1.9　神秘的六六大順數

有一個非常奇特的6位整數m，它由不同的6個數字組成；m的2倍也是由這6個數字組成；m的3倍也是由這6個數字組成；以至m的4，5，6倍也都是由這6個數字組成。因而，這一奇特整數被披上許多神秘的色彩，說是某一寺廟留傳下來的，甚至說是在埃及金字塔發現的。

鑒于這一整數是6位數，又有其2~6倍整數由同樣數字組成的特性，不妨稱為“六六大順數”。

本節應用逐位推理探求神奇的“六六大順數”，并經拓展得到該數的令人驚奇的“插9”特性。

1.9.1　推理揭開神秘面紗

【問題】　推理探求神秘的“六六大順數”。

【探求】　應用“排除法”推理，逐位確定。

顯然，所探求的6位數的6個數字互不相同，且不可能有數字0。

設所求的6位整數m為abcdef（每一字母代表一個非零數字）。

下面通過“排除法”推理，層層揭開其神秘的面紗。

（1）顯然首位數字a＝1，否則m的5倍、6倍超過6位數。

（2）試用排除法確定個位數字f。

注意到m的個位數字f（≠1）分別乘2~6的積的個位數字，應為m中除個位數字f之外的其余5個數字a，b，c，d，e。

①數字f不能為偶數，否則乘2~6的積的個位數字均為偶數，不含1。

②f≠3，因3乘2~6的積的個位數字分別為6，9，2，5，8，也不含1。

③f≠5，因5乘2~6的積的個位數字出現0。

④f≠9，因9乘2~6的積的個位數字分別為8，7，6，5，4，也不含1。

因而確定6位整數m的個位數字f＝7。

（3）確定組成m的6個數字。

個位數字f＝7分別乘2~6的積，其個位數字分別為4，1，8，5，2，因而這5個數字另加上個位數字7構成m的6個數字。

整數m的6個數字從小到大排列為1，2，4，5，7，8。

m乘2所得積的首數字即最高位數字為2；

m乘3所得積的首數字即最高位數字為4；

m乘4所得積的首數字即最高位數字為5；

m乘5所得積的首數字即最高位數字為7；

m乘6所得積的首數字即最高位數字為8。

（4）確定m的數字分布。

上面已確定m為1bcde7，其中數字b，c，d，e將在2，4，5，8中逐步確定。

①首先確定b＝4。

若b為5，8，將導致m乘2積的首數字大于2，矛盾；

若b為2，則m乘3積的首數字小于4，導致矛盾。

因而唯有b＝4，即有m＝14cde7。

②其次確定c＝2。

若c為5，m只有145287與145827兩種可能。

因145287×2＝290574，出現0；145827×2＝291654，出現數字9，均導致矛盾。

若c為8，m只有148257與148527兩種可能。

因148257×2＝296514，出現數字9；148527×2＝297054，出現0，均導致矛盾。

因而唯有c＝2，即有m＝142de7。

③最后確定d＝8，e＝5。

由142587×3＝427761，出現數字重復導致矛盾。

因而，神奇6位數的神秘面紗揭開：m＝142857。

（5）驗證（此步不可省略）。

由m＝142857，驗證m的2~6倍均由組成m的6個數字組成。

142857×2＝285714　　142857×3＝428571

142857×4＝571428　　142857×5＝714285

142857×6＝857142

驗證通過。太神奇了！

更神奇的是142857×7＝999999。

（6）奇妙的循環小數。

分數1/7~6/7都是循環節（以[]界定）為6位的循環小數，如下所示。

1/7＝0.[1 4 2 8 5 7]

2/7＝0.[2 8 5 7 1 4]

3/7＝0.[4 2 8 5 7 1]

4/7＝0.[5 7 1 4 2 8]

5/7＝0.[7 1 4 2 8 5]

6/7＝0.[8 5 7 1 4 2]

欣賞以上6個分數的結果，是自然，還是巧合？

1.9.2　奇妙的“插9”特性

編程拓展：試搜索一般的w（1＜w＜10）位整數m，它由不同的w個數字組成，同時整數m的k（2~w，k≤6）倍整數都是m的變序數（即m的組成數字通過不同排列所得整數）。

