3.3　AR模型的統計性質

3.3.1　均值

如果AR（p）模型滿足平穩性條件，則有：

根據平穩序列均值為常數，且為白噪聲序列，有

由此可得：

3.3.2　方差

將平穩的AR（p）模型表示成如下的傳遞形式：

其中系數被稱為Green函數。

由平穩AR模型的傳遞形式：

兩邊求方差得：

3.3.3　自協方差函數

在平穩AR（p）模型兩邊同乘再求期望：

根據可以得到自協方差函數的遞推公式：

3.3.4　自相關系數

自相關系數的定義是：特別地：

平穩AR（p）模型的自相關系數遞推公式：

上述方程稱為Yule-Walker方程,

注意：在AR（1）模型中，即使Xt?2沒有直接出現在模型中，Xt?2和Xt也是相關的，因為Xt?1=a1Xt?2+εt?1。

所以，Xt?2是通過Xt?1與X相關的，這種間接相關出現在所有AR模型中。

Xt?2與Xt的自相關系數ρ2等于X與Xt?1的自相關系數乘Xt?1與Xt的自相關系數即

平穩AR（p）模型的自相關系數有拖尾性。拖尾性說明Xt之前的每一個序列值Xt?1，Xt?2，…都會對Xt構成影響，但因為自相關系數呈負指數衰減，所以間隔較遠的序列值對現時值的影響很小，具有所謂的“短期相關性”。

3.3.5　偏自相關函數

自相關函數ACF（k）給出了Xt與Xt?k的總體相關性，但總體相關性可能掩蓋了變量間完全不同的相關關系。

例如，在AR（1）中，Xt與Xt?2間有相關性可能主要是由于它們各自與Xt?1間的相關性帶來的：

即自相關函數中包含了這種所有的“間接”相關。

與之相反，Xt與Xt?k間的偏自相關函數（Partial Autocorrelation，PACF）則是消除了中間變量Xt?1,…,Xt?k+1帶來的間接相關后的直接相關性，它是在已知序列值Xt?1,…,Xt?k+1的條件下，Xt與Xt?k間關系的度量。

定義：對于平穩AR（p）序列，所謂滯后k偏自相關系數就是指在給定中間k?1個隨機變量的條件下，或者說，在剔除了中間k?1個隨機變量Xt?1,…,Xt?k+1的干擾之后，Xt?k對Xt影響的相關度量。用數學語言描述就是：

常用AR模型偏自相關系數公式有如下兩種。

（1）AR（1）模型

（2）AR（2）模型