2.8　素集“烏蘭現(xiàn)象”

美國數(shù)學(xué)家烏蘭教授（S.Ulam）在一次參加科學(xué)報(bào)告會(huì)時(shí)，為了消磨時(shí)間，在一張紙上把1，2，3，…，100按逆時(shí)針的方式排成一種方形螺旋線，并標(biāo)出了其中的全部素?cái)?shù)。

他突然發(fā)現(xiàn)這些素?cái)?shù)大都扎堆于一些斜線上。散會(huì)后，他在計(jì)算機(jī)上把1~65 000的整數(shù)排成逆時(shí)針方螺旋并打印出來。他發(fā)現(xiàn)這些素?cái)?shù)仍然具有擠成一條直線的特性，這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上稱為“烏蘭現(xiàn)象”。

后來，數(shù)學(xué)家們從“烏蘭現(xiàn)象”中找到了素?cái)?shù)的許多有趣性質(zhì)。

2.8.1　方螺線中的素集線

設(shè)計(jì)程序，把整數(shù)序列1，2，3，4，…，n×n排列成n圈的方螺線數(shù)陣，1置放在中心位置，以后各整數(shù)依次按逆時(shí)針方螺線位置排列。

為清楚顯示，方螺線上的素?cái)?shù)用括號(hào)標(biāo)注。

1. 設(shè)計(jì)要點(diǎn)

對(duì)于指定方陣的階數(shù)n，設(shè)置i循環(huán)（i＝1，2，3，…，n×n），在循環(huán)中應(yīng)用試商判別法判別整數(shù)i是否為素?cái)?shù)，并用p數(shù)組元素標(biāo)注素?cái)?shù)：p[i]＝1，i為素?cái)?shù)；否則p[i]＝0。

數(shù)字方螺線是從正中間開始的。隨整數(shù)m的逐步增加，位置呈逆時(shí)針方螺線展開。給方螺線的各位置確定m的值是設(shè)計(jì)的關(guān)鍵所在。

為此，建立存儲(chǔ)整數(shù)m的坐標(biāo)值的2維數(shù)組a[x][y]。

對(duì)于輸入的整數(shù)n，計(jì)算d＝n/2，d為n階方螺線的圈數(shù)。方螺線的正中位置存儲(chǔ)1，即a[d][d]＝1，中心位置不屬于任何圈。

在第i（1~d）圈的四周分為右邊、上邊、左邊與下邊，相應(yīng)分4步分別在條件循環(huán)中實(shí)施賦值操作。

（1）右邊向上增長(zhǎng)，x不變y遞增1，整數(shù)m遞增1，a[x][y]＝m；直至y＝d＋i轉(zhuǎn)向。

     while(y<d+i){m++;y++;a[x][y]=m;}

（2）上邊向左增長(zhǎng)，y不變x遞減1，整數(shù)m遞增1，a[x][y]＝m；直至x＝d-i轉(zhuǎn)向。

     while(x>d-i)　{m++;x--;a[x][y]=m;}

（3）左邊向下增長(zhǎng)，x不變y遞減1，整數(shù)m遞增1，a[x][y]＝m；直至y＝d-i轉(zhuǎn)向。

     while(y>d-i){m++;y--;a[x][y]=m;}

（4）下邊向右增長(zhǎng)，y不變x遞增1，整數(shù)m遞增1，a[x][y]＝m；直至x＝d＋i轉(zhuǎn)向。

     while(x<d+i){m++;x++;a[x][y]=m;}

每一圈4邊賦值完成后，通過x＋＋；y＝d-i；過渡至下一圈的起點(diǎn)。

在二重循環(huán)中輸出a數(shù)組元素，即打印出方螺線方陣。

顯示輸出時(shí)，利用p數(shù)組識(shí)別素?cái)?shù)，同時(shí)用括號(hào)把素?cái)?shù)括起來，以區(qū)別于其他整數(shù)。

2. 烏蘭現(xiàn)象程序設(shè)計(jì)

3. 程序運(yùn)行示例與說明

     構(gòu)建n階方陣,請(qǐng)確定n:13
     13階方螺線方陣:(見圖2-2)

可以清楚地看到圖2-2中素?cái)?shù)沿斜線（圖中只畫出其中兩條斜線）扎堆的烏蘭現(xiàn)象。

這些“素集線”上除了大多數(shù)為素?cái)?shù)1外，其他非素?cái)?shù)如39，15、33、93，85，65等大多為兩個(gè)素?cái)?shù)之積，即陳景潤研究哥德巴赫猜想所得1＋2中的2，是比較“接近素?cái)?shù)”的整數(shù)。

同時(shí)，從圖2-2中還可看到另一有趣的現(xiàn)象：奇數(shù)的平方數(shù)1，9，25，49，81等在下部半條斜線上，而偶數(shù)的平方數(shù)4，16，36，64，100等則在上部半條斜線上。

2.8.2　回旋層疊另版烏蘭

回旋層疊方陣是另一個(gè)生動(dòng)體現(xiàn)素?cái)?shù)沿斜線扎堆的有趣方陣，而且更為簡(jiǎn)單，可以說是另版烏蘭。

回旋層疊方陣在坐標(biāo)系第一象限（包括x軸與y軸）按以下規(guī)律展開：它從原點(diǎn)（0，0）運(yùn)動(dòng)到（0，1），然后按圖2-3中箭頭所示方向展開，即

