1.7　雅趣守形數(shù)

本節(jié)探討守形數(shù)，其特性表現(xiàn)在其平方數(shù)的尾部。

定義：若正整數(shù)n是它平方數(shù)的尾部，則稱n為守形數(shù)，又稱同構(gòu)數(shù)。

例如，6是其平方數(shù)36的尾部，25是其平方數(shù)625的尾部，6與25都是守形數(shù)。

首先利用守形數(shù)的特性簡單求解3位守形數(shù)，在此基礎(chǔ)上編程拓展求指定區(qū)間內(nèi)的守形數(shù)，并進一步探求多位守形數(shù)。

1.7.1　探索區(qū)間守形數(shù)

先求解一個簡單的守形數(shù)問題。

【問題】　共有多少個3位守形數(shù)？

【思考】　從個位開始向高位逐位探求。

（1）除了5與6外，1能否構(gòu)成守形數(shù)的尾部？

回答是否定的。事實上，1²＝1，1是1的平方，而不是其平方數(shù)的尾部。

設(shè)2位整數(shù)a＝10k＋1（即a的十位數(shù)字是k＞0），只要證a²的十位數(shù)字不為k即可。

a²＝（10k＋1）²＝10（10k²＋2k）＋1

可見，a²的十位數(shù)字是2k的個位數(shù)字，無論k＞0為何數(shù)字，2k的個位數(shù)字都不可能為數(shù)字k。

（2）任意n位守形數(shù)必為n-1位守形數(shù)。

要求3位守形數(shù)，可先求出所有2位守形數(shù)。

①設(shè)a＝10k＋5為個位數(shù)字為5，十位數(shù)字為k（k＞0）的2位整數(shù)，則

a²＝（10k＋5）²＝100（k²＋k）＋25

顯然a²的最低2位為25，其十位數(shù)字為2。

即要使a為守形數(shù)，只有k＝2，即a＝25這一個解。

②設(shè)a＝10k＋6為個位數(shù)字為6，十位數(shù)字為k（k＞0）的2位整數(shù)，則

a²＝（10k＋6）²＝100（k²＋k）＋10（2k＋3）＋6

顯然a²的十位數(shù)字為（2k＋3）的個位數(shù)字，即（2k＋3）%10。

由（2k＋3）%10＝k，推得有k＝7，即a＝76這一個解。

（3）在2位守形數(shù)基礎(chǔ)上配置首位。

①設(shè)a＝100k＋25，即低2位為守形數(shù)25，百位數(shù)字為k（k＞0）的3位整數(shù)，則

a²＝（100k＋25）²＝1000（10k²＋5k）＋625

顯然a²的最低3位為625，其百位數(shù)字為6。

即a為個位數(shù)字是5的3位守形數(shù)，百位數(shù)字k＝6，即a＝625這一個解。

②設(shè)a＝100k＋76為低2位為守形數(shù)76，百位數(shù)字為k（k＞0）的3位整數(shù)，則

a²＝（100k＋76）²＝1000（10k²＋15k＋5）＋100（2k＋7）＋76

顯然a²的百位數(shù)字為（2k＋7）的個位數(shù)字，即（2k＋7）%10。

由（2k＋7）%10＝k，推得有k＝3，即a＝376這一個解。

（4）綜合以上可知共兩個3位守形數(shù)：

376²＝141 376

625²＝390 625

依此可求出4位、5位守形數(shù)。

【拓展】　試探求指定區(qū)間[x，y]內(nèi)所有守形數(shù)。

（1）設(shè)計要點。

為了擴大探求范圍，變量類型設(shè)置為double型。

對指定范圍[x，y]內(nèi)的每一個整數(shù)a（約定a＞1），求出其平方數(shù)s；計算a的位數(shù)k，同時計算b＝10^k，a的平方s的尾部c＝fmod（s，b）；比較整數(shù)a與其平方數(shù)的尾部c，若a＝c則輸出守形數(shù)。

（2）程序設(shè)計。

（3）程序運行示例與說明。

以上結(jié)果可見，沒有5結(jié)尾的4位守形數(shù)，也沒有6結(jié)尾的5位守形數(shù)，實際上是因為其最高位為0而沒有顯示。

由輸出的第2個解與第4個解比較可知，0625即為5結(jié)尾的4位守形數(shù)，因其高位為0，自然不輸出。

同樣，由輸出的第3個解與第5個解比較可知，09376即為6結(jié)尾的5位守形數(shù)，因其高位為0而沒有輸出。

1.7.2　展現(xiàn)多位守形數(shù)

以上設(shè)計搜索到2個3位守形數(shù)、1個4位守形數(shù)、1個5位守形數(shù)、2個6位守形數(shù)。守形數(shù)的個位數(shù)字為5或6。

試探索一般n位守形數(shù)。

1. 設(shè)計要點

為了求更多位數(shù)的守形數(shù)，可應(yīng)用守形數(shù)的性質(zhì)：

一個m位守形數(shù)的尾部k（1≤k≤m-1）位數(shù)也是一個高位可能為0的守形數(shù)。

事實上，a是一個m位數(shù)，a的平方數(shù)的尾部k位僅由a的尾部k位決定，而與a的其他位無關(guān)。

實施易知一位守形數(shù)有5，6，則二位守形數(shù)的個位數(shù)字只可能是5，6這兩個數(shù)字。根據(jù)這一思路，我們可應(yīng)用遞推求解。

設(shè)置數(shù)組a[k]存儲守形數(shù)的第k位：守形數(shù)的個位數(shù)字a[1]選取d（5~6），a[k]（k＞1）選取j（0~9）。同時，設(shè)置b數(shù)組存儲計算平方的中間值，設(shè)置c數(shù)組存儲計算守形數(shù)的平方值，應(yīng)用“豎式乘模擬”計算平方數(shù)。

通過比較若有a[i]＝c[i]（i＝1，2，…，k）成立，則k位守形數(shù)確立，繼續(xù)遞推下一位，直至n位確定并打印輸出。

2. 程序設(shè)計

3. 程序運行示例與變通

注意到以上結(jié)果中“5結(jié)尾的守形數(shù)”中沒有4位守形數(shù)，“6結(jié)尾的守形數(shù)”中沒有5，12，13與20位守形數(shù)，只是其最高位為0而已（由其高一位結(jié)果可看出）。

變通：試把守形數(shù)的尾數(shù)從5，6擴展到0~9，即改變尾數(shù)d循環(huán)，由for（d＝5；d＜＝6；d＋＋）變?yōu)閒or（d＝0；d＜＝9；d＋＋）。變通后運行程序，可知除5，6結(jié)尾外，其他數(shù)字結(jié)尾沒有守形數(shù)。