輸入位數w，搜索所有滿足以上倍數特性的整數m。

1. 設計要點

根據輸入的位數w，確定其倍數的最大值p：p＝w；當w＞6時p＝6。

同時，通過自乘得最小的w位整數t，建立m（t~（10t-1）/p）循環枚舉w位整數。

為了方便判別整數m的組成數字與其k（2~p）倍整數n的組成數字相同，設置f，h兩個數組，f數組統計m組成數字的頻數，h數組統計m的倍數n組成數字的頻數，如果這兩個數組出現某數字頻數不同或存在重復數字，即滿足以下條件

f[j]?。絟[j]||f[j]＞1?。╦＝0，1，…，9）

則退出返回。否則，輸出滿足題意的整數m與其各倍數n。

2. 程序設計

3. 程序運行示例與說明

若輸入w＝6，則輸出“六六大順數”142857及其2~6倍的變序數式。

以上w＝7的第一個輸出結果是平凡的，實際上是“六六大順數”的尾部加0。

運行程序，輸入w＝2~5，沒有相應的輸出，說明當w＜6時，不存在w位整數m，其k（2~w）倍積的組成數字與m的組成數字相同。

4. 發現“插9”特性

以上運行程序輸入w＝7的第二個輸出結果，實際上是在w＝6的結果即“六六大順數”142857的正中“插9”所得，這給出非常明確的啟迪。

（1）“插9”特性與條件。

事實上，9乘以k（2~9）所得積分別為18，27，36，45，54，63，72，81，這些積有個共同的規律：十位數字與個位數字之和為9。

“插9”特性：如果乘積式中乘數的某一位的進位數與相應乘9的進位數相同，則此處可插入9，相應的積也插入9，等式仍然成立。

這里，能“插9”的條件為“乘積式中乘數的某一位的進位數與相應乘9的進位數相同”。因為乘9的十位數字與個位數字之和為9，兩進位數相同，勢必乘9的個位數字與原進位數字之和為9（即為積的“插9”），而仍保持原進位數不變，不改變隨后的乘積。

（2）剖析“插9”實例。

下面通過實例進一步說明。例如，在142857×3＝428571這一乘積式中，能否“插9”？何處可“插9”？

不妨從個位開始，一一檢驗實施。注意到9×3＝27，進位數為2。

①個位7×3＝21，進位數為2，與9×3的進位數相同，可“插9”，得1428597×3＝4285791（此時9×3＝27中的7與原進位數2相加為9，進位數仍為2）。

②低2位57×3＝171，進位數為1，與9×3的進位數不同，不可“插9”。

③低3位857×3＝2571，進位數為2，與9×3的進位數相同，可“插9”，得1429857×3＝4289571（此時9×3＝27中的7與原進位數2相加為9，進位數仍為2）。

④低4位、低5位乘3的進位數非2，不可“插9”。

（3）在142857的正中“插9”延伸。

對于k＝2~6，857×k的進位數分別為1，2，3，4，5；對應的9×k的進位數分別為1，2，3，4，5，即對每一個k＝2~6，857×k的進位數與9×k的進位數相同，因而在整數142857的正中“插9”后，其k（2~6）倍積恰為原積的正中“插9”，如下所示。

可見，拓展程序輸出的第二個結果，實際上就是在“六六大順數”142857的正中“插9”所得。

順便指出，在142857×3＝428571乘積式中的“十位”可插入9，但對于k＝2~6中除3之外的其他4個倍數k，不符合在“十位”插入9的條件。

（4）“插9”特性的多次重復。

神奇的是，這一奇異“插9”特性還可多次重復，即在142857的正中插入若干9后，其k（2~6）倍積為原積的正中插入若干9，如下所示。

這樣一來，按上表可列舉一個10位正整數m，或更多的30位正整數m（須允許數字重復），分別乘以k（2~6）所得積的數字組成與m的數字組成相同。

這一神奇的“插9”特性，在以后第3章的“逆序倍積式”中還會出現。