原點(diǎn)（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（2，1）→（2，2）→（1，2）→（0，2）…

行進(jìn)路線上的每一個(gè)點(diǎn)有一個(gè)整數(shù)m，坐標(biāo)原點(diǎn)的m＝0，以后每一步m遞增1。

試構(gòu)建n階回旋層疊方陣，用括號(hào)標(biāo)注方陣整數(shù)m中的素?cái)?shù)。

1. n階回旋層疊方陣設(shè)計(jì)要點(diǎn)

對(duì)于指定方陣的階數(shù)n，同樣應(yīng)用試商判別整數(shù)i（1~d＝（n＋1）×（n＋1））是否為素?cái)?shù)，并用p數(shù)組元素標(biāo)注素?cái)?shù)：p[i]＝1，i為素?cái)?shù)；否則p[i]＝0，i為非素?cái)?shù)。

為敘述方便，把方陣分成n層，并稱x＝k或y＝k的這一“層”為第k（1~n）層，該層的“折點(diǎn)”坐標(biāo)為（k，k）。折點(diǎn)把每一層分為水平段與垂直段。

同時(shí)，第k（1~n）層的兩段的先后次序與k的奇偶有關(guān)。

奇數(shù)層：先水平段從左至右遞增到“折點(diǎn)”，再垂直段從上至下遞增到x軸（y＝0）。

偶數(shù)層：先垂直段從下至上遞增到“折點(diǎn)”，再水平段從右至左遞增到y(tǒng)軸（x＝0）。

設(shè)置i（1~n）循環(huán)，對(duì)第i層的兩段中各點(diǎn)分別賦值。

（1）若i%2＞0，即在奇數(shù)層。

首先，通過y＋＋過渡到奇數(shù)層。

奇數(shù)層是先水平向右；過折點(diǎn)后再垂直向下。

在水平段，y坐標(biāo)為i不變，x坐標(biāo)與m遞增1；直至x＝i即到折點(diǎn)為止。

     while(x<i){x++;m++;a[x][y]=m;}

在垂直段，x坐標(biāo)為i不變，y坐標(biāo)遞減1，m遞增1；直至y＝0即到x軸為止。

     while(y>0){y--;m++;a[x][y]=m;}

（2）若i%2＝0，即在偶數(shù)層。

首先，通過x＋＋過渡到偶數(shù)層。

偶數(shù)層是先垂直向上；過折點(diǎn)后再水平向左。

在垂直段，x坐標(biāo)為i不變，y坐標(biāo)與m遞增1；直至y＝i即到折點(diǎn)為止。

     while(y<i){y++;m++;a[x][y]=m;}

在水平段，y坐標(biāo)為i不變，x坐標(biāo)遞減1，m遞增1；直至x＝0即到y(tǒng)軸為止。

     while(x>0){x--;m++;a[x][y]=m;}

同樣，在二重循環(huán)中輸出a數(shù)組元素，即打印出回旋層疊方陣。

顯示輸出時(shí)，利用p數(shù)組識(shí)別素?cái)?shù)，用括號(hào)把素?cái)?shù)括起來，以區(qū)別于其他整數(shù)。

2. 程序設(shè)計(jì)

3. 程序運(yùn)行示例與說明

請(qǐng)輸入方陣階數(shù)n(n<100):12

輸出的回旋層疊方陣的1+2線圖如圖2-4所示。

從以上輸出可以清楚地看到另版“烏蘭現(xiàn)象”：圖2-4中素?cái)?shù)沿斜線扎堆（圖中只畫出其中兩條），這些“素集線”，除了一部分為素?cái)?shù)1之外，其他非素?cái)?shù)如57、91，77，25、35等大多為兩個(gè)素?cái)?shù)之積，即比較“接近素?cái)?shù)”的2。

從圖2-4中還可看到另一個(gè)有趣的現(xiàn)象：所有偶數(shù)也聚集于它們的斜線之上，真可謂“涇渭分明”。

同時(shí)，奇數(shù)的平方數(shù)1，9，25，49，81等均相間于縱向坐標(biāo)軸上，而偶數(shù)的平方數(shù)4，16，36，64等則相間于橫向坐標(biāo)軸上。

4. 富素斜線探索

考察圖2-4中的3—5—13—19…這一素集斜線，開頭10個(gè)點(diǎn)中8個(gè)是素?cái)?shù)。另兩個(gè)不是素?cái)?shù)的兩個(gè)點(diǎn)為57＝3×19，91＝7×13，也是比較“接近素?cái)?shù)”的2。

同時(shí)，這一素集線的斜率為正，即斜線呈現(xiàn)遞增態(tài)勢(shì)，比方螺線分別向兩頭遞增更為形象直觀。

把這一素集線上的數(shù)表示成第m行的函數(shù)f（m），歸納得到：

f（m）＝m²＋m＋1（當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)）

f（m）＝m²＋m-1（當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)）

應(yīng)用以上公式，可以非常方便地探求這一素集線上的1＋2分布，有興趣的讀者可自行設(shè)計(jì)程序探索，此處從略。