌子“不懂幾何學者，請勿入內”。人們普遍猜測，歐幾里得曾經在該學園接受過教誨，但無史料考證，故不可斷言。從這個角度看，任何人類事物是否發達，不是種族的智力差異，不是所謂的經濟發達，而是社會制度惡與優的直接產物。

歐幾里得幾何學是鄙視實用價值的，這一點早就被柏拉圖所諄諄教誨過。在希臘時代沒有一個人會想象到圓錐曲線是有任何用處的，最后到了17世紀伽利略才發現拋物體是沿著拋物線而運動的，而開普勒則發現行星是以橢圓軌跡而運動的。于是，希臘人由于純粹愛好理論所做的工作，一下子變成了解決天文學的一把金鑰匙。

歐幾里得的《幾何原本》毫無疑義是古往今來最偉大的著作之一。羅馬人的頭腦太過于實際而不能欣賞歐幾里得的著作。第一個提到歐幾里得的羅馬人是西賽羅，那時候《幾何原本》或許還沒有拉丁文的譯本，并且在鮑依修斯（約公元480年）以前，確乎是并沒有任何關于拉丁文譯本的記載。阿拉伯人卻更能欣賞歐幾里得的《幾何原本》。大約在公元760年，拜占庭皇帝曾送給回教哈里發一部《幾何原本》；大約在公元800年，當哈倫·阿爾·拉西德在位的時候，《幾何原本》就有了阿拉伯文的譯文了。現在最早的拉丁文譯本是巴斯的阿戴拉德于公元1120年從阿拉伯文譯過來的。從這以后，對幾何學的研究就逐漸在西方復活起來，但是一直到文藝復興晚期，幾何學才邁出了極為重要的一步。

通過以上的這些介紹，我殷切希望能對讀者閱讀理解這部巨著有所幫助，同時希望對《幾何原本》不感興趣的人能重新擁有數學情懷而有所幫